青岛版 2021-2022学年九年级数学上册3.1圆的对称性 同步达标测评 （word版含解析）

2021-2022学年青岛版九年级数学上册《3.1圆的对称性》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共12小题，满分48分）
1．如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的半径为5，BC＝8，则AB的长为（　　）
A．8 B．10 C． D．
2．如图，在⊙O中，已知弦AB长为16cm，C为的中点，OC交AB于点M，且OM：MC＝3：2，则CM长为（　　）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
3．已知在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直且相等的两条弦，垂足为点P，且OP＝3，则弦AB的长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
4．已知圆O的半径为5，P为圆O内一点，且OP＝3，则过点P的所有弦中，弦长是整数的共有（　　）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
5．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，D为圆周上一点，若的度数为50°，则∠ADC的度数为（　　）
A．20° B．25° C．30° D．50°
6．如图，A，B在半径为的⊙O上，将沿着弦AB翻折，若∠AOB＝150°，则图中月牙（阴影）的面积等于（　　）
A．π﹣3 B．π+3 C．2π﹣3 D．π
7．如图，圆O半径为10cm，弓形高为4cm，则弓形的弦AB的长为（　　）
A．8cm B．12cm C．16cm D．20cm
8．在⊙O中，弦AB的长为2cm，圆心O到AB的距离为1cm，则⊙O的半径是（　　）
A．2 B．3 C． D．
9．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，P是弦AB上的一个动点（不与A、B重合），下列不符合条件的OP的值是（　　）
A．4 B．3 C．3.5 D．2.5
10．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．6
11．如图，在半径为10的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（　　）
A．6 B．6 C．8 D．8
12．如图，AB，CD是⊙O的直径，＝，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是（　　）
A．32° B．60° C．68° D．64°
二．填空题（共10小题，满分40分）
13．如图，圆弧形拱桥的跨径AB＝12米，拱高CD＝4米，则拱桥的半径为　 　米．
14．如图所示，AB为圆O的直径，弦CD交AB于E，已知OE＝2，BE＝1，∠AEC＝45°，则CD＝　 　．
15．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为　 　．
16．如图，AB为⊙O的弦，点C在AB上，若AB＝4，OC＝，∠OCB＝45°，则⊙O的半径为　 　．
17．点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为弧AC的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为　 　．
18．如图，把一个圆分成三个扇形，则圆心角∠AOB＝　 　度．
19．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8，AO＝5，则OF的长度是　 　．
20．⊙O的直径为20，弦AB长为12，点P是弦AB上一点，则OP的取值范围是　 　．
21．已知AB是⊙O的弦，P为AB的中点，连接OA，OP，将△OPA绕点O旋转到△OQB，设⊙O的半径为1，∠AOQ＝135°，则AQ的长为　 　．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则BD的长为　 　．
三．解答题（共3小题，满分32分）
23．如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且BD∥OC，求证：＝．
24．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为的中点，连接AM，BM，求证：AM＝BM．
25．如图，在△OAB中OA＝OB，⊙O交AB于点C、D，求证：AC＝BD．
参考答案
一．选择题（共12小题，满分48分）
1．解：连接OB，
∵AO⊥BC，AO过O，BC＝8，
∴BD＝CD＝4，∠BDO＝90°，
由勾股定理得：OD＝＝＝3，
∴AD＝OA+OD＝5+3＝8，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB＝＝4，
故选：D．
2．解：连接OA，
∵C为的中点，
∴＝，
∴OC⊥AB，
∴AM＝AB＝8，
设OM＝3a，则CM＝2a，
∴OC＝5a，
由勾股定理得，OA2＝AM2+OM2，即（5a）2＝82+（3a）2，
解得，a＝2（负值舍去），
则CM＝2a＝4（cm），
故选：B．
3．解：作OM⊥CD于M，ON⊥AB于N，连接OB，
则四边形NPMO为矩形，
∵AB＝CD，OM⊥CD，ON⊥AB，
∴OM＝ON，
∴四边形NPNO为正方形，
∴NP＝NO＝OP＝3，
由勾股定理得，BN＝＝4，
∵ON⊥AB，
∴AB＝2BN＝8，
故选：C．
4．解：如图，过P作弦AB⊥OP，交⊙O于A、B，连接OA，
Rt△OAP中，OP＝3，OA＝5，
根据勾股定理，得AP＝＝4，
即由垂径定理得：AB＝2AP＝8，
∵最长的弦是直径，长度是10，
∴过点P的弦的长度都在8～10之间，
∴弦长为8、9、10，
当弦长为8、10时，过P点的弦分别为弦AB和过P点的直径，分别有一条；
当弦长为9时，根据圆的对称性知，符合条件的弦应该有两条；
故弦长为整数的弦共有4条，
故选：A．
5．解：∵的度数为50°，
∴∠BOC＝50°，
∵半径OC⊥AB，
∴＝，
∴∠ADC＝∠BOC＝25°．
故选：B．
6．解：如图，作BD⊥AO交AO于点D．
∵OA＝OB，∠AOB＝150°，
∴∠DOB＝30°，
∵OB＝，
∴BD＝OB＝，
S阴＝S圆O﹣2 S弓形AmB＝π （）2﹣2（﹣××）＝6π﹣5π+3＝π+3，
故选：B．
7．解：如图，过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，
∵CD＝4cm，OD＝10cm，
∴OC＝6cm，
又∵OB＝10cm，
∴Rt△BCO中，BC＝＝8cm，
∴AB＝2BC＝16cm．
故选：C．
8．解：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，
∵AB＝2cm，OD⊥AB，
∴AD＝AB＝×2＝cm，
在Rt△AOD中，OA＝＝2（cm），
故选：A．
9．解：连接OB，作OM⊥AB于M．
∵OM⊥AB，
∴AM＝BM＝AB＝4，
在直角△OBM中，∵OB＝5，BM＝4，
∴OM＝＝＝3．
∴3≤OP＜5，
故选：D．
10．解：∵OC⊥AB，OC过圆心O点，
∴BC＝AC＝AB＝×16＝8，
在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC＝＝＝6，
故选：D．
11．解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，
∵AB＝CD＝16，
∴BM＝DN＝8，
∴OM＝ON＝＝6，
∵AB⊥CD，
∴∠DPB＝90°，
∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∴∠OMP＝∠ONP＝90°
∴四边形MONP是矩形，
∵OM＝ON，
∴四边形MONP是正方形，
∴OP＝＝6．
故选：B．
12．解：∵＝，
∴∠BOD＝∠AOE＝32°，
∵∠BOD＝∠AOC，
∴∠AOC＝32°
∴∠COE＝32°+32°＝64°．
故选：D．
二．填空题（共10小题，满分40分）
13．解：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O
连接OA．根据垂径定理，得AD＝6米，
设圆的半径是r，根据勾股定理，得r2＝36+（r﹣4）2，解得r＝6.5
故答案为：6.5
14．解：作OH⊥CD于H，连接OC．
∵OH⊥CD，
∴CH＝DH，∠OHE＝90°，
∵∠OEH＝45°，OE＝2，
∴OH＝HE＝，
∵OC＝OB＝3，
∴CH＝＝，
∴CD＝2CH＝2，
故答案为2．
15．解：①当BA＝BP时，
则AB＝BP＝BC＝6，即线段BC的长为6；
②当AB＝AP时，如图1，连接AO交PB于点D，过点O作OE⊥AB于点E，
则AD⊥PB，AE＝AB＝3，
∴BD＝DP，
在Rt△AEO中，AE＝3，AO＝5，
∴OE＝＝4，
∵∠OAE＝∠BAD，∠AEO＝∠ADB＝90°，
∴BD＝，
∴BD＝PD＝，即PB＝，
∵AB＝AP＝6，
∴∠ABD＝∠APC，
∵∠PAC＝∠ADB＝90°，
∴CP＝，
∴BC＝BP﹣CP＝﹣＝；
③当PA＝PB时，
如图2，连接PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，连接OB，
则PF⊥AB，
∴AF＝FB＝3，
在Rt△OFB中，OB＝5，FB＝3，
∴OF＝4，
∴FP＝9，
∵∠PAF＝∠ABP＝∠CBG，∠AFP＝∠CGB＝90°，
设BG＝t，则CG＝3t，
∵∠PAF＝∠ACG，∠AFP＝∠AGC＝90°，
解得t＝，
∴BG＝，CG＝，
在Rt△BCG中，BC＝＝＝，
综上所述，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为6或或；
故答案为：6或或．
16．解：如图，过点O作OD⊥AB于点D，连接OB，
则BD＝AB＝2，
∵OC＝，∠OCB＝45°，
∴OD＝1，
则OB＝＝＝，
故答案为：．
17．解：过B作直径，连接AC交BO于点E，
∵点B为的中点，
∴BD⊥AC，
如图①，
∵点D恰在该圆直径的三等分点上，
∴BD＝×2×3＝2，
∴OD＝OB﹣BD＝1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DE＝BD＝1，
∴OE＝2，
连接OC，
∵CE＝＝，
∴边CD＝＝；
如图②，BD＝×2×3＝4，
同理可得，OD＝1，OE＝1，DE＝2，
连接OC，
∵CE＝＝＝2，
∴边CD＝＝＝2，
故答案为或2．
18．解：∠AOB＝360°×20%＝72°，
故答案为：72．
19．解：连接OB，
∵弦BD⊥AO，
∴BE＝BD＝4，
由勾股定理得，OE＝＝3，
则CE＝OC+OE＝8，
∴BC＝＝4，
∵OF⊥BC，
∴CF＝BF＝2，
∵∠CFO＝∠CEB＝90°，∠C＝∠C，
解得，OF＝，
故答案为：．
20．解：作OC⊥AB，则AC＝BC＝6，
∵OA＝10，
∴OC＝8，
∴OP的取值范围是8≤OP≤10．
故答案为8≤OP≤10．
21．解：如图，∵OA＝OB，P为AB的中点，
∴OP⊥AB，∠AOP＝∠BOP，
∵将△OPA绕点O旋转到△OQB，
∴∠BOQ＝∠AOP，QB＝AP，
∴∠AOP＝∠BOP＝∠BOQ，
∵∠AOQ＝135°，
∴∠AOP＝∠BOP＝∠BOQ＝45°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AP＝OP＝BQ＝AB，∠OAP＝∠ABO＝∠OBQ＝45°，
∴∠ABQ＝90°，
∵OA＝OB＝1，
∴AB＝，
∴BQ＝，
∴AQ＝＝，
如图2，
∵将△OPA绕点O旋转到△OQB，
∴∠BOQ＝∠AOP，QB＝AP，
∴∠AOP＝∠BOP＝∠BOQ，
∵∠AOQ＝135°，
∴∠AOP＝∠BOP＝∠BOQ＝75°，
∴∠PBO＝∠QBO＝15°，
∴∠QBP＝30°，
过Q作QH⊥AB于H，过B作BC⊥AO交AO的延长线于C，
∴∠AHQ＝∠BHQ＝∠C＝90°，∠BOC＝30°，
∴BC＝，OC＝，
∴OB＝＝＝1，
∴AB＝＝，
∴BQ＝AP＝，
∴HQ＝，BH＝，
∴AH＝AB﹣BH＝，
∴AQ＝＝，
∵故答案为：或．
22．解：过点C作CE⊥AD于点E，
则AE＝DE，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵S△ABC＝AC BC＝AB CE，
∴CE＝＝，
∴AE＝＝＝，
∴AD＝2AE＝，
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣＝，
故答案为：．
三．解答题（共3小题，满分32分）
23．证明：∵OB＝OD，
∴∠D＝∠B，
∵BD∥OC，
∴∠D＝∠COD，∠AOC＝∠B，
∴∠AOC＝∠COD，
∴＝．
24．证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，
∴，
∵M为中点，
∴，
∴，
∴AM＝BM．
25．证明：过点O作OE⊥AB于点E，
∵在⊙O中，OE⊥CD，
∴CE＝DE，
∵OA＝OB，OE⊥AB，
∴AE＝BE，
∴AE﹣CE＝BE﹣DE，
∴AC＝BD．