4.2.2 指数函数的图象和性质 强化训练-2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（Word含答案解析）

4.2.2 指数函数的图象和性质 强化训练
一、单选题
1．若函数在实数集R上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知（，且），且，则a的取值范围是（ ）
A．（0，＋∞） B．（1，＋∞）
C．（－∞，1） D．（0，1）
3．若函数, 则该函数在(-∞,+∞)上是
A．单调递减无最小值 B．单调递减有最小值
C．单调递增无最大值 D．单调递增有最大值
4．指数函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3,则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是
A．6 B．3 C．1 D．
5．设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-2)等于(　　).
A．-7 B．-3 C．7 D．3
6．若，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．如图是指数函数①，②，③，④的图像，则a，b，c，d与0和1的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
8．对于给定的正数，定义函数，若对于函数的定义域内的任意实数，恒有，则
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最大值为1 D．的最小值为1
二、多选题
9．(多选)已知函数其中且，则下列结论正确的是（ ）
A．函数是奇函数
B．函数在其定义域上有解
C．函数的图象过定点
D．当时，函数在其定义域上为单调递增函数
10．如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：）与时间t（单位：月）的关系为．关于下列法正确的是（ ）
A．浮萍每月的增长率为2
B．浮萍每月增加的面积都相等
C．第4个月时，浮萍面积不超过
D．若浮萍蔓延到、、所经过的时间分别是、、，则
11．已知是定义在上的奇函数，的图象关于对称，当时，，则下列判断正确的是（ ）
A．的周期为4 B．的值域为
C．是偶函数 D．
12．已知函数，，则，满足（ ）
A． B．
C． D．
E.
三、填空题
13．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂.已知每一天荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，且荷叶20天可以完全长满池塘水面.当荷叶覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天.
14．已知实数a、b满足等式a＝b，下列五个关系式：
①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.
其中所有不可能成立的关系式为________．(填序号)
15．函数的值域是_______
16．函数是定义在上的偶函数，且当时，．若对任意的，均有，则实数的取值范围是________．
四、解答题
17．已知函数.
（1）如果求的取值范围；
（2）如果，求的取值范围.
18．（1）求函数y＝的定义域与值域；
（2）求函数y＝x－1－4·x＋2，x∈[0，2]的最大值和最小值及相应的x的值．
19．已知函数．
（1） 若的图像如图（1）所示，求的值；
（2） 若的图像如图（2）所示，求的取值范围．
（3） 在(1)中，若有且仅有一个实数解，求出m的范围．
20．已知函数.
（1）试求函数，的最大值；
（2）若存在，使成立，试求的取值范围；
（3）当，且时，不等式恒成立，求的取值范围.
参考答案
1．B
【解析】∵在实数集R上是减函数
∴有0＜1－2a＜1，解得0＜a＜
即实数a的取值范围是
故选：B
2．D
【解析】由，且，排除AC；
∵，
当时，为单调递减函数，∴，与已知矛盾矛盾，故B错误；
当时，为单调递增函数，∴，符合题意.
故选：D.
3．A
【解析】本题考查函数的单调性及最值.
设，则当时为增函数，且；
于是为减函数，其图象如图所示：
则故为减函数且；图象在轴上方，，所以原函数既无最小值，也无最大值.
故正确答案为A.
4．B
【解析】当时,指数函数y＝ax是单调递增函数,因此当指数函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值分别是,由题意可知：,所以函数在[0,1]上的最大值为：
；
当时,指数函数y＝ax是单调递减函数,因此当指数函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值分别是,由题意可知：舍去.
故选：B
5．A
【解析】为定义在上的奇函数，当时，为常数），，解得，，， ，故选A.
6．B
【解析】由得，，所以，解得，
故选：B
7．B
【解析】当底数大于1时指数函数是定义域内的增函数，
当底数大于0小于1时是定义域内的减函数，
由图可知，大于1，，大于0小于1．
又由图可知，即．，即．
，，，与1的大小关系是．
故选：．
8．B
【解析】因为，所以由定义知，
因为，所以，则函数的定义域为，
令 ，则 ， ，所以 ，因此 .
故选B.
9．ABD
【解析】，定义域为，，所以为奇函数，且，故选项A，B正确，选项C错误；
，，，在上均为增函数，在其定义域上为单调递增函数，所以选项D正确．
故选：ABD．
10．AD
【解析】由图象可知，函数图象过点，所以，
所以函数解析式为，
所以浮萍每月的增长率为，故选项A正确；
浮萍第一个月增加的面积为平方米，第二个月增加的面积为平方米，故选项B不正确；
第四个月时，浮萍面积为平方米，故C不正确；
由题意得，，，所以，，，
所以，故D正确.
故选：AD
11．ACD
【解析】是奇函数，，又的图象关于直线对称，所以，所以，从而，
所以是周期函数，4是它的一个周期，
的图象是由的图象向左平移1个单位得到的，因此的图象关于轴对称，它是偶函数，
，
时，，，，时，，再由对称性，周期性可得的值域是，
综上ACD正确，B错误．
故选：ACD．
12．ABD
【解析】A正确，，，
所以；
B正确，因为函数为增函数，所以；
C不正确，；
D正确，；
E不正确，.
故选：ABD.
13．19
【解析】设荷叶覆盖水面面积y与生长时间x的函数关系式为，根据题意：令，即生长19天时，布满水面一半.
故答案为：19.
14．③④
【解析】条件中的等式 2a=3b alg2=blg3．若a≠0，则∈（0，1）．
（1）当a＞0时，有a＞b＞0，即关系式①成立，而③不可能成立；
（2）当a＜0时，则b＜0，b＞a，即关系式②成立，而④不可能成立；
若a=0，则b=0，故关系式⑤可能成立．
15．
【解析】解：令，则，而，
又因为以为底数的指数函数在定义域上是减函数，
所以.
故函数的值域为：
故答案为：.
16．.
【解析】∵是定义在上的偶函数，且当时，，
∴，则，
则等价于，
当时为增函数，则，即对任意恒成立，
设，则，解得，又，所以.
故答案为：.
17．（1）；（2）.
【解析】（1）由得，即得的范围；
（2）由得，再将函数变为，利用二次函数的性质即可得范围.
试题解析：
.
（1）由，得 所以，
因为所以，解得
所以，的取值范围为.
（2）因为，所以
而，于是，当时，取得最小值，且最小值为；
当时，取得最大值，且最大值为
所以，的取值范围为.
18．（1）定义域为{x|x≥2}；值域为{y|0＜y≤1}；（2）函数的最大值是2，此时x＝0，函数的最小值为1，此时x＝1．
【解析】（1）由x－2≥0，得x≥2，所以定义域为{x|x≥2}．
当x≥2时，≥0，
又因为0＜＜1，
所以y＝的值域为{y|0＜y≤1}．
（2）∵函数y＝x－1－4·x＋2，
∴y＝4x－4·x＋2，
令m＝，则．
由0≤x≤2，知≤m≤1．
∴f(m)＝4m2－4m＋2＝42＋1．
∴当m＝，即当x＝1时，f(m)有最小值1；
当m＝1，即x＝0时，f(m)有最大值2．
故函数的最大值是2，此时x＝0，函数的最小值为1，此时x＝1．
19．（1）；（2）；（3）m＝0或m≥3.
【解析】（1）的图象过点，
所以，解得；
（2）单调递减，所以0＜a＜1，又f（0）＜0，
即，所以．
（3）由（1）得：函数，
在同一个坐标系中，画出函数和y＝m的图象，
观察图象可知，当m＝0或m≥3时，两图象有一个交点，
所以|f（x）|＝m有且仅有一个实数解时，
m的范围是：m＝0或m≥3.
20．（1）；（2），或；（3）.
【解析】解：（1），，令，，
即有，
当时，有最大值为1；
当时，对称轴为，讨论对称轴和区间的关系，
若，即，；
若，即，；
若，即，.
综上可得，.
（2）令，则存在使得，
所以存在使得，或.
即存在使得，，或；
（3）由得恒成立
因为，且，所以问题即为恒成立，.
设令，
.
所以，当时，，.