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第8课时 §11.3角平分线的性质（1）
配 套 练 习
班级 姓名 学号
一.基础训练：
1、角平分线的性质定理： 。
2、∠AOB的平分线上一点M ，M到 OA的距离为1.5 cm，则M到OB的距离为_________.
3、一张直角三角形的纸片，如图那样折叠，使两个锐角顶点A、B重合，若DE = DC, 则∠A = °.
4．如图在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于( )
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm
二.技能与方法
1、请用尺规作出∠AOB的角平分线：
2、已知：如图13，∠1＝∠2，CD⊥AB于D， BE⊥AC于E，BE、CD交于点O．
求证：OC=OB．
三、拓展与提高
如图1-40所示的零件由两条线段AB、CD和两条弧、组成，在工厂学工的小明同学要在工件上画出直线AB、CD交角的平分线，由于工件上没有角的顶点，小明想了很久，也没有想出怎样画这条角平分线，同学们，你们能告诉小明怎样画吗？
EMBED MSPhotoEd.3
D
4题图
3题图
A
O
B
A
2
1
D
C
B
E
O
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第8课时 §11.3角平分线的性质（1）
教学随笔
——用几何画板进行数学教学的几点思考
本节课在讲解“角平分线的性质”的导出过程中充分运用了几何画板的数形功能，学生通过几何画板提供的数据、图像或动态表现，有了更多的观察、探索、试验和模拟的机会，从而可以形成顿悟和直觉，可以做出预测，又可以通过检验假设，证明自己的猜想。我们初中数学中许多定理都存在于图形的运动变化中，而传统的教学很难向学生展示这种运动变化过程，也就不能让学生领悟图形运动变化中不变的几何原理，因而一些学生只能被动的接受教学内容。有了几何画板可以让我们根据需要予以变化，展示图形变化过程中给定的几何原理。
1. 用几何画板进行数学实验实际上就是把数形结合进行了深化、规范、准确。由于几何画板具有直观性、准确性、开放性、操作简便等特点，给学生留下很大的创造空间，教师要面对学生不断提出的新问题，这就要求教师本人也要不断研究学习才能具备必要的应变和驾驭能力。
2. 由于几何画板软件比较灵活、开放，学生往往会沉迷于对几何画板的好奇，而忽略对数学问题的思考。教师要对学生强调几何画板只是一种工具，对数学问题的研究、解决才是学习的核心任务，千万不要舍本逐末。
3. 几何画板为学生更好地理解和应用数学开拓了广阔空间，也为学更多更深的数学提供了可能，但是，不能用它来替代严密的逻辑推理。因此，应当使几何画板的应用与传统的逻辑推理、科学论证、尺规作图等之间达到一种平衡。
总之，利用《几何画板》在数学教学中不仅能帮助学生理解数学概念，解决数学问题，探索数学知识，同时也能不断地培养学生的创新思维与创新能力。利用几何画板地直观性、可操作性，可以改善认知环境，使数学对象直观化、形象化。这不仅给了学生一个发展自己奇思妙想的空间，使学生从“学数学”变成了“做数学”，这一变化，促使学生进行不断地探索，为学生创新能力的培养开辟了广阔的空间，对学生数学能力的培养也是非常有效的。
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第8课时 §11.3角平分线的性质（1）
教学设计
教学目标 知识技能 在探究作角平分线的方法和角平分线性质的过程中，掌握角平分线的作法和角平分线的性质，发展数学直觉。
过程方法 1、通过探究作角平分线的方法的学习，提高学生数学理论的探究能力；2、通过学分线性质的定理，培养学生运用数学的能力．
情感态度 1、在探究的过程中，培养探究的兴趣，增强解决问题的信心；通过合作、交流、讨论，增强学生的合作、沟通能力。2、培养学生勤于思考、勇于探索的品质。
教学重点 角平分线的性质的证明及运用。
教学难点 角平分线的性质的探究。
教学用具 三角形模板、三角板.
教 学 过 程
教学流程 问题与情境 师生行为 设计意图
回顾与思考 1、如图，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，CB=CD,将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE,AE就是角的平分线。你能说明它的道理吗？2、已知：∠AOB求作：∠AOB的平分线 1、教师简单介绍仪器，引导学生回答，通过大屏幕给出答案.在本次活动中，教师应重点关注：（1）学生参与数学活动是否积极，全精贯注；（2）学生能否将所学知识迅速回忆和运用起来。2、教师在学生回答后，顺利过渡到关于角平分线的尺规作法，注意边引导边要求学生具体操作及注意作图的条理性。 从学生的生活和已有知识出发，创设情境，引导学生观察、联想，使学生感受到生活中处处有数学，并学会从数学的角度去观察事物，思考问题，激发学生对学习数学的兴趣和愿望。
探究与发现探究与发现 1、你能用折叠的办法折出一个角的平分线吗？2、再折出一个直角三角形，（使角平分线为斜边，OA与OB为直角边）观察后两次折出的两条折痕，你能得出什么结论？3、操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：PDPE第一次第二次第三次观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系(几何画板展示)， 写出结论：____________ 教师通过大屏幕展示问题，让学生先思考几分钟，按要求操作。在活动中教师应重点关注：（1）学生对于问题（1）能否找到方法。能否理解到角是一个轴对称图形。（2）对于问题（2）部分没有找到方法的学生，利用小组或个别辅导的方式完成。并让他们在直观上独立判断。（3）对于问题（3）借助测量工具，学生独立思考和交流。（教师通过几何画板的功能对学生的结果进行验证） （1）通过动手操作，使学生认识角的对称现象，并能找出它的对称轴，有利于学生对知识点的感悟，有利于培养学生的思维能力.（2）通过本次活动，增强学生对角平分线性质的认识，体验原有知识及生活基础在数学中的作用。（3）让学生经历用知识解决问题的过程，给学生以获得成功体验的空间，激发学生的积极性。建立学好数学的自信心
理解与应用理解与应用 已知：如图，OP是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。求证：PD=PE证明: ∵∠1=∠2 ,OP=OP∠PDO=∠PEO=90°∴⊿PDO≌⊿PEO(AAS)∴PD=PE (全等三角形的对应边相等) 定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 该定理的题设和结论分别是什么？定理应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离。例题讲解已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F。求证:EB=FC. 1、教师利用前面学生所得到的结论，引导学生从理论上来进行证明。（学生先独立去证明）教师关注：（1）学生运用三角形全等方法的能力如何。（2）学生书写的规范性。2、通过学生论证后，教师对学生的表现进行简单评价，并通过学生的完成情况通过幻灯机进行点评。3、教师引导学生进行归纳和总结出角平分线的性质定理。 注意：（1）学生的语言表达的准确性。（2）定理的题设和结论所隐藏的条件。在本次活动中教师重点关注：（1）学生能否会充分利用前面已得到的结论（2）学生在活动和交流中的参与意识及发表个人见解的勇气. （2）对于问题，教师注意引导学生如何分析问题，规范书写推理过程。 重点关注（1）本节所学知识的运用（2）一题多解能力的思考。（3）书写格式的规范。 1、培养学生归纳、概括能力及语言表达能力。2、在教师的引导下逐步完成性质的证明，使学生加深了对辅助线的理解，培养学生完整的推理证明能力。（1）促使学生达到知识点的泛化，拓展了学生思维，为进一步解决实际问题做了铺垫。（2）设置此题的目的则是为了技能向能力转化，侧重于数学思维的形成。（3）应用所学知识，解决简单问题，体现应用意识。让学生在合作学习中共同解决问题，使学生更加熟练掌握角平分线性质，培养学生分析、解决问题的能力.
巩固与提高 课堂练习：1 、 如图，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，BE DF。2、如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠1=∠2，且AC=6cm，那么线段BE是∠ABC的 ，AE+DE= 。 学生独立练习，互相交流，教师根据学生的学习情况适时加以指导，获得正确的解题过程. （1）通过学生的独立练习，自我评价学习效果，及时发现问题、解决知识的盲点。（2）让学生经历动用知识解决问题的过程，给学生以获得成功体验的空间，激发学生的积极性。建立学好数学的自信心。
收获与感悟 归纳总结：通过这节课的学习你有哪些收获？ 学生反思，教师倾听.对于问题，教师可提醒（1）学生谈一下知识上的收获，方法上的收获.（2）学生根据自己的情况，大胆发言。本次活动中教师应重点关注：教师重点关注：①归纳、总结能力；②不同层次的学生对本节知识的认识程度；③学生独立面对困难和克服困难的能力。 及时反思，便于学生将数学知识体系化，同时从能力、情感态度等方面关注学生对课堂的整体感受。
布置作业 课后作业：必做题：课本P22第1题和第2题选做题：如图，有三条交错的货运铁路，要在三条铁路内部造一个货运仓库，要求仓库到三条铁路的距离相等，请同学们找到这个仓库的位置？ 照顾不同层次的学生，让不同的人获得不同的收获。 通过课后作业，老师及时了解学生对本节知识的掌握情况，对有困难的学生给予适时的指导。
板书设计
E
A
D
C
B
O
P
D
E
A
C
B
F
A
C
B
E
D
C
1
2
E
B
D
A
§11.3角平分线的性质
学生练习
例题
知识要点
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第8课时 §11.3角平分线的性质（1）
教学反思
教师是在不断地总结教学经验和教学反思中成长的，下面是对这一节课的教学反思：
本节课的思路：通过设置情景、操作、猜想、验证、运用，激发学生的学习兴趣，促进学生积极思考，寻找解决问题的途径和方法。在教师的指导下，采用学生自己动手探索的学习方式，让学生思考问题，获取知识，掌握方法，借此培养学生动手动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体。
本节课的教学过程：遵循了学生的认知规律，通过设置情景、操作、猜想、验证、运用的学习过程，来进一步提高学生的思维水平意识和应用数学知识解决实际问题的能力。先通过设置生活中的情景，采用启发式教学方法，得到角平分的画法，再进行动手操作实验测量，并通过几何画板的演示，得到：（1）角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线；（2）角平分线上的点到角的两边距离相等。然后通过三角形全等进行验证。最后对角平分线的性质进行实际应用。从出示问题开始，鼓励学生思考，探索问题中所包含的数学知识，让学生经历了知识的形成与应用的过程，从而更好的理解掌握角平分线的性质，发展学生应用数学的意识与能力，增强学生学好数学的愿望和信心。
本节课的不足：对课堂所用时间把握不够准确，由于在开始的尺规作图中浪费了一部分时间，以至于在后面所准备的习题练习的时间少了一点。
通过这节课的反思我深刻的意识到自己在新课改的教学中还有太多的不足，以后不仅要在思想上认识到新课改的重要性，更好地培养学生的合作精神与个人能力。
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第8课时 §11.3角平分线的性质（1）
评课记录
授课教师：张永忠
张永忠：按照学生的认知规律，通过设置情景、操作、猜想、验证、运用的学习过程，来进一步提高学生的思维水平意识和应用数学知识解决实际问题的能力。先通过设置生活中的情景，采用启发式教学方法，得到角平分的画法，再进行动手操作实验测量，并通过几何画板的演示，得到：（1）角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线；（2）角平分线上的点到角的两边距离相等。然后通过三角形全等进行验证。最后对角平分线的性质进行实际应用。
邓凯：本节课的结构非常清晰，注重培养学生良好的学习习惯。教学中教师利用激励性语言等形式，始终使学生处于积极思考的氛围中。另外，从张老师一句“停笔眼不离书，检查计算结果”话中，从细微处渗透学习方法、学习习惯教育，这也正是我们教师每节课应追求的教育主题。
柳清泉：强化数学来源于生活思想。课中无论是复习旧知、新知引入，还是探究新知、巩固练习，始终体现数学与现实生活的紧密联系。
高艳玲：探究新知教学环节环环相扣，教学活动扎实有效。通过引导学生实际操作，采用量一量、折一折、练一练等活动，得出角平分线的性质，在培养学生操作、思考能力的同时注重培养学生归纳、总结能力，发展学生多种思维能力。
许丹红：教学紧扣教材，精讲多练，练习题设置由浅入深，学生训练有素，教学目标完成好。
何晓华：张老师教学中不但注重基础知识和基本技能的训练，而且较好地关注过程方法和情感的体验。教学中采用折一折、量一量、比一比的方法，让学生亲身经历分数基本性质的探究过程，使结论和过程有机的结合在一起，知识和能力得到和谐发展。
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21世纪教育网精品教学课件
新 授 课
坦洲实验中学数学组
如图，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，CB=CD,将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE,AE就是角的平分线。你能说明它的道理吗？
A
B
C
D
E
1
2
根据SSS, 可知两个三角形全等
∴∠1=∠2
从上面的探究你能得出作一个角的角平分线的方法吗？
回顾与思考
已知：∠AOB
求作：∠AOB的平分线
作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M,交OB于N;
（2）分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C.
(3)作射线OC.射线OC即为所求。
你能说明其中的道理吗？
A
M
O
B
N
C
做P19页的练习，并回答问题。
探究与发现
1、你能用折叠的办法折出一个角的平分线吗？
2、再折出一个直角三角形，（使角平分线为斜边，OA与OB为直角边）
观察后两次折出的两条折痕，你能得出什么结论？
后两次折出的两条折痕的长度相等。
A
O
B
C
将∠AOB对折
A
O
B
P
探究与发现
A
O
B
D
P
E
3、操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB, 点D、E为垂足，测量PD、PE的长. 将三次数据填入下表：
PD PE
第一次
第二次
第三次
观察测量结果，猜想 线段PD与PE的大小关系(几何画板展示)，写出结论：____________
PD=PE
探究与发现
已知：如图，OP是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E, 求证：PD=PE
定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
证明: ∵∠1=∠2 , OP=OP
∠PDO=∠PEO=90°
∴⊿PDO≌⊿PEO (AAS)
∴PD=PE (全等三角形的对应边相等)
A
O
B
D
P
E
C
1
2
该定理的题设和结论分别是什么？
探究与发现
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。
角平分线的性质:在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
定理应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离。
定理的作用：
应用定理的书写格式：
∴PD = PE
∵OP是∠AOB的平分线
A
O
B
D
P
E
证明线段相等。
PD⊥OA PE⊥OB
理解与应用
例:已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求证:EB=FC.
老师期望:做完题目后,一定要“悟”到点东西,纳入到自己的认知结构中去.
B
A
E
D
C
F
理解与应用
1 . 如图, DE⊥AB, DF⊥BC, 垂足分 别是E, F, DE =DF, ∠EDB= 60°, 则 ∠EBF= 度，BE= 。
60
BF
2.如图, △ABC中, ∠C=90°, DE⊥AB, ∠1=∠2, 且AC=6cm, 那么 线段BE是∠ABC的 ，AE+DE= .
C
1
2
A
B
E
D
角平分线
6cm
巩固与提高
3.如图所示,在△ABC中,∠C=90°，AD是∠BAC的平分线交BC于D，BC=15，且CD：DB=1：2，则点D 到AB的距离为_________。
A
B
D
C
5
巩固与提高
1.角的平分线的尺规作图。
2.角平分线的性质定理:在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
今天这节课，同学们学到了什么？
收获与感悟
选做题:如图，有三条交错的货运铁路，要在三条铁路的交叉区域修建一个货运仓库，要求仓库到三条铁路的距离相等，请同学们找到这个仓库的位置？
必做题:
作业登陆21世纪教育 助您教考全无忧
第8课时 角的平分线的性质（1）
教学建议
1．教学设计在课堂开始，让学生进行简单的复习之后，即让学生动手做，其理论依据的是杜威和建构主义教育理念。在探究中，设计了“自主探究——合作交流”的主体形式，目的是先给学生独立思考的时间，提供给学生创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会。让自己的观点与别人的观点相互碰撞与补充，共同解决一些困难，从而培养学生独立探究的能力。创新能力、相互交流与合作的能力．因此，建议教学时按此设计进行，通过让学生探究培养学生的创新能力。
2．经历探究、发现猜想之后，教师要引导学生用自己的语言归纳与表达的环节．这是因为学生的归纳整理、表达能力的提高并非是一蹴而就的，而是一个循序渐进的过程．因此，实际上，应该坚持在每堂课中都予以重视，并积极鼓励，让学生大胆表达．
3，在探究出新知识，或解决了一个问题后，引导学生及时对知识或方法进行回顾总结是有必要的．这样做的目的是让学生及时把新知识纳入已有的知识结构，从而构建更完整、更有效的知识体系，并可以逐步培养学生反思的习惯，获得更好的学习方法，也养成理性的思维习惯．
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