2.6等腰三角形同步达标训练 2021-2022学年青岛版八年级数学上册 （Word版 含答案）

2021-2022学年青岛版八年级数学上册《2.6等腰三角形》同步达标训练（附答案）
一．选择题
1．如图，在△ABC中，点D在BC上，若AD＝BD＝DC，则∠BAC等于（　　）
A．60° B．80° C．90° D．100°
2．如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若△EDF是等腰三角形，则∠BDC＝（　　）
A．45° B．60° C．67.5° D．75°
3．已知等腰三角形的周长是20，其中一边长为6，则其它两边的长度分别是（　　）
A．6和8 B．7和7 C．6和8或7和7 D．3和11
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE分别是△ABC的中线和角平分线．若∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是（　　）
A．20° B．35° C．40° D．70°
5．等腰三角形周长为18cm，那么腰长y与底边长x的函数关系式是（　　）
A．y＝﹣2x+18 B．y＝﹣x+9 C． D．
6．如图，在△ABC中，AC＝BC，D在BC的延长线上，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点P，则下列结论中不一定正确的是（　　）
A．∠ACD＝2∠A B．∠A＝2∠P C．BP⊥AC D．BC＝CP
7．等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的底角为（　　）
A．65° B．65°或80° C．50°或65° D．40°
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12，则图中△BEF的面积为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
9．如图，△ABC是等边三角形，AQ＝PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR＝PS，则下列结论：①点P在∠A的角平分线上； ②AS＝AR； ③QP∥AR； ④△BRP≌△QSP．正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE＝CD，连接DE．下面给出的四个结论，其中正确的个数是（　　）
①BD⊥AC；②BD平分∠ABC；③BD＝DE；④∠BDE＝120°．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图所示，△ABC是等边三角形，且BD＝CE，∠1＝15°，则∠2的度数为（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
12．下列三角形，不一定是等边三角形的是（　　）
A．有两个角等于60°的三角形
B．有一个外角等于120°的等腰三角形
C．三个角都相等的三角形
D．边上的高也是这边的中线的三角形
13．下面给出几种三角形：（1）有两个角为60°的三角形；（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边上的高也是这边上的中线的三角形；（4）有一个角为60°的等腰三角形，其中是等边三角形的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
14．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．
其中是等边三角形的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°．若BE＝6cm，DE＝2cm，则BC的长为（　　）
A．4cm B．6cm C．8cm D．12cm
二．填空题
16．如图，在△ABC中，BC＝8cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是　 　cm．
17．如图，在△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，DE过点I，且DE∥BC．BD＝8cm，CE＝5cm，则DE等于　 　．
18．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若AB＝6，AC＝5，则△ADE的周长是　 　．
19．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．则下列结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP．其中正确的是　 　．
三．解答题
20．如图所示，△ABC中，AB＝AC，E在AC上，D在BA的延长线上，且AD＝AE，连接DE．求证：DE⊥BC．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．
（1）若∠A＝40°，求∠DCB的度数；
（2）若AE＝5，△DCB的周长为16，求△ABC的周长．
22．已知△ABC中，AC＝BC，∠C＝120°，点D为AB边的中点，∠EDF＝60°，DE、DF分别交AC、BC于E、F点．
（1）如图1，若EF∥AB．求证：DE＝DF．
（2）如图2，若EF与AB不平行．则问题（1）的结论是否成立？说明理由．
23．已知：点D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且BF＝CE．求证：△ABC是等腰三角形．
24．已知：如图，AB＝AC，D是AB上一点，DE⊥BC于点E，ED的延长线交CA的延长线于点F．求证：△ADF是等腰三角形．
25．已知：△ABC中，∠B、∠C的角平分线相交于点D，过D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，求证：BE+CF＝EF．
26．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝　 　°，∠DEC＝　 　°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变　 　（填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．
27．等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
28．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，
（1）求∠F的度数；
（2）若CD＝3，求DF的长．
29．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？
（2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形△AMN？
（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
参考答案
1．解：∵AD＝BD＝DC，
∴△ADB和△ADC都是等腰三角形
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAD，
∵∠B+∠BAD+∠CAD+∠C＝180°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
即∠BAC＝90°．
故选：C．
2．解：由翻折可知：△BED≌△BCD，
∴∠EBD＝∠CBD，∠E＝∠C＝90°
∵△EDF是等腰三角形，
∴∠EFD＝∠AFB＝∠ABF＝45°，
∴∠CBF＝45°，
∴∠CBD＝∠CBE＝22.5°，
∴∠BDC＝67.5°，
故选：C．
3．解：当腰为6时，另一腰也为6，则底为20﹣2×6＝8，
∵6+6＝12＞8，
∴三边能构成三角形．
当底为6时，腰为（20﹣6）÷2＝7，
∵7+7＞6，
∴三边能构成三角形．
故选：C．
4．解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，
∴∠BAD＝∠CAD＝20°，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ACB＝＝70°，
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE＝∠ACB＝35°，
故选：B．
5．解：∵等腰三角形周长为8cm，腰长为ycm，底边为xcm，
∴y＝（18﹣x）＝9﹣x；
故选：C．
6．解：∵AC＝BC，
∴∠A＝∠ABC，
∴∠ACD＝∠A+∠ABC＝2∠A，故A正确；
∵∠ABC与∠ACD的平分线相交于点P，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠A+∠ABC，∠PCD＝∠P+∠PBC，
∴ACD＝A+∠ABC＝∠P+∠PBC＝∠P+PBC，
∴∠A＝2∠P，故B正确；
∵∠A≠∠ACB，
∴无法判断BP⊥AC，故C错误；
∵∠PBC＝∠ABC，∵∠P＝∠A，
∵∠A＝∠ABC，
∴∠P＝∠PBC，
∴BC＝CP，故D正确，
故选：C．
7．解：当50°是等腰三角形的顶角时，则底角为（180°﹣50°）×＝65°；
当50°是底角时亦可．
故选：C．
8．解：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，S△ABC＝12，
∴S△ABD＝6，
∵点E、F是AD的三等分点，
∴S△BEF＝2．
故选：A．
9．解：∵△ABC是等边三角形，PR⊥AB，PS⊥AC，且PR＝PS，
∴P在∠A的平分线上，故①正确；
∵PA＝PA，PS＝PR，
∴Rt△APR≌Rt△APS（HL），
∴AS＝AR，故②正确；
∵AQ＝PQ，
∴∠PQC＝2∠PAC＝60°＝∠BAC，
∴PQ∥AR，故③正确；
由③得，△PQC是等边三角形，
∴△PQS≌△PCS，
又由②可知，④△BRP≌△QSP，故④也正确，
∵①②③④都正确，
故选：D．
10．解：∵△ABC是等边三角形，BD是AC上的中线，
∴∠ADB＝∠CDB＝90°，BD平分∠ABC；
∴BD⊥AC；
∵∠ACB＝∠CDE+∠DEC＝60°，
又CD＝CE，
∴∠CDE＝∠DEC＝30°，
∴∠CBD＝∠DEC，
∴DB＝DE．
∠BDE＝∠CDB+∠CDE＝120°
所以这四项都是正确的．
故选：D．
11．解：在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE，
∴∠1＝∠CBE，
∵∠2＝∠1+∠ABE，
∴∠2＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC＝60°．
故选：D．
12．解：A、根据有两个角等于60°的三角形是等边三角形，故此选项不合题意；
B、有一个外角等于120°的等腰三角形，则内角为60°的等腰三角形，此三角形是等边三角形，故此选项不合题意；
C、三个角都相等的三角形，内角一定为60°是等边三角形，故此选项不合题意；
D、边上的高也是这边的中线的三角形，也可能是等腰三角形，故此选项合题意．
故选：D．
13．解：有三角都是60°，或有三边相等的三角形是等边三角形，
那么可由（1），（2），（4）推出等边三角形，
而（3）只能得出这个三角形是等腰三角形．
故选：B．
14．解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形，故正确；
②这是等边三角形的判定2，故正确；
③三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，故正确；
④根据线段的垂直平分线的性质．可以证明三边相等，故正确．
所以都正确．
故选：D．
15．解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN＝CN，
∵∠EBC＝∠E＝60°，
∴△BEM为等边三角形，
∵BE＝6cm，DE＝2cm，
∴DM＝4cm，
∵△BEM为等边三角形，
∴∠EMB＝60°，
∵AN⊥BC，
∴∠DNM＝90°，
∴∠NDM＝30°，
∴NM＝2cm，
∴BN＝4cm，
∴BC＝2BN＝8cm．
故选：C．
16．解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE，
∵PD∥AB，PE∥AC，
∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE，
∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE，
∴BD＝PD，CE＝PE，
∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝BD+DE+EC＝BC＝8cm．
故答案是：8．
17．解：∵BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，
∴∠ABI＝∠CBI，∠ECI＝∠ICF，
∵DE∥BC，
∴∠DIB＝∠CBI，∠EIC＝∠ICF，
∴∠ABI＝∠DIB，∠ECI＝∠EIC，
∴DI＝BD＝8cm，EI＝CE＝5cm，
∴DE＝DI﹣EI＝3（cm）．
故答案为：3cm．
18．解：∵在△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠BCO，
∵DE∥BC，
∴∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠OCB，
∴∠ABO＝∠DOB，∠ACO＝∠EOC，
∴BD＝OD，CE＝OE，
∴△ADE的周长是：AD+DE+AE＝AD+OD+OE+AE＝AD+BD+CE+AE＝AB+AC＝6+5＝11．
故答案为：11．
19．解：∵等边△ABC和等边△CDE，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴180°﹣∠ECD＝180°﹣∠ACB，
即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD与△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，故①小题正确；
∵△ACD≌△BCE（已证），
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠ACB＝∠ECD＝60°（已证），
∴∠BCQ＝180°﹣60°×2＝60°，
∴∠ACB＝∠BCQ＝60°，
在△ACP与△BCQ中，，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴AP＝BQ，故③小题正确；PC＝QC，
∴△PCQ是等边三角形，
∴∠CPQ＝60°，
∴∠ACB＝∠CPQ，
∴PQ∥AE，故②小题正确；
∵AD＝BE，AP＝BQ，
∴AD﹣AP＝BE﹣BQ，
即DP＝QE，
∠DQE＝∠ECQ+∠CEQ＝60°+∠CEQ，∠CDE＝60°，
∴∠DQE≠∠CDE，故④小题错误．
综上所述，正确的是①②③．
故答案为：①②③．
20．证明：如图，过A作AM⊥BC于M，
∵AB＝AC，
∴∠BAC＝2∠BAM，
∵AD＝AE，
∴∠D＝∠AED，
∴∠BAC＝∠D+∠AED＝2∠D，
∴∠BAC＝2∠BAM＝2∠D，
∴∠BAM＝∠D，
∴DE∥AM，
∵AM⊥BC，
∴DE⊥BC．
21．解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB＝＝70°，
∵DE垂直平分AC，
∴DA＝DC，
∴在△DAC中，∠DCA＝∠A＝40°，
∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝30°；
（2）∵DE垂直平分AC，
∴DA＝DC，EC＝EA＝5，
∴AC＝2AE＝10，
∴△ABC的周长为：AC+BC+BD+DA＝10+BC+BD+DC＝10+16＝26．
22．解：（1）∵EF∥AB．
∴∠FEC＝∠A＝30°．
∠EFC＝∠B＝30°
∴EC＝CF．
又∵AC＝BC
∴AE＝BF
D是AB中点．
∴DB＝AD
∴△ADE≌△BDF．
∴DE＝DF
（2）过D作DM⊥AC交AC于M，再作DN⊥BC交BC于N．
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
又∵∠ACB＝120°，
∴∠A＝∠B＝（180°﹣∠ACB）÷2＝30°，
∴∠ADM＝∠BDN＝60°，
∴∠MDN＝180°﹣∠ADM﹣∠BDN＝60°．
∵AC＝BC、AD＝BD，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴DM＝DN．
由∠MDN＝60°、∠EDF＝60°，可知：
一、当M与E重合时，N就一定与F重合．此时：
DM＝DE、DN＝DF，结合证得的DM＝DN，得：DE＝DF，但EF∥AB，不合题意．
二、当M落在C、E之间时，N就一定落在B、F之间．此时：
∠EDM＝∠EDF﹣∠MDF＝60°﹣∠MDF，
∠FDN＝∠MDN﹣∠MDF＝60°﹣∠MDF，
∴∠EDM＝∠FDN，
又∵∠DME＝∠DNF＝90°、DM＝DN，
∴△DEM≌△DFN（ASA），
∴DE＝DF．
三、当M落在A、E之间时，N就一定落在C、F之间．此时：
∠EDM＝∠MDN﹣∠EDN＝60°﹣∠EDN，
∠FDN＝∠EDF﹣∠EDN＝60°﹣∠EDN，
∴∠EDM＝∠FDN，
又∵∠DME＝∠DNF＝90°、DM＝DN，
∴△DEM≌△DFN（ASA），
∴DE＝DF．
综上一、二、三所述，得：DE＝DF．
23．证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴△BDF与△CDE为直角三角形，
在Rt△BDF和Rt△CDE中，
，
∴Rt△BFD≌Rt△CED（HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
24．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C（等边对等角）．
∵DE⊥BC于E，
∴∠FEB＝∠FEC＝90°，
∴∠B+∠EDB＝∠C+∠EFC＝90°，
∴∠EFC＝∠EDB（等角的余角相等）．
∵∠EDB＝∠ADF（对顶角相等），
∴∠EFC＝∠ADF．
∴△ADF是等腰三角形．
25．证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠DBC，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴DE＝BE，
同理CF＝DF，
∴EF＝DE+DF＝BE+CF，
即BE+CF＝EF．
26．解：（1）∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣115°﹣40°＝25°，
∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝180°﹣40°﹣25°＝115°，
∠BDA逐渐变小；
故答案为：25°，115°，小；
（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，
理由：∵∠C＝40°，
∴∠DEC+∠EDC＝140°，
又∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB+∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC，
又∵AB＝DC＝2，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，
理由：∵∠BDA＝110°时，
∴∠ADC＝70°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝70°，∠AED＝∠C+∠EDC＝30°+40°＝70°，
∴∠DAC＝∠AED，
∴△ADE的形状是等腰三角形；
∵当∠BDA的度数为80°时，
∴∠ADC＝100°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝40°，
∴∠DAC＝∠ADE，
∴△ADE的形状是等腰三角形．
27．解：△APQ为等边三角形．
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC．
在△ABP与△ACQ中，
∵，
∴△ABP≌△ACQ（SAS）．
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ．
∵∠BAC＝∠BAP+∠PAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ+∠PAC＝60°，
∴△APQ是等边三角形．
28．解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B＝60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°；
（2）∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，
∴△EDC是等边三角形．
∴ED＝DC＝3，
∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，
∴DF＝2DE＝6．
29．解：（1）设点M、N运动x秒时，M、N两点重合，
x×1+12＝2x，
解得：x＝12；
（2）设点M、N运动t秒时，可得到等边三角形△AMN，如图①，
AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝12﹣2t，
∵三角形△AMN是等边三角形，
∴t＝12﹣2t，
解得t＝4，
∴点M、N运动4秒时，可得到等边三角形△AMN．
（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图②，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠ANB，
∵AB＝BC＝AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
∵，
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM＝BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，CM＝NB，
y﹣12＝36﹣2y，
解得：y＝16．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒．