5.1.2 弧度制 强化训练-2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.1.2 弧度制 强化训练
一、单选题
1．已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形所在圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
2．若某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．某学校大门口有一座钟楼，每到夜晚灯光亮起都是一道靓丽的风景，有一天因停电导致钟表慢10分钟，则将钟表拨快到准确时间分针所转过的弧度数是（ ）
A． B． C． D．
4．已知一个扇形的圆心角为，所对的弧长为，则该扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示的复古时钟显示的时刻为，将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针所夹的钝角为（ ）
A． B． C． D．
6．与角的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12 cm，则弧长l等于（ ）
A．π cm B．π cm
C．4 cm D．8 cm
8．勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形．勒洛三角形的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，即能在距离等于其圆弧半径（等于正三角形的边长）的两条平行线间自由转动，并且始终保持与两直线都接触．机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成勒洛三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来．如在勒洛三角形ABC内随机选取一点，则该点位于正三角形ABC内的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知扇形的周长是，面积是，则扇形的中心角的弧度数可能是（ ）
A． B． C．2 D．或
10．中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形（如图）的面积为，圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，圆心角为，当与的比值为（黄金分割比）时，折扇看上去较为美观，那么（ ）
A． B． C． D．
11．设扇形的圆心角为，半径为，弧长为l，面积为S，周长为L，则（ ）
A．若，r确定，则L，S唯一确定
B．若，l确定，则L，S唯一确定
C．若S，L确定，则，r唯一确定
D．若S，l确定，则，r唯一确定
12．下列说法错误的是（ ）
A．若角，则角为第二象限角
B．如果以零时为起始位置，那么钟表的分针在旋转时所形成的角为负角
C．若角为第一象限角，则角也是第一象限角
D．若一扇形的圆心角为30°，半径为，则扇形面积为
三、填空题
13．如图，在菱形ABCD中，，以B为圆心，AB长度为半径画弧，若，则图中阴影部分的面积为________________.
14．已知弧度数为的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是__________.
15．已知，则按从小到大排列为_______.
16．一扇形的周长为7，面积为3，则这扇形的弧所对的圆心角为__________．
四、解答题
17．单位圆上有两个动点、，同时从点出发，沿圆周运动，点按逆时针方向每秒钟走，点按顺时针方向每秒钟走，试求它们出发后第三次相遇时的位置和各自走过的弧度.
18．绳子绕在半径为50cm的轮圈上，绳子的下端B处悬挂着物体W，如果轮子按逆时针方向每分钟匀速旋转4圈，那么需要多少秒钟才能把物体W的位置向上提升100cm
19．已知一扇形的圆心角为，周长为，面积为，所在圆的半径为.
（1）若，，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
（2）若，，求的值.
20．（1）若某扇形的圆心角为75°，半径为，求扇形的面积？
（2）若一扇形的周长为，那么当它的半径和圆心角各为多少时，扇形的面积达到最大？最大值是多少？
参考答案
1．B
【解析】因扇形的圆心角为，则此圆心角的弧度数是，设圆的半径为r，
则由扇形面积公式得：，而，解得，
所以该扇形所在圆的半径为2.
故选：B
2．B
【解析】设该扇形半径为，
又∵圆心角，弧长，
∴扇形弧长公式可得，，解得，.
故选：B.
3．A
【解析】分针需要顺时针方向旋转，即弧度数为.
故选：A.
4．D
【解析】由得，
所以该扇形的面积为.
故选：D.
5．B
【解析】表有个刻度，相邻两个刻度所对的圆心角为；
当时针指向，分针指向时，时针与分针夹角为；
但当分针指向时，时针由向移动了；
该时刻的时针与分针所夹钝角为.
故选：B.
6．C
【解析】首先角度制与弧度制不能混用，所以选项AB错误；
又与的终边相同的角可以写成，
所以正确．
故选：．
7．B
【解析】设扇形的半径为r cm，如图．
由sin 60°＝，得r＝4cm，
∴l＝|α|·r＝×4＝cm，
故选：B.
8．A
【解析】解：由题意可得正三角形的边长为半径的三段圆弧组成的曲边三角形的面积
S曲＝S扇形CAB+2S拱＝22+2（S扇形﹣S△ABC）＝3﹣222＝2π﹣2，
三角形ABC的面积S△ABC＝＝，
所以由几何概型的概率公式可得：所求概率＝＝，
故选：A．
9．AC
【解析】设扇形的半径为，弧长为 ，则，
∴解得 或，则或1.
故选：AC．
10．BCD
【解析】设扇形的半径为，由，故D正确；
由，
所以，解得，故C正确；
由，则，
所以，
所以，故B正确.
故选：BCD
11．ABD
【解析】解：依题意可得，，
对于A：若、确定，显然，唯一确定，故A正确；
对于B：若、确定，由，则确定，所以，唯一确定，故B正确；
对于C：若、确定，则， 与需要解三次方程，所以、不唯一确定，故C错误；
对于D：若、确定，则， 即可唯一的求出与，所以、唯一确定，故D正确；
故选：ABD
12．CD
【解析】选项A中，，故角为第二象限角，正确；
选项B中，以零时为起始位置，则钟表的分针是顺时针旋转，故所形成的角为负角，正确；
选项C中，角为第一象限角，例如，则不是第一象限角，故错误；
选项D中，扇形的圆心角为30°，即，半径为，故扇形面积为，故错误.
故选：CD.
13．
【解析】依题意可知，阴影部分面积为.
故答案为：
14．
【解析】若圆的半径为，则，可得，
∴圆心角所对的弧长.
故答案为：
15．
【解析】,
,
故答案为：
16．或
【解析】设扇形的半径为r，弧长为l，因为扇形的周长为7，面积为3，所以
，解得或，又，所以或，
故答案为：或.
17．点走了，点走了，它们在点处相遇.
【解析】设两个动点从出发，后、第三次相遇，则，故.
此时点走了，点走了，它们在点处相遇.
18．
【解析】解：设需要才能把物体W的位置向上提升100cm，则，
解得，
即需要才能把物体W的位置向上提升100cm.
19．（1）5π（cm），25π–50（cm2）；（2）或.
【解析】（1）设弧长为，弓形面积为，
则，，
，
；
（2）由已知得，解得或，
或
20．（1）；（2），时，．
【解析】（1）因为，
扇形面积，
（2）设扇形的弧长为，半径为，
，得，，
扇形的面积，
当时，扇形面积达到最大，最大值是，
此时，圆心角，
所以当半径，圆心角时，扇形面积达到最大，最大值是.