13.3等腰三角形2021-2022学年度人教版八年级数学上册期中专题复习（Word版含解析）

13.3等腰三角形2021-2022学年度人教版八年级数学上册期中专题复习
一、选择题
1．等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
2．在等腰三角形ABC中，∠A＝2∠B，则∠C的度数为（ ）
A．36° B．45° C．36°或45° D．45°或72°
3．已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．13 B．17 C．13或17 D．13或10
4．如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF的度数为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90°
5．在等腰三角形中，AB的长是BC的2倍，周长为40，则AB的长为（ ）
A．20 B．16 C．16或20 D．以上都不对
6．如图，等边中，D是中点，于E，若，则长为（ ）．
A．6 B．4 C．2 D．1
7．如图所示，A、C、B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE、BD交于点P，且分别与CD、CE交于点见M，N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AM＝DN；④∠APD＝60°，其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．和是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形内．若求五边形的周长，则只需知道（ ）
A．的周长 B．的周长 C．四边形的周长 D．的周长
9．如图，等边三角形ABC中，D、E分别在AB、BC边上，且AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G．下列结论：①AE=CD；②∠AFC=120°；③△ADF是等腰三角形；④，其中正确的结论是（　　）
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
10．如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两个动点，且总使BD＝CE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则以下结论：（1）△ACE≌△CBD；（2）∠AFG＝60°；（3）AF＝2FG；（4）AC＝2CE．其中正确的结论有（ ）个
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
11．已知等腰三角形的一个角是70°，则它顶角的度数为_____．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝30°，∠DAB＝45°．则∠DAC＝______°．
13．等腰三角形一边的长是4cm，周长是18cm， 则底边的长是______．
14．如图，AB=AC，AD=AE，∠BAD=20°，则∠CDE度数是_______度．
15．如图，在等边△ABC中，AB＝4，P为AC的中点，M，N分别为AB，BC边上的一点，当△PMN周长取最小值时，MN长度为 ___．
16．如图，在等边△ABC中，BD＝CE，将线段AE沿AC翻折得到线段AF，连结EF，CF．以下说法：①DE＝EF；②∠ADB＝∠AEC＝∠AFC；③∠ACE=∠ACF=∠ADF④AE＝DF．正确的是 ___（填序号）．
三、解答题
17．如图，已知在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，AB＝12．求BF的长．
18．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果底边长是腰长的一半，求各边长；
（2）能围成有一边长为的等腰三角形吗？如果能，请求出它的另两边．
19．已知：如图，在ABC的边BC的同侧，以AB，AC为边向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接BE、CD，相交于点M．
（1）求证：BE＝CD；
（2）求∠BMC的度数．
20．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）当α＝　 　时，△AOD是等腰三角形．
21．如图，已知四边形，连接，其中，，，延长到点，得，点为上一点，连接、，交于点．
（1）求证：△EAF≌△DAF；
（2）若，，试探究、的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，连接，若，求的度数．
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．A
解：当腰是3时，则另两边是3，7，而3+3＜7，不满足三边关系定理，因而应舍去．
当底边是3时，另两边长是5，5，
则该等腰三角形的底边为3，
故选：A．
2．D
解：设∠B＝x°，则∠A＝2x°，
当∠A是顶角时，∠A+2∠B＝180°，
即：4x＝180，
解得：x＝45，
此时∠C＝∠B＝45°；
当∠A是底角时，2∠A+∠B＝180°，
即5x＝180，
解得：x＝36°，
此时∠C＝∠A＝72°，
故选：D．
3．B
解：①当腰是3，底边是7时，3+3<7不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是3，腰长是7时，7+7>3能构成三角形，则其周长=3+7+7=17．
故选：B．
4．B
解：∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF，∠A＝15°，
∴∠BCA＝∠A＝15°，
∴∠CBD＝∠BDC＝∠BCA+∠A＝15°+15°＝30°，
∴，
∴，
∴，
∴,
∴∠DEF＝180°﹣（∠EDF+∠EFD）＝180°﹣120°＝60°．
故选B．
5．B
解：①若AB为等腰三角形的腰，则BC即为底边，
由题意：AB=2BC，
∴2AB+BC=40，即：5BC=40，
解得：BC=8，
∴AB=16，
此时，等腰三角形三边为：16、16、8，满足三角形的三边关系，符合题意；
②若AB为等腰三角形的底边，则BC即为腰，
由题意：AB=2BC，
∴2BC+AB=40，即：2AB=40，
解得：AB=20，
∴BC=10，
此时，等腰三角形三边为：10、10、20，
但是10+10=20，不满足三角形的三边关系，不符合题意，舍去；
∴AB的长为16，
故选：B．
6．A
是等边三角形, D是中点，
∴AC=BC=8，∠C=60°，CD=AC=4，
，
故选A．
7．A
解：∵△DAC和△EBC都是等边三角形，
∴CA＝CD，∠ACD＝60°，CB＝CD，∠BCE＝60°，
∴∠ACE＝∠DCB，
在△ACE和△DCB中，，
∴△ACE≌△DCB（SAS），所以①正确；
∴∠CAE＝∠CDB，
∵∠DCN＝180°﹣∠ACD﹣∠BCE＝60°，
∴∠ACM＝∠DCN，
在△CAM和△CDN中，，
∴△CAM≌△CDN（ASA），
∴CM＝CN，AM＝DN，所以②③正确；
∵∠MDP+∠DMP+∠DPM＝∠MAC+∠AMC+∠ACM，
∴∠DPM＝∠ACM＝60°，所以④正确．
故选：A．
8．A
解：∵△GFH为等边三角形，
∴FH=GH，∠FHG=60°，
∴∠AHF+∠GHC=120°，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ACB=∠A=60°，
∴∠GHC+∠HGC=120°，
∴∠AHF=∠HGC，
∴△AFH≌△CHG（AAS），
∴AF=CH．
∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，
∴BE=FH，
∴五边形DECHF的周长=DE+CE+CH+FH+DF=BD+CE+AF+BE+DF，
=（BD+DF+AF）+（CE+BE），
=AB+BC．
∴只需知道△ABC的周长即可．
故选：A．
9．A
解：在等边△ABC中，AB=AC，∠BAC=∠B=60°，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴AE=CD，故①正确；
∵∠ACD=∠BAE，
∴∠CAF+∠ACD=∠CAF+∠BCE=∠BAC=60°，
在△ACF中，∠AFC=180°﹣（∠CAF+∠ACD）=180°﹣60°=120°，故②正确；
∵∠FAD＜∠BAC，∠BAC=∠B=60°，
∴∠ADF＞60°，∠FAD＜60°，∠AFD=60°，
∴△ADF不是等腰三角形，故③错误；
∵∠AFG=180°﹣∠AFC=180°﹣120°=60°，AG⊥CD，
∴∠FAG=90°﹣60°=30°，
∴FG=AF，
∴，故④错误，
综上所述，正确的有①②．
故选：A．
10．B
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝CB，∠ACE＝∠B＝60°，
在△ACE和△CBD中，
∵，
∴△ACE≌△CBD（SAS），故正确；
（2）∵△ACE≌△CBD，
∴∠CAE＝∠BCD，
∴∠AFG＝∠ACF＋∠CAE＝∠ACF＋∠BCD＝∠ACE＝60°；故正确；
（3）∵∠AFG＝60°，AG⊥CD，
∴∠FAG＝30°，
∴AF＝2FG；故正确；
（4）∵AC＝BC，且BC不一定等于2CE，
∴AC不一定等于2CE；故错误．
故选：B．
11．40°或70°
解：当这个70度的角为顶角时，答案即为70°；
当这个70度的角为底角时，顶角=，
故答案为：40°或70°．
12．75°
解：∵AB=AC，
　　∴∠B=∠C=30°，
　　∵∠C＋∠BAC＋∠B=180°
　　∴∠BAC=180°-30°-30°=120°
　　∵∠DAB=45°，
　　∴∠DAC=∠BAC-∠DAB=120°－45°=75°
13．4cm
解：分情况考虑：
①当4cm是腰时，则底边长是18-8=10（cm），此时4，4，10不能组成三角形，应舍去；
②当4cm是底边时，腰长是（18-4）×=7（cm），
4，7，7能够组成三角形．此时底边的长是4cm．
故答案为：4cm．
14．10
解：∵AB=AC，AD=AE，
∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED，
∵∠EDC+∠C=∠AED，
∴∠C+∠EDC=∠ADE，
又∵∠B+∠BAD=∠ADC，
∴∠B+20°=∠C+∠EDC+∠EDC，
∵∠B=∠C．
∴2∠EDC=20°，
∴∠EDC=10°．
故答案为：10．
15．2
解：作点P关于AB的对称点E，点P关于BC的对称点F，连接EF交AB于M，交BC于N，连接CE、CF，
由对称的性质可知，EM＝MP，PN＝NF，
∴PM+MN+PN＝EM+MN+NF＝EF，
∴此时△PMN的周长最小，
∵PF⊥BC，∠C＝60°，
∴∠CPF＝30°，
∵PE⊥AB，∠A＝60°，
∴∠APE＝30°，
∴∠EPF＝120°，
∵P是AC的中点，
由对称性可得PE＝PF，
∴∠E＝∠F＝30°，
∴∠EPM＝∠NPF＝30°，
∴∠MPN＝60°，
∴△MNP是等边三角形，
∴MN＝PN＝PC，
∵AB＝4，
∴PC＝2，
∴MN＝2，
故答案为2．
16．②③④
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD=CE，
∴△ABD≌ACE（SAS），
∴AD=AE，∠ADB=∠AEC，∠BAD=∠CAE，
由翻折的性质可知：AE=AF=AD，CE=CF，
又∵AC=AC，
∴△AEC≌△AFC（SSS），
∴∠ACF=∠ACE，∠AEC=∠AFC，∠EAC=∠FAC，
∴∠ADB=∠AEC=∠AFC，∠BAD=∠CAE=∠FAC，故②正确；
∵∠DAF=∠DAC+∠FAC=∠DAC+∠BAD=∠BAC=60°，
∴△ADF为等边三角形，
∴AF=DF=AD=AE，∠ACE=∠ACF=∠ADF=60°故④正确；
∴③正确
∵∠DAE不一定是30°，
∴∠DAE不一定等于∠FAE，
∴△ADE与△AFE不一定全等，
∴DE与EF不一定相等，故①错误；
故答案为：②③④．
17．
∵在等边△ABC中，D是AB的中点，
∴AD=BD= AB=6，
∵∠A=60°，DE⊥AE，
∴∠ADE=30°，
∴，
∴CE=AC-AE=12-3=9，
又∵∠C=60°，EF⊥BC，
∴∠FEC=30°，
∴CF=CE=，
∴BF=BC-CF=12-=．
18．（1）、、；（2）、或、．
解：（1）设底边长为，则腰长为，
由题意可得，，
解得，
，
即各边的长为、、；
（2）能围成有一边长为的等腰三角形，
当腰长为时，则底边长为，
，
能围成有腰长为的等腰三角形，
三角形的另外两边长为、；
当底边长为时，则腰长为，
，
能围成有底边长为的等腰三角形，
三角形的另外两边长为、；
由上可得，三角形的另外两边长为、或、．
19．
（1）证明： 与是等边三角形，
，，，
，
即，
在与中，
，
，
∴BE＝CD；
（2）解：∵，
，
∴
，
∵是等边三角形，
∴，
∴．
20．
（1）△BOC≌△ADC，
，
∠OCD＝60°，
△OCD是等边三角形；
（2）是直角三角形，理由如下：
△OCD是等边三角形；
当α＝150°时，
△BOC≌△ADC
是直角三角形
（3）△OCD是等边三角形；
,
，
，
①当时，
解得
②当时，
解得
③当时
解得
综上所述，当或或时，是等腰三角形．
故答案为：或或．
21．
（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：，理由如下：
由（1）可得，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：过点F作FM⊥FA交AC于点M，如图2所示：
∵，
∴△AFM是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴△ADF≌△MCF（ASA），
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
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