3.2.1 单调性与最大（小）值 强化训练- 2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（Word含答案解析）

课时3.2.1 单调性与最大（小）值
一、单选题
1．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售辆该品牌车的利润（单位：万元）分别为和.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为（ ）
A．90万元 B．60万元 C．120万元 D．120.25万元
2．对于函数在给定区间上有两个数，且使成立，则 (　　)
A．一定是增函数 B．一定是减函数
C．可能是常数函数 D．单调性不能确定
3．函数的图象如图所示，则函数的最大值、最小值分别为（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
4．若定义在R上的二次函数在区间[0，2]上是增函数，且，则实数m的取值范围是（ ）
A．0≤m≤4 B．0≤m≤2
C．m≤0 D．m≤0或m≥4
5．下列函数中，在(－∞，0]内为增函数的是(　　)
A．y＝x2－2 B．y＝
C．y＝1＋2x D．y＝－(x＋2)2
6．已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．设函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在上是单调函数；②在上的值域是，则称区间是函数的“和谐区间”，
下列结论错误的是（ ）
A．函数存在 “和谐区间”
B．函数存在 “和谐区间”
C．函数不存在 “和谐区间”
D．函数存在 “和谐区间”
8．若至少存在一个,使得关于x的不等式成立,则实数m的取值范围是
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．当时，此函数的最大值为1，最小值为2a+1
B．当时，此函数的最大值为2a+1，最小值为1
C．当时，此函数的最大值为1，最小值为2a+1
D．当时，此函数的最大值为2a+1，最小值为1
10．如果函数f（x）在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b]（x1≠x2），下列结论中正确的是（ ）
A． >0
B．（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]>0
C．f（a）D． >0
11．（多选题）已知函数的定义域为，若存在区间使得：
（1）在上是单调函数；
（2）在上的值域是，
则称区间为函数的“倍值区间”．
下列函数中存在“倍值区间”的有（ ）
A．； B．； C．； D．．
12．若函数在区间上有最小值，则关于函数在区间上的说法错误的有（ ）
A．有最小值 B．有最大值
C．是减函数 D．是增函数
三、填空题
13．已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)14．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时函数f(x)是增函数，当x∈(－∞，－2]时函数f(x)是减函数，则f(1)＝________.
15．已知函数定义域为R，满足，且对任意，均有，则不等式解集为______．
16．已知不等式在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是________.
四、解答题
17．若二次函数满足f（x＋1）－f（x）＝2x且f（0）＝1.
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在区间[－1，1]上不等式f（x）>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围.
18．讨论函数f(x)＝在(－2，＋∞)上的单调性.
19．已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.
（1）求证：f(x)是R上的单调减函数.
（2）求f(x)在[－3，3]上的最小值.
20．已知函数．
（1）证明：函数在上是减函数；
（2）求函数在上的最大值和最小值．
参考答案
1．C
【解析】设公司在甲地销售辆，则在乙地销售辆，公司获利为，∴当或10时，最大，为120万元.故选C.
2．D
【解析】∵由单调性的定义可以知道，不能用特殊值代替一般值
∴若使函数为增函数，应为任意两个数，且使
故单调性不能确定
故选D
3．C
【解析】根据函数最值定义，结合函数图象可知，当时，取得最小值；当时，取得最大值．
故选：C.
4．A
【解析】∵在区间[0，2]上是增函数
∴，解得a＜0
又图象的对称轴为
∴x在[0，2]上的值域与[2，4]上的值域相同
故满足的m的取值范围是0≤m≤4
故答案为：A
5．C
【解析】A中，因为y＝x2－2在（－∞，0）上为减函数，所以A不对；
B中，因为y＝在（－∞，0）上为减函数，所以B不对；
C中，∵y=1+2x在（－∞，+∞）上为增函数，故C正确；
D中，∵y＝－(x＋2)2的对称轴是x=－2，∴在（-∞，－2）上为增函数，在（－2，+∞）上为减函数，故D不对．
故选：C
6．A
【解析】由于函数是上的减函数，
则函数在上为减函数，所以，，解得.
且有，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：A.
7．D
【解析】试题分析：A中，当时，在上是单调增函数，且在上的值域是，∴存在“和谐区间”，原命题正确；B中，当时，在上是单调增函数，且在上的值域是，∴存在“和谐区间”，原命题正确；C中，是单调减函数与没有两个交点，∴不存在“和谐区间”，原命题正确；D中，当时，是单调增函数，假设存在满足题意，则，且，即，且；∴，且，即，且；这与函数的单调性矛盾，∴假设不成立，即函数不存在“和谐区间”，原命题不正确；故选D.
8．D
【解析】原不等式可变形为，作出函数和的图象，由题意在时，至少有一点满足，
当与相切时，，，由得，
当过点时，，
∴．
故选：D.
9．AD
【解析】当时，函数在区间上单调递减，
当时，函数取得最大值为1；当时，函数取得最小值为．
当时，函数在区间上单调递增，当时，
函数取得最小值为1，当时，函数取得最大值为．
故选：AD．
10．ABD
【解析】因为f（x）在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b]（x1≠x2），x1－x2与f（x1）－f（x2）的符号相同，故A，B，D都正确，而C中应为若x1故选：ABD
11．ABD
【解析】函数中存在“倍值区间”，则（1）在内是单调函数，（2）或，
对于A，，若存在“倍值区间”，则，，存在“倍值区间”；
对于B，，若存在“倍值区间”，当时，，故只需即可，故存在；
对于C，；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
若存在“倍值区间”，，
不符题意；
若存在“倍值区间”，不符题意，故此函数不存在“倍值区间“；
对于D，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，若存在“倍值区间”，，，，，
即存在“倍值区间”；
故选：ABD．
12．ABC
【解析】由题意知图象的对称轴为直线，且，．
当时，易知在上单调递增且无最值；
当时，，在上单调递增且无最值；
当时，在上单调递增，又，故在上单调递增且无最值．
故选：ABC
13．[1，)
【解析】由题意，得,解得1≤x<，
故满足条件的x的取值范围是1≤x<.
故答案为[1，)
14．13
【解析】∵函数f(x)在(－∞，－2]上是减函数，在[－2，＋∞)上是增函数，
∴x＝－＝＝－2，
∴m＝－8，故f(x)＝2x2＋8x＋3，
∴f(1)＝13.
故答案为：13．
15．
【解析】因为函数满足，
所以函数关于直线对称，
因为对任意，均有成立，
所以函数在上单调递增．
由对称性可知在上单调递减．
因为，即，
所以，即，
解得或．
故答案为：
16．(－∞，－2)
【解析】二次函数的对称轴是x＝2
∴该函数在(－∞，0]上单调递减，即在(－∞，0]上
同理，函数在(0，＋∞)上单调递减，即在(0，＋∞)上
∴分段函数在处连续，在R上单调递减
由有，即2x < a在[a，a＋1]上恒成立
∴2(a＋1) < a，解得a <－2
∴实数a的取值范围是(－∞，－2)
故答案为：(－∞，－2)
17．（1）f（x）＝x2－x＋1；（2）m<－1.
【解析】（1）设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），由f（0）＝1，
∴c＝1，∴f（x）＝ax2＋bx＋1.
∵f（x＋1）－f（x）＝2x，
∴2ax＋a＋b＝2x，∴，∴，
∴f（x）＝x2－x＋1.
（2）由题意：x2－x＋1>2x＋m在[－1，1]上恒成立，即x2－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立.
令g（x）＝x2－3x＋1－m＝2－－m，其对称轴为x＝，
∴g（x）在区间[－1，1]上是减函数，
∴g（x）min＝g（1）＝1－3＋1－m>0，
∴m<－1.
18．答案见解析.
【解析】f(x)＝＝a＋，
设任意x1，x2∈(－2，＋∞)且x1∵－20，又(x2＋2)(x1＋2)>0.
（1）若a<，则1－2a>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，则f(x)在(－2，＋∞)上为减函数.
（2）若a>，则1－2a<0.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)综上，当a<时，f(x)在(－2，＋∞)上为减函数；当a>时，f(x)在(－2，＋∞)上为增函数.
19．（1）证明见解析；（2）.
【解析】(1)证明：设x1，x2是任意的两个实数，且x10，
因为x>0时，f(x)<0，所以f(x2－x1)<0，
又因为x2＝(x2－x1)＋x1，所以f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)，
所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)<0，所以f(x2)所以f(x)是R上的单调减函数.
(2)由(1)可知f(x)在R上是减函数，所以f(x)在[－3，3]上也是减函数，
所以f(x)在[－3，3]上的最小值为f(3).
而f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝3×＝－2.
所以函数f(x)在[－3，3]上的最小值是－2.
20．（1）证明见解析；（2）最大值为3，最小值为
【解析】（1）证明：设是区间上的任意两个实数，且，
则，
因为，所以，且，所以，
所以函数在区间上是减函数．
（2）由（1）知，函数在上是减函数，因此，函数在区间的两个端点上分别取得最大值与最小值，即最大值为，最小值为．