2021秋北师版九上数学1.1.3菱形的性质与判定的综合应用导学案（有答案）

2021秋北师版九上数学1.1.3菱形的性质与判定的综合应用导学案
学习目标
能够熟练的用符号语言表示菱形的判定与性质；并能正确利用菱形的判定与性质解决一些简单的计算和证明问题.
正确掌握菱形面积的计算方法并会运用其熟练进行计算.
学习策略
在正确理解菱形判定与性质的基础上进一步熟练运用；
用三角形面积法探究菱形面积计算的新方法.
学习过程
一.复习回顾：
1.菱形的性质
（1）菱形是轴对称图形，它的对角线所在直线就是它的对称轴
（2）菱形的四条边都相等.
（3）两条对角线互相垂直平分.
（4）每一条对角线平分一组对角.
2.菱形的判定
二.新课学习：
1.用菱形性质推出菱形面积计算公式
将一张长方形纸对折，再在折痕上取任意长为底边，剪一个等腰三角形，然后打开即是菱形(如图1) ．
要让学生知道性质1的已知：如上图，菱形ABCD，和结论：AB=BC=CD=DA．
性质2的已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，和结论：AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD；BD平分∠ABC和∠ADC．并能灵活运用．
（3）指出：菱形是轴对称图形，它有两条对称轴，这两条对称轴是菱形的对角线所在直线，所以两条对称轴互相垂直．
（4）让学生知道：菱形ABCD被对角线AC、BD分成了四个全等的直角三角形，在计算或证明时常用这个结论．
（5）菱形的面积公式是 （其中a，b是菱形的两条对角线分别的长）．即：“菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半”．还要指出：当不易求出对角线长时，就用平行四边形面积的一般计算方法计算菱形面积S=底×高．
例题3.见课本P8
2.用菱形的判定与性质解决问题：
如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD就是菱形；试说明为什么？
提示：
1.四边形ABCD是平行四边形吗？
2.再添加什么条件，平行四边形就是菱形？
3.平行四边形的对角相等吗？
4.两纸条等宽吗？（关键条件）
5.构造全等三角形，证明邻边相等.
三.尝试应用：
1．若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为 ．
2．已知菱形的两条对角线分别是6cm和8cm ，求菱形的周长和面积．
3．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1∶2，求菱形的对角线的长
和面积．
4．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．
求证：∠AEF=∠AFE．
四.自主总结：
1.菱形的定义.
2.菱形的性质.
3.菱形判定
4.菱形与平行四边形的关系.
五.达标测试
1．下列条件中，能判定四边形是菱形的是 （ ）．
（A）两条对角线相等 （B）两条对角线互相垂直
（C）两条对角线相等且互相垂直 （D）两条对角线互相垂直平分
2.菱形ABCD中，∠D∶∠A=3∶1，菱形的周长为 8cm，求菱形的高．
3．四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm，
求（1）对角线AC的长度；
（2）菱形ABCD的面积．
4.已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于E，F．
求证：四边形AFCE是菱形．
5.已知：如图，△ABC中， ∠ACB=90°，BE平分∠ABC，CD⊥AB与D，EH⊥AB于H，CD交BE于F．
求证：四边形CEHF为菱形．
达标测试答案
1. D
2.菱形的高是
3.（1）24，（2）120
4.证明：∵　 四边形ABCD是平行四边形，
∴　 AE∥FC．
∴　 ∠1=∠2．
又　 ∠AOE=∠COF，AO=CO，
∴　 △AOE≌△COF．
∴　 EO=FO．
∴　 四边形AFCE是平行四边形．
又　 EF⊥AC，
∴　 AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)．
5. 略证：易证CF∥EH，CE=EH，在Rt△BCE中，∠CBE+∠CEB=90°，在Rt△BDF中，∠DBF+∠DFB=90°，因为∠CBE=∠DBF，∠CFE=∠DFB，所以∠CEB=∠CFE，所以CE=CF．
所以，CF=CE=EH，CF∥EH，所以四边形CEHF为菱形．