2021-2022学年数学人教A版（2019）必修第一册3.2函数的单调性与最值 同步练习

3.2函数的基本性质 单调性
评卷人得分
一、单选题
1．下列函数之中，在区间上不是单调函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．函数y=x2-5x-6在区间[2，4]上是（ ）
A．递减函数 B．递增函数
C．先递减再递增函数 D．先递增再递减函数
3．函数的单调增区间为（ ）
A． B． C． D．
4．函数的单调区间为（ ）
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．在单调递增，在单调递减 D．在单调递减，在单调递增
5．以下函数中在区间上单调递增的函数是（ ）
A． B．
C． D．
6．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
7．若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．下列函数中，在区间上是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
9．函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
10．函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
11．函数f(x)=在R上（ ）
A．是减函数 B．是增函数
C．先减后增 D．先增后减
12．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
13．函数在区间上是减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．函数y＝f（x）在R上为增函数，且f（2m）＞f(﹣m+9），则实数m的取值范围是（　　）
A．(﹣∞，﹣3) B．(0，+∞)
C．(3，+∞) D．(﹣∞，﹣3)∪(3，+∞)
15．函数的增区间是（ ）
A． B．
C． D．
16．下列函数中，在区间上是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
17．函数在区间上的值域为（ ）
A． B． C． D．
评卷人得分
二、多选题
18．(多选)下列函数，值域为的是（ ）
A． B．
C． D．
19．（多选）下列函数中，满足“，，都有”的有（ ）
A． B． C． D．
20．（多选）下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
21（多选）．已知函数是上的减函数，则实数的取值可以是（ ）
A．-2 B．1 C．2 D．3
评卷人得分
三、填空题
22．已知函数在上单调递增，若，则满足的实数的取值范围是______
23．函数y＝ (x≠－2)在区间[0，5]上的最大值与最小值的和为________．
24．函数为定义在上的增函数，且，则实数的取值范围是________________．
25．如果函数在区间上单调递减，那么实数a的取值范围是________.
26．已知函数在区间上是严格减函数，则实数a的取值范围是_____.
评卷人得分
四、解答题
27．已知函数．
（1）试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明；
（2）对任意时，都成立，求实数的取值范围．
28．已知函数f(x)=，证明函数在(-2，+∞)上单调递增.
29．设函数．
（1）若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式：．
参考答案
1．D
【分析】
结合函数的单调性对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
A，在上递减.
B，在上递增.
C，，在上递增.
D，，在递减，在递增.
故选：D
2．C
【分析】
利用二次函数的性质即可判断作答.
【详解】
函数y=x2-5x-6的图象对称轴为，于是得这个函数在上单调递减，在上单调递增，
而，，于是得这个函数在[2，4]上先减后增，
所以函数y=x2-5x-6在区间[2，4]上是先递减再递增函数.
故选：C
3．A
【分析】
根据二次函数的开口和对称轴求解即可.
【详解】
二次函数，开口向下，对称轴为，
所以单调增区间为.
故选：A
4．D
【分析】
求出函数的对称轴，根据二次函数的性质即可求解.
【详解】
的对称轴为，开口向上，
所以在在单调递减，在单调递增，
故选：D
5．A
【分析】
化简各选项中的函数在上的解析式，利用基本初等函数的单调性可得出结论.
【详解】
对于A选项，当时，，该函数在上单调递增；
对于B选项，函数在上单调递减；
对于C选项，函数在上单调递减；
对于D选项，当时，，该函数在上单调递减.
故选：A.
6．D
【分析】
首先求出函数的定义域，再由二次函数的性质以及复合函数的单调性即可求解.
【详解】
由得或，即函数的定义域为，
又二次函数的图象的对称轴方程为，
所以函数（）在区间上单调递减，
在区间上单调递增，又函数为增函数，
所以的单调递减区间为．
故选：D
7．A
【分析】
结合二次函数的对称轴和单调性求得的取值范围.
【详解】
函数的对称轴为，由于在上是减函数，
所以.
故选:A
8．A
【分析】
由基本函数的性质逐个分析判断
【详解】
解：对于A，是过原点，经过一、三象限的一条直线，在上为增函数，所以A正确，
对于B，是一次函数，且，所以上为减函数，所以B错误，
对于C，是反比例函数，图像在一、三象限的双曲线，在上是减函数，所以C错误，
对于D，是二次函数，对称轴为轴，开口向下的抛物线，在上是减函数，所以D错误，
故选：A
9．C
【分析】
先求出定义域，再求出内层函数在定义域内的单调区间，然后由复合函数“同增异减”判断单调性的方法可得答案
【详解】
令，解得，
令，则，
∵函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在定义域内递增，
∴根据复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间是
故选：C
10．D
【分析】
先求出抛物线的对称轴，而抛物线的开口向下，且在区间上单调递增，所以，从而可求出的取值范围
【详解】
解：函数的图像的对称轴为，
因为函数在区间上单调递增，
所以，解得，
所以的取值范围为，
故选：D
11．B
【分析】
画出函数图像即可得解.
【详解】
选B.画出该分段函数的图象，由图象知，该函数在R上是增函数.
故选：B.
12．D
【分析】
直接由单调性的定义求解即可
【详解】
解：任取，且，
因为函数在上单调递增，
所以，即，
所以，，
因为，所以，，，
所以．
故选：D
13．A
【分析】
根据二次函数的性质计算可得；
【详解】
解：因为函数，对称轴为，开口向上，要使函数在区间上是减函数，所以，解得
故选：A
14．C
【分析】
根据增函数的定义求解．
【详解】
解：∵函数y＝f（x）在R上为增函数，且f（2m）f（﹣m+9），
∴2m﹣m+9，解得 m3，
故选：C．
15．C
【分析】
利用复合函数的单调性即可获解.
【详解】
函数的定义域为，
而是二次函数，开口向上的抛物线，对称轴为轴，所以增区间为.
故选：C.
16．D
【分析】
根据二次函数、反比例函数、函数的性质和特点，逐一判断四个选项的正误即可.
【详解】
对于选项A：对称轴为，开口向上，在单调递减，
在单调递减，故选项A不正确；
对于选项B：对称轴为，开口向下，在单调递减，故选项B不正确；
对于选项C：在和在单调递减，故选项C不正确；
对于选项D：，所以在上是单调递增，故选项D正确，
故选：D
17．C
【分析】
先根据函数解析式，判断函数单调性，进而可得出函数在给定区间的值域.
【详解】
因为反比例函数在上单调递减，函数的图像可由的图像向右平移一个单位后得到，
所以函数在上单调递减，
因此在区间上单调递减，
所以，即.
故选：C.
18．AC
【分析】
对每个选项进行值域判断即可.
【详解】
解：A选项，函数的值域为，正确；
B选项，函数的值域为，错误；
C选项，函数的值域为，正确；
D选项，函数的值域为，错误.
故选：AC.
19．CD
【分析】
根据函数的开口方向及对称轴求得函数的单调区间.
【详解】
解：函数开口向上，
对称轴为，故单调递减区间为，递增区间为，
故选：CD.
20．BD
【分析】
由题设条件可得应为上的增函数，逐项判断后可得正确的选项.
【详解】
因为，，都有，故应为上的减函数.
对于A，当 ，，则在上为增函数，故A错误.
对于B，在上为减函数，故B正确.
对于C，对称轴，故在上为增函数，故C错误.
对于D，在上为减函数，故D正确.
故选：BD．
21．CD
【分析】
根据基本初等函数的单调性，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
A选项，一次函数在定义域上是减函数，故A错；
B选项，反比例函数在上是见减函数，故B错；
C选项， 二次函数开口向上，对称轴为，所以其在上单调递增，故C正确；
D选项，一次函数在定义域上是增函数，因此在区间上为增函数，故D正确.
故选：CD.
22．
【分析】
由题意可得，再根据单调性去掉，解不等式即可.
【详解】
因为，所以，
因为函数在上单调递增，
所以，可得，
所以满足的实数的取值范围是，
故答案为：.
23．
【分析】
先判断函数的单调性，然后由函数单调性求出函数的最值
【详解】
任取，且，则
，
所以，且，
所以，，
所以，即，
所以函数y＝在区间[0，5]上单调递减，
所以当x＝0时，ymax＝，
当x＝5时，ymin＝.
所以ymax＋ymin＝＋＝.
故答案为：
24．．
【分析】
根据函数的单调性可得，解不等式组即可求解.
【详解】
由题意得，解得．
所以实数的取值范围是.
故答案为：
25．
【分析】
结合题意与二次函数的对称轴与开口方向得到，解之即可.
【详解】
函数的对称轴为，且开口向上，由题意知，即，
所以实数a的取值范围是，
故答案为：.
26．
【分析】
直接由对称轴可得解.
【详解】
由函数在区间上是严格减函数，
可得对称轴，解得.
故答案为：.
27．（1）在上单调递减，证明见解析；（2）.
【分析】
（1）利用单调性定义：设并证明的大小关系即可.
（2）由（1）及函数不等式恒成立可知：在已知区间上恒成立，即可求的取值范围．
【详解】
（1）函数在区间上单调递减，以下证明：设，
∵，
∴，，，
∴，
∴在区间上单调递减；
（2）由（2）可知在上单调减函数，
∴当时，取得最小值，即，
对任意时，都成立，只需成立，
∴，解得：．
28．证明见解析.
【分析】
x1，x2∈(-2，+∞)，利用作差法和0比可得函数值大小进而可证得.
【详解】
证明： x1，x2∈(-2，+∞)，且x1>x2>-2，
f(x)=
则f(x1)-f(x2)=
=，
因为x1>x2>-2，
所以x1-x2>0，x1+2>0，x2+2>0，
所以>0，所以f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在(-2，+∞)上单调递增.
29．（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．
【分析】
（1）原不等式等价于，变换主元为关于的一次函数，判断单调性求出最小值大于等于0，求解即可；
（2）当时，求解集，时，因为分解为，分情况讨论的正负以及根的大小分别求出解集.
【详解】
（1）不等式对于实数时恒成立，即，
显然，函数在上递增，从而得，即，解得，
所以实数的取值范围是；
（2）不等式，
当时，，
当时，不等式可化为，而，解得，
当时，不等式可化为，
当，即时，，
当，即时，或，
当，即时，或，
所以，当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为．