《2.5角平分线的性质》同步达标训练2021-2022学年青岛版八年级数学上册（Word版 含答案）

2021-2022学年青岛版八年级数学上册《2.5角平分线的性质》同步达标训练（附答案）
一．选择题
1．到三角形的三边距离相等的点是（　　）
A．三角形三条高的交点 B．三角形三条内角平分线的交点
C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条边的垂直平分线的交点
2．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝6，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（　　）
A．4 B．6 C．3 D．12
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC＝∠BDE；③DE平分∠ADB；④若AC＝4BE，则S△ABC＝8S△BDE．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．
如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　）
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
5．如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（　　）cm2．
A．24 B．27 C．30 D．33
6．如图，P是△ABC的三条角平分线的交点，连接PA、PB、PC，若△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3，则S1（　　）S2+S3．
A．＞ B．＝ C．＜ D．无法确定
7．三角形中，到三边距离相等的点是（　　）
A．三条高线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，CD＝2，Q为AB上一动点，则DQ的最小值为（　　）
A．2 B．2 C． D．
9．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝6，则点P到边OB的距离为（　　）
A．5 B．6 C．3 D．4
10．如图，在△ABC中，高AD和BE交于点H，且∠1＝∠2＝22.5°，下列结论：①∠1＝∠3；②BD+DH＝AB；③2AH＝BH；④若DF⊥BE于点F，则AE﹣FH＝DF．其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
二．填空题
11．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，点E是BC边的中点，DA平分对角线BD与CD边延长线的夹角，若BD＝5，CD＝7，则AE＝　 　．
12．如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，△ABC的面积是 　 　．
13．如图，在△ABC中，∠ABC＝110°，∠ACB＝40°，CE是∠ACB的角平分线，D是AC上一点，若∠CBD＝40°，则∠CED＝　 　．
14．如图，AD是△ABC的平分线，DF⊥AB于点F，DE＝DG，AG＝16，AE＝8，若S△ADG＝64，则△DEF的面积为　 　．
15．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是　 　．
16．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝2，则PQ范围是　 　．
17．如图，已知△ABC的周长是20，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝2，△ABC的面积是　 　．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是　 　．
19．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是　 　．
20．如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，若∠A＝70°，则∠BOC＝　 　．
三．解答题
21．已知：在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
（1）如图1，求∠BDC的度数；
（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积．
22．如图，已知OC平分∠AOB，P是OC上任意一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E，∠OPE＝75°，如果PE＝6cm，求OD的长．
23．已知：如图，△ABC的角平分线BE、CF相交于点P．求证：点P在∠A的平分线上．
24．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF．求证：AD是△ABC的角平分线．
25．探索实践：如图，OC是∠AOB的角平分线；
（1）请你在OC上任意找一点P，作PD⊥OA、PE⊥OB，垂足分别为D，E．度量比较PD与PE的长短，得　 　；
（2）在OC上另取一点Q，同样作QF⊥OA、QG⊥OB，垂足分别为F，G．再比较QF、QG的长短，得　 　；
（3）你可以在角平分线OC上再取其它一些点试试，从中你发现了什么？用你自己的语言叙述．　 　．
26．如图，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．
27．已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF＝PG，DF＝EG．
求证：OC是∠AOB的平分线．
参考答案
1．解：到三角形的三边距离相等的点是：三角形三条内角平分线的交点．
故选：B．
2．解：∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
∴∠C+∠CBD＝90°，
∵∠A＝90°
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∵∠ADB＝∠C，
∴∠ABD＝∠CBD，
当DP⊥BC时，DP的长度最小，
∵AD⊥AB，
∴DP＝AD，
∵AD＝6，
∴DP的最小值是6，
故选：B．
3．解：∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝∠DAE，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴∠C＝∠DEA＝90°，
∵AD＝AD，
∴△DAC≌△DAE（AAS），
∴∠CDA＝∠EDA，
∴①AD平分∠CDE正确；
无法证明∠BDE＝60°，
∴③DE平分∠ADB错误；
∵BE+AE＝AB，AE＝AC，
∵AC＝4BE，
∴AB＝5BE，AE＝4BE，
∴S△ADB＝5S△BDE，S△ADC＝4S△BDE，
∴S△ABC＝9S△BDE，
∴④错误；
∵∠BDE＝90°﹣∠B，∠BAC＝90°﹣∠B，
∴∠BDE＝∠BAC，
∴②∠BAC＝∠BDE正确．
故选：B．
4．解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE＝PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选：A．
5．解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，
∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE＝OD＝3，
同理可得OF＝OD＝3，
∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC
＝×OE×AB+×OD×BC+×OF×AC
＝（AB+BC+AC），
∵△ABC的周长是18，
∴S△ABC＝×18＝27（cm2）．
故选：B．
6．解：过P点作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，如图，
∵P是△ABC的三条角平分线的交点，
∴PD＝PE＝PF，
∵S1＝ AB PD，S2＝ BC PF，S3＝ AC PE，
∴S2+S3＝ （AC+BC） PD，
∵AB＜AC+BC，
∴S1＜S2+S3．
故选：C．
7．解：三角形中，到三边距离相等的点是三条角平分线的交点．
故选：C．
8．解：作DH⊥AB于H，如图，
∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，
∴DH＝DC＝2，
∵Q为AB上一动点，
∴DQ的最小值为DH的长，即DQ的最小值为2．
故选：A．
9．解：如图，过点P作PE⊥OB于E，
∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，
∴PE＝PD＝6，
∴点P到边OB的距离为6．
故选：B．
10．解：①∵∠1＝∠2＝22.5°，
又∵AD是高，
∴∠2+∠C＝∠3+∠C，
∴∠1＝∠3，
②∵∠1＝∠2＝22.5°，
∴∠ABD＝∠BAD，
∴AD＝BD，
又∵∠2＝∠3，∠ADB＝∠ADC，
∴△BDH≌△ADC，
∴DH＝CD，
∵AB＝BC，
∴BD+DH＝AB，
③无法证明，
④可以证明，
故选：C．
11．解：方法一，如图，
取BD中点H，连AH、EH，
∵AB⊥AD，
∴AH＝DH＝BH＝BD＝2.5，
∴∠HDA＝∠HAD，
∵DA平分∠FDB，
∴∠FDA＝∠HDA，
∴∠FDA＝∠HAD，
∴AH∥DF，
∵点E是BC边的中点，点H是BD的中点，
∴EH∥CD，EH＝CD＝3.5，
∴A、H、E三点共线，
∴AE＝AH+EH＝2.5+3.5＝6．
方法二，如图，延长BA和CD交于一点G，
证明三角形BDA和三角形GDA全等，
得A是BG中点，
则AE是中位线，
AE等于CG的一半
故答案为：6．
12．解：如图，连接OA，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴点O到AB、AC、BC的距离都相等，
∵△ABC的周长是22，OD⊥BC于D，且OD＝3，
∴S△ABC＝×22×3＝33．
故答案为：33．
13．解：∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣110°﹣40°＝30°，
∵作EN⊥BD，EM⊥BC，EH⊥AC，垂足分别是N、M、H，∠ABC＝110°，∠CBD＝40°，
∴∠ABD＝70°，
∴∠ABC的外角是∠ABM＝180°﹣110°＝70°；
∴BE是∠DBM的角平分线，
∴EM＝EN，
∵CE是∠ACB的平分线，EM⊥CB，EH⊥AC，
∴EM＝EH，
∴EH＝EN，
∴DE是∠ADB的平分线，
∵∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝180°﹣30°﹣70°＝80°，
∴∠ADE＝∠ADB＝40°＝∠ACB，
∴DE∥CB，
∴∠CED＝∠ECB＝20°
故答案为：20°．
14．解：过D点作DH⊥AC于H，如图，
∵S△ADG＝64，
∴×AG×DH＝64，
∴DH＝＝8，
∵AD是△ABC的平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，
∵DF＝DH＝8，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴EF＝HG，
同理可得Rt△ADF≌Rt△ADH，
∴AF＝AH，
∵EF＝AF﹣AE＝AH﹣AE＝AG﹣HG﹣AE＝16﹣EF﹣8，
∴EF＝4，
∴S△DEF＝×EF×DF＝×4×8＝16．
故答案为16．
15．解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∴S△ABC＝×4×2+AC 2＝7，
解得AC＝3．
故答案为：3．
16．解：∵OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，PA＝2，
∴点P到OM的距离等于2，
而点Q是射线OM上的一个动点，
∴PQ≥2．
故答案为PQ≥2．
17．解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴OE＝OF＝OD＝2，
∵△ABC的周长是20，OD⊥BC于D，且OD＝2，
∴S△ABC＝×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF
＝×（AB+BC+AC）×2
＝×20×2
＝20，
故答案为：20．
18．解：如图，作DE⊥AB于E，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝3，
∴△ABD的面积＝×AB×DE＝×10×3＝15，
故答案为：15．
19．解：过P作PE⊥OA于点E，
∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，
∴PE＝PD，
∵PD＝2，
∴PE＝2，
∴点P到边OA的距离是2．
故答案为2．
20．解：∵在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，
∴O为△ABC的三内角平分线的交点，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∵∠A＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，
∴∠OBC+∠OCB＝55°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝125°，
故答案为：125°．
21．解：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB＝∠ACB＝×40°＝20°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB
＝180°﹣30°﹣20°
＝130°；
（2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图2，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC，
∴DH＝DE＝2，
∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DH⊥BC，
∴DF＝DH＝2，
∴△ADC的面积＝DF AC＝×2×4＝4．
22．解：如图，过点P作PF⊥OB于点F，
∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，
∴PF＝PE＝6cm，
∵PE⊥OA，∠OPE＝75°，
∴Rt△POE中，∠POE＝15°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOB＝30°，
∵PD∥OA，
∴∠PDF＝∠AOB＝30°，∠DPO＝∠EOP＝15°＝∠DOP，
∴PD＝2PF＝12cm，DO＝DP，
∴OD＝12cm．
23．证明：如图，过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，
∵BE平分∠ABC，点P在BE上，
∴PD＝PM，
同理，PM＝PN，
∴PD＝PN，
∴点P在∠A的平分线上．
24．证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴Rt△BDE和Rt△CDF是直角三角形．
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD＝AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴∠ADE＝∠ADF，
∴AD是角平分线．
25．解：（1）由题意得OP＝OP，∵OC是∠AOB的角平分线
∴∠POD＝∠POE，
又∵∠OPE＝∠OPD＝90°
∴△POD≌△POE（ASA）
∴PD＝PE．
（2）OQ为公共边，又∵OC是∠AOB的角平分线
∴∠FOQ＝∠GOQ，又∵∠OFQ＝∠OGQ＝90°
∴△QOF≌△QOG（ASA）
∴QF＝QG．
（3）由（1）（2）的结论可知角平分线上的点到角两边的距离相等．
26．解：PC与PD相等．理由如下：
过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F．
∵OM平分∠AOB，点P在OM上，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE＝PF（角平分线上的点到角两边的距离相等）
又∵∠AOB＝90°，∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴四边形OEPF为矩形，
∴∠EPF＝90°，
∴∠EPC+∠CPF＝90°，
又∵∠CPD＝90°，
∴∠CPF+∠FPD＝90°，
∴∠EPC＝∠FPD＝90°﹣∠CPF．
在△PCE与△PDF中，
∵，
∴△PCE≌△PDF（ASA），
∴PC＝PD．
27．证明：在Rt△PFD和Rt△PGE中，，
∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL），
∴PD＝PE，
∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴OC是∠AOB的平分线．