青岛版 2021-2022学年九年级数学上册3.3圆周角 同步达标测评 （word版含解析）

2021-2022学年青岛版九年级数学上册《3.3圆周角》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共6小题，满分24分）
1．在圆中，弦AB、CD相交于E．若∠ADC＝46°，∠BCD＝33°，则∠DEB等于（　　）
A．13° B．79° C．38.5° D．101°
2．如图所示，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，A，B，C三点都在圆上，∠DAC＝30°，则∠BAE为（　　）
A．10° B．30° C．20° D．18°
3．如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙的直径，∠ACB＝50°，点D是⊙O上一点，则∠D＝（　　）
A．50° B．40° C．30° D．20°
4．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠AOD＝130°，BC∥OD交⊙O于C，则∠A等于（　　）
A．50° B．40° C．30° D．20°
5．若四边形ABCD是⊙O的内接四边形，则∠A：∠B：∠C：∠D的值可能是（　　）
A．2：3：4：5 B．1：2：3：4 C．2：5：4：1 D．4：3：3：2
6．在⊙O中，弦AB和CD相交于点P，若PA＝4，PB＝7，CD＝12，则以PC、PD的长为根的一元二次方程为（　　）
A．x2+12x+28＝0 B．x2﹣12x+28＝0
C．x2﹣11x+12＝0 D．x2+11x+12＝0
二．填空题（共10小题，满分40分）
7．已知如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝60°，则∠DCE＝　 　．
8．已知圆的两条弦AB，CD交于P点，且PA＝PB＝4，PD＝2，则PC＝　 　．
9．已知圆的一条弦AB把圆分成1：4的两部分，则此弦所对的圆周角等于　 　．
10．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC，垂足为D，已知OD＝5，则弦AC＝　 　．
11．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB＝2DE，∠E＝18°，∠C＝　 　，∠AOC＝　 　．
12．如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，在这8个角中，有几对相等的角？请把它们分别表示出来：　 　．
13．如图所示，在⊙O中，弦AB，CD相交于E，且∠BEC＝78°，∠BAC＝36°，则∠DOA＝　 　度．
14．已知，如图，∠BAC的对角∠BAD＝100°，则∠BOC＝　 　度．
15．如图，在⊙O中，∠BAC＝35°，∠ABC＝105°，则∠AOB＝　　°，∠BOC＝　 　°．
16．如图， ABCD中，点E为AB、BC的垂直平分线的交点，若∠D＝60°，则∠AEC＝　 　．
三．解答题（共9小题，满分56分）
17．已知⊙O中，弦AB⊥弦CD于E，求证：∠AOD+∠BOC＝180°．
18．如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CP平分△ABC的外角∠ACQ，∠ACB＝90°，
（1）求证：；
（2）求证：AC﹣BC＝PC．
19．如图，AB为⊙O的直径，点P为其半圆上任意一点（不含A、B两点），点Q为另一半圆上一定点，若∠POA为x°，∠PQB为y°，求y与x的函数关系式．
20．已知：如图，AE是⊙O的直径，AF⊥BC于D，证明：BE＝CF．
21．如图，AB是半圆O的直径，AE为弦，C为的中点，CD⊥AB于点D，交AE于点F，BC交AE于点G．求证：AF＝FC．
22．如图，AB，AC为⊙O的两条弦，且AB＝AC，D为上一点，P为上一点．若∠BDC＝150°，求∠APC的度数．
23．大家知道：任意四个点不能确定一个圆，但是有些特殊四边形的四个顶点在同一个圆上，请说出这些特殊的四边形，并研究这些四边形的四个内角之间有什么特殊的关系．
24．如图，△ABC是⊙O的一个内接三角形，点C是劣弧AB上一点（点C不与A，B重合），设∠OAB＝α，∠C＝β．
（1）当α＝35°时，求β的度数；
（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．
25．如图，CD是⊙O的直径，A为DC的延长线上一点，点E在⊙O上，∠EOD＝81°，AE交⊙O于B，且AB＝OC，求∠A的度数．
参考答案
一．选择题（共6小题，满分24分）
1．解：∵∠B与∠ADC是对的圆周角，
∴∠B＝∠ADC＝46°，
∵∠BCD＝33°，
∴∠DEB＝∠BCD+∠B＝79°．
故选：B．
2．解：连接BE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣∠E，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝90°﹣∠C，
∵∠E＝∠C，
∴∠BAE＝∠DAC＝30°．
故选：B．
3．解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵∠ACB＝50°，
∴∠A＝90°﹣∠ACB＝40°，
∴∠D＝∠A＝40°．
故选：B．
4．解：∵∠AOD＝130°，
∴∠BOD＝50°；
∵BC∥OD，
∴∠B＝∠BOD＝50°；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°；
∴∠A＝90°﹣∠B＝40°．
故选：B．
5．解：∵圆的内接四边形对角互补，
∴∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°，
∴∠A：∠B：∠C：∠D的可能的值是2：5：4：1．
故选：C．
6．解：设PC＝x，则PD＝12﹣x，
由相交弦定理得：PA PB＝PC PD，
∵PA＝4，PB＝7，
∴4×7＝x（12﹣x）＝PC PD，
PC+PD＝x+12﹣x＝12，
即以PC、PD为根的一元二次方程为：x2﹣12x+28＝0．
故选：B．
二．填空题（共10小题，满分40分）
7．解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠BCD+∠DCE＝180°，
∴∠DCE＝∠A．
∵∠A＝60°，
∴∠DCE＝60°．
故答案为：60°．
8．解：根据题意得PA PB＝PC PD，
即4×4＝2PC，
所以PC＝8．
故答案为8．
9．解：∵弦AB把⊙O分成1：4两部分，
∴∠AOB＝×360°＝72°，
∴∠ACB＝∠AOB＝36°，
∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形，
∴∠ADB＝180°﹣∠ACB＝144°．
∴这条弦所对的圆周角的度数是：36°或144°，
故答案为：36°或144°．
10．解：∵OD⊥BC，
∴D为弦BC的中点，
∵点O为AB的中点，D为弦BC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴BC＝2OD＝10．
故答案为：10．
11．解：连接OD，
∵AB＝2DE，
∴OD＝DE，
∴∠E＝∠EOD，
在△EDO中，∠ODC＝∠E+∠EOD＝36°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝36°，
在△CEO中，∠AOC＝∠E+∠OCD＝18°+36°＝54°．
故答案为：36°；54°．
12．解：有4对．
分别是：∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，∠7＝∠8．
故答案为：∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，∠7＝∠8．
13．解：∵∠C＝∠BEC﹣∠BAC＝78°﹣36°＝42°，
∴∠DOA＝2∠C＝84°．
14．解：∵∠BAD＝100°
∴∠BAC＝180°﹣∠BAD＝80°
∴∠BOC＝2∠BAC＝160°．
15．解：连接OC，如图，
∵∠BAC＝35°，∠ABC＝105°，
∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣35°﹣105°＝40°，
又∵∠ACB＝∠AOB，
∴∠AOB＝2×40°＝80°；
又∵∠BAC＝∠BOC，而∠BAC＝35°，
∴∠BOC＝2×35°＝70°．
故答案为：80°，70°．
16．解：连接BE，
∵点E为AB、BC的垂直平分线的交点，
∴AE＝BE，BE＝CE，
∴AE＝BE＝CE，
∴点A，B，C在以E为圆心，AE为半径的圆上，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D＝60°，
∴∠AEC＝2∠B＝120°．
故答案为：120°．
三．解答题（共9小题，满分56分）
17．解：连接AC，BD，
由圆周角定理得：∠AOD＝2∠ABD，∠BOC＝2∠CDB，
∵弦AB⊥弦CD
∴∠ABD+∠BDC＝90°，
∴∠AOD+∠BOC＝2∠ABD+2∠BDC＝2（∠ABD+∠CDB）＝2×90°＝180°
18．证明：（1）连接PA、PB，如图，
∵弦CP平分△ABC的外角∠ACQ，∠ACB＝90°，
∴∠ACP＝45°，AB为⊙O的直径，
∴∠APB＝90°，
∴∠PAB＝45°，
∴；
（2）作PD⊥PC交AC于D点，如图，
则△PDC为等腰直角三角形，
∴DC＝PC，
∵＝，
∴PA＝PB，
∵∠PDC＝45°，
∴∠PDA＝135°，
而∠PCB＝∠PCA+∠ACB＝135°，
∴∠PDC＝∠PCB，
∵∠PAD＝∠PBC，
∴△PDA≌△PCB，
∴AD＝BC，
∴AC﹣BC＝AC﹣AD＝DC＝PC．
19．解：∵∠BOP＝2∠BQP＝2y°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AOP+∠BOP＝180°，
∴x+2y＝180，
∴y＝90﹣x，且0＜x＜180．
20．证明：∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∴∠E+∠BAE＝90°，
∵AF⊥BC于D，
∴∠FAC+∠ACB＝90°，
∵∠E＝∠ACB，
∴∠BAE＝∠FAC，
∴弧BE＝弧CF，
∴BE＝CF．
21．证明：∵点C是弧AE的中点，
∴∠B＝∠CAE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
即∠ACF+∠BCD＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD＝90°，
又∠ACF+∠BCD＝90°，
∴∠B＝∠ACF
∴∠B＝∠CAF＝∠ACF，
∴AF＝CF．
22．解：在圆内接四边形ABCD中，∠BAC＝180°﹣∠BDC＝180°﹣150°＝30°，
则弧BC的度数是60°，
又∵AB＝AC，
∴弧AB＝弧AC＝150°，
∴弧ABC是210°，
∴∠APC＝×210°＝105°．
23．解：∵矩形、正方形的对角线相等且互相平分，
∴四个顶点到对角线交点距离相等，
∴矩形、正方形的四个顶点可在同一个圆上；
四个顶点在同一个圆上的四边形的对角互补．
24．解：（1）在优弧AB上取一点D，连接DA、DB，如图，
∵∠α＝35°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝180°﹣2×35°＝110°，
∴∠D＝∠AOB＝55°，
∴∠ACB＝180°﹣∠D＝125°，
即β的度数为125°；
（2）∠ACB＝90°+α．理由如下：
∵∠AOB＝180°﹣2∠α，
∴∠D＝∠AOB＝（180°﹣2∠α）＝90°﹣α，
∴∠ACB＝180°﹣∠D＝180°﹣（90°﹣α）＝90°+α．
解：连OB，如图，
∵AB＝OC，OB＝OC，
∴AB＝BO，
∴∠A＝∠2，
而∠1＝∠A+∠2，
∴∠1＝2∠A，
∵OB＝OE，
∴∠1＝∠E，
∴∠E＝2∠A，
而∠EOD＝∠A+∠E＝81°，
∴3∠A＝81°，
所以∠A＝27°．