3.2确定圆的条件同步达标测评 2021-2022学年青岛版数学九年级上册 （Word版 含答案）

2021-2022学年青岛版九年级数学上册《3.2确定圆的条件》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共13小题，满分39分）
1．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝68°，则∠OBC等于（　　）
A．22° B．26° C．32° D．34°
2．如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是（　　）
A． B． C．2 D．
3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，则点O是△ABC的（　　）
A．三条高线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三角形三内角角平分线的交点
4．给出下列四个结论，其中正确的结论为（　　）
A．三点确定一个圆 B．同圆中直径是最长的弦
C．圆周角是圆心角的一半 D．长度相等的弧是等弧
5．如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外（与点C在AB同侧），则∠C与∠D的大小关系为（　　）
A．∠C＞∠D B．∠C＜∠D C．∠C＝∠D D．无法确定
6．九个相同的等边三角形如图所示，已知点O是一个三角形的外心，则这个三角形是（　　）
A．△ABC B．△ABE C．△ABD D．△ACE
7．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝30°，BC＝，把△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°得到△BED，则对应点C、D之间的距离为（　　）
A．1 B． C． D．2
8．下列说法中正确的是（　　）
A．不在同一条直线上的三个点确定一个圆 B．相等的圆心角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦 D．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等
9．已知：⊙O为△ABC的外接圆，AB＝AC，E是AB的中点，连OE，OE＝，BC＝8，则⊙O的半径为（　　）
A．3 B． C． D．5
10．边长分别为6，8，10的三角形的外接圆半径是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
11．如图，点D，E分别是⊙O的内接正三角形ABC的AB，AC边的中点，若DE＝，则⊙O的半径为（　　）
A． B． C．1 D．2
12．如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，弦AC的长为，∠B=600，则⊙O的直径为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
13．如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．
二．填空题（共7小题，满分21分）
14．如图．在△ABC中，∠A＝60°，BC＝5cm．能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是　 　cm．
15．已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣6|+28＝4+10b，则△ABC的外接圆半径＝　 　．
16．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为　 　．
17．已知△ABC的边BC＝2cm，且△ABC内接于半径为2cm的⊙O，则∠A＝　 　度．
18．如图，△ABC外接圆的圆心坐标是　 　．
19．如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接等边三角形，则△ABC的面积是　 　．
20．⊙O的半径为4cm，则⊙O的内接正三角形的周长是　 　cm．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠B＝60°，求AC的长．
22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD、BD、CD．
求证：AD＝CD；
23．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O直径，BC＝6，AC＝8，OE⊥AE，垂足为E，交⊙O于点P，连接BP交AC于D．
（1）求PE的长；
（2）求△BOP的面积．
24．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，交BC于点F，∠ABC的平分线交AD于点E．
（1）求证：DE＝DB；
（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径；
（3）若BD＝6，DF＝4，求AD的长．
25．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E．
（1）求证：DE＝DB；
（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．
26．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是圆上异于A、B的一点，C是劣弧AD中点，弦CE⊥AB于点H，连接AD，分别交CE、BC于点P、Q，连接BD．
（1）求证：P是线段AQ的中点；
（2）若⊙O的半径为5，AQ＝，求弦CE的长．
27．如图，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC、BD交于点E，延长DA、CB交于点F，且∠CAD＝60°，DC＝DE．
求证：
（1）AB＝AF；
（2）A为△BEF的外心（即△BEF外接圆的圆心）．
参考答案
一．选择题（共13小题，满分39分）
1．解：连接CO，
∵∠A＝68°，
∴∠BOC＝136°，
∴∠OBC＝∠OCB＝（180°﹣136°）＝22°．
故选：A．
2．解：如图所示：点O为△ABC外接圆圆心，则AO为外接圆半径，
故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是：．
故选：A．
3．解：∵⊙O是△ABC的外接圆，
∴点O是△ABC的三条边的垂直平分线的交点．
故选：B．
4．解：A、错误，不在同一直线上的三点确定一个圆；
B、正确；
C、错误，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半；
D、错误，能够重合的弧是等弧．
故选：B．
5．解：连接BE，
∵∠ACB＝∠AEB，
∠AEB＞∠D，
∴∠C＞∠D．
故选：A．
6．解：∵钝角三角形的外心在三角形的外部，
∴点O是△ABD的外心，
故选：C．
7．解：连接OC、OB、OD，
由圆周角定理得，∠BOC＝2∠A＝60°，
∴△OCB是等边三角形，
∴OC＝OB＝BC＝，
由旋转的性质可知，∠COD＝90°，
∴CD＝＝2，
故选：D．
8．解：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，A正确；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，B错误；
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，C错误；
在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，D错误，
故选：A．
9．解：如图，作直径AD交BC于F，连接BD；
∵AB＝AC，
∴＝，
∴AD⊥BC，BF＝CF＝4；
∵OE⊥AB，
∴AE＝BE，而OA＝OB，
∴OE为△ABD的中位线，
∴BD＝2OE＝5；
由勾股定理得：
DF2＝BD2﹣BF2＝52﹣42，
∴DF＝3；
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，由射影定理得：
BD2＝DF AD，而BD＝5，DF＝3，
∴AD＝，
⊙O半径＝．
故选：C．
10．解：∵62+82＝102，
∴此三角形为直角三角形，10为斜边，
∴三角形的外接圆的直径为10，
∴三角形的外接圆半径为5．
故选：B．
11．解：连接OB、OC，作OF⊥BC于F，
则BF＝CF＝BC，
∵点D，E分别AB，AC边的中点，
∴BC＝2DE＝2，
由圆周角定理得，∠BOC＝2∠A＝120°，
∴∠OBF＝30°，
∴OB＝2，
故选：D．
12．解作直径AD，连接CD，
∴∠D＝∠B，
在直角△ADC中，AC＝2，
∴AD＝3，
∴⊙O的直径为3．
故选：B．
13．解∵∠BAC与∠BOC互补，
∴∠BAC+∠BOC＝180°，
∵∠BAC＝∠BOC，
∴∠BOC＝120°，
过O作OD⊥BC，垂足为D，
∴BD＝CD，
∵OB＝OC，
∴OB平分∠BOC，
∴∠DOC＝∠BOC＝60°，
∴∠OCD＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△DOC中，OC＝2，
∴OD＝1，
∴DC＝，
∴BC＝2DC＝2，
故选：C．
二．填空题（共7小题，满分21分）
14．解：设圆的圆心为点O，能够将△ABC完全覆盖的最小圆是△ABC的外接圆，
∵在△ABC中，∠A＝60°，BC＝5cm，
∴∠BOC＝120°，
作OD⊥BC于点D，则∠ODB＝90°，∠BOD＝60°，
∴BD＝，∠OBD＝30°，
∴OB＝，
∴2OB＝，
即△ABC外接圆的直径是cm，
故答案为：．
15．解：∵a+b2+|c﹣6|+28＝4+10b，
∴（a﹣1﹣4+4）+（b2﹣10b+25）+|c﹣6|＝0，
∴（﹣2）2+（b﹣5）2+|c﹣6|＝0，
∴，b﹣5＝0，c﹣6＝0，
解得，a＝5，b＝5，c＝6，
∴AC＝BC＝5，AB＝6，
作CD⊥AB于点D，
则AD＝3，CD＝4，
设△ABC的外接圆的半径为r，
则OC＝r，OD＝4﹣r，OA＝r，
∴32+（4﹣r）2＝r2，
解得，r＝，
故答案为：．
16．解：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠PAB＝∠PBC
∴∠BAP+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，
在RT△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，
∴OC＝＝5，
∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．
∴PC最小值为2．
故答案为2．
17．解：连接OB、OC，如图，
∵OB＝OC＝2，BC＝2，
∴OB2+OC2＝BC2，
∴△OBC为等腰直角三角形，∠BOC＝90°，
当点A在BC所对的优弧上，∠A＝∠BOC＝45°，
当点A在BC所对的劣弧上，∠A＝180°﹣45°＝135°，
即∠A的度数为45度或135度．
故答案为：45度或135．
18．解：作线段BC的垂直平分线，作AB的垂直平分线，
两条线相交于点O
所以O的坐标为（4，6）
故答案为：（4，6）
19．解：连接OB、OC，作OD⊥BC于D，如图，则BD＝CD，
∵△ABC是⊙O的内接等边三角形，
∴∠A＝60°，S△ABC＝3S△BOC；
∴∠BOC＝120°，∠OBC＝∠OCB＝30°，
在Rt△OBD中，OB＝2，
∴OD＝OB＝1，BD＝OD＝，
∴BC＝2BD＝2，
∴S△BOC＝×1×2＝，
∴S△ABC＝3．
故答案为3．
20．解：如图所示：
∵半径为4的圆的内接正三角形，
∴在Rt△BOD中，OB＝4cm，∠OBD＝30°，
∴BD＝2，
∵BD＝CD，
∴BC＝2BD＝4cm，即它的内接正三角形的边长为4cm，
∴⊙O的内接正三角形的周长是4×3＝12cm．
故答案为：12．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．解：如图，作直径AD，连接CD．
∴∠ACD＝90°．
∵∠B＝60°，
∴∠D＝∠B＝60°．
∵⊙O的半径为6，
∴AD＝12．
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，
∴CD＝6．
∴AC＝6．
22．（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD∥BC，
∴∠AEO＝∠ACB＝90°，
∴OE⊥AC，
∴＝，
∴AD＝CD；
23．解：（1）在直角△ABC中，BC＝6，AC＝8，
∴AB＝＝10，
∵OE⊥AC，
∴AE＝CD＝AC＝4，
由三角形中位线定理得，OE＝BC＝3，
∴PE＝5﹣3＝2；
（2）过O作OF⊥BP于F，
由（1）可知OE⊥AC，BC⊥AC，
∴OP∥BC，
∵CE＝AC＝4，
∴ED＝1，
∴PD＝，BD＝3，
∴PB＝4，BF＝2，
∴OF＝，
∴S△BOP＝×4×＝10．
24．（1）证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠BED＝∠1+∠3＝∠2+∠4＝∠5+∠4＝∠DBE，
∴DB＝DE；
（2）解：连接CD，如图，
∵∠BAC＝90°，
∴BC为直径，
∴∠BDC＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴DB＝DC，
∴△DBC为等腰直角三角形，
∴BC＝BD＝4，
∴△ABC外接圆的半径为2；
（3）解：∵∠5＝∠2＝∠1，∠FDB＝∠BDA，
∴AD＝9．
25．（1）证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BAE＝∠CAD，
∴，
∴∠DBC＝∠CAD，
∴∠DBC＝∠BAE，
∵∠DBE＝∠CBE+∠DBC，∠DEB＝∠ABE+∠BAE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DE＝DB；
（2）解：连接CD，如图所示：
由（1）得：，
∴CD＝BD＝4，
∵∠BAC＝90°，
∴BC是直径，
∴∠BDC＝90°，
∴BC＝＝4，
∴△ABC外接圆的半径＝×4＝2．
26．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，
∴＝．
又∵C是的中点，
∴＝，
∴＝．
∴∠ACP＝∠CAP．
∴PA＝PC，
∵AB是直径．
∴∠ACB＝90°．
∴∠PCQ＝90°﹣∠ACP，∠CQP＝90°﹣∠CAP，
∴∠PCQ＝∠CQP．
∴PC＝PQ．
∴PA＝PQ，即P是AQ的中点；
（2）∵＝，
∴∠CAQ＝∠ABC．
又∵∠ACQ＝∠BCA，
又∵AB＝10，
∴AC＝6，BC＝8．
根据直角三角形的面积公式，得：AC BC＝AB CH，
∴6×8＝10CH．
∴CH＝．
又∵CH＝HE，
∴CE＝2CH＝．
27．证明：（1）∠ABF＝∠ADC＝120°﹣∠ACD＝120°﹣∠DEC
＝120°﹣（60°+∠ADE）＝60°﹣∠ADE，（4分）
而∠F＝60°﹣∠ACF，（6分）
因为∠ACF＝∠ADE，（7分）
所以∠ABF＝∠F，所以AB＝AF．（8分）
（2）四边形ABCD内接于圆，所以∠ABD＝∠ACD，（10分）
又DE＝DC，所以∠DCE＝∠DEC＝∠AEB，（12分）
所以∠ABD＝∠AEB，
所以AB＝AE．（14分）
∵AB＝AF，
∴AB＝AF＝AE，即A是三角形BEF的外心．（16分）