13.4课题学习最短路径问题2021-2022学年度人教版八年级数学上册期中专题复习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 13.4课题学习最短路径问题2021-2022学年度人教版八年级数学上册期中专题复习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 736.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-20 16:28:23 | ||
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文档简介
13.4课题学习最短路径问题2021-2022学年度人教版八年级数学上册期中专题复习
一、选择题
1．如图所示，直线l是一条河的河岸，P，Q是河同侧的水产的生产基地，现从河岸某点M处分别派出两辆水产车运送水产如下有四种运输方案，则运输路程合理且最短的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在等边三角形中，，分别是，的中点，点是线段上的一个动点，当的周长最小时，点的位置在（ ）
A．点处 B．点处
C．的中点处 D．三条高的交点处
3．如图，在ABC中，，，，是中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
4．如图，在ABC中，，AD是其角平分线，E是边AB的中点，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于的最小值是（ ）
A．BC B．CE C．AD D．AC
5．如图，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使PA+PB最小，则下列图形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面积是10．AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则△PBF周长的最小值为（ ）
A．5 B．7 C．10 D．14
7．如图，在五边形中，，，，在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（ ）
A．55° B．56° C．57° D．58°
8．如图，等腰的底边BC长为4cm，面积为，腰AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，D为BC的中点，M为直线EF上的动点．则周长的最小值为（ ）
A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm
9．如图，在中，，，的面积为12，于点D，直线EF垂直平分BC交AB于点E，交BC于点F，P是线段EF上的一个动点，则的周长的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．10 D．12
10．如图，分别是线段的垂直平分线，，一只小蚂蚁从点M出发爬到边上任意一点E，再爬到边上任意一点F，然后爬回M点，则小蚂蚁爬行的最短路径为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝8，AD是∠BAC的平分线，若点P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是_____．
12．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为_______．
13．如图，等腰△ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AB的垂直平分线EF分别交AB、AC于点F、E，若点D为BC边上的中点，M为线段上一动点，则△BDM的周长的最小值是___．
14．如图，在中，，，点，分别在，上运动，连结、，则的最小值为________．
15．如图，在△ABC中，AB=3cm，AC=5cm，AB⊥AC，EF垂直平分BC，点P为直线EF上一动点则△ABP周长的最小值是_____．
16．如图，在锐角中，，边上有一定点分别是和边上的动点，当的周长最小时，的度数是_________．
三、解答题
17．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，已知的三个顶点在格点上．
（1）画出，使它与关于直线a对称；
（2）求出的面积；
（3）在直线a上画出点P，使最小
18．已知点在内．
（1）如图1，点关于射线的对称点是，点关于射线的对称点是，连接、、.
①若，则______；
②若，连接，请说明当为多少度时，；
（2）如图2，若，、分别是射线、上的任意一点，当的周长最小时，求的度数．
19．如图，等边（三边相等，三个内角都是的三角形）的边长为，动点和动点同时出发，分别以每秒的速度由向和由向运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为，，和交于点．
（1）在运动过程中，与始终相等吗？请说明理由；
（2）连接，求为何值时，；
（3）若于点，点为上的点，且使最短．当时，的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由．
20．如图，在中，已知的垂直平分线交于点N，交于点M，连接．
（1）若，求的度数．
（2）若，的周长是．
①求的长度；
②若点P为直线上一点，请你求出周长的最小值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．B
根据“将军饮马”模型求最短路线题型，作点P关于直线l的对称点，连接Q交直线l于点M，利用两点之间线段最短和线段垂直平分线的性质作图即可，
故选：B．
2．D
解：连接BP，
∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴PB=PC，
当PC+PE的长最小时，即PB+PE最小
则此时点B、P、E在同一直线上，
又∵BE为中线，△ABC是等边三角形
∴点P为△ABC的三条中线的交点，也就是△ABC的三条高的交点．
故选：D
3．C
∵AB=AC，BC=10，S△ABC=60，是中点，
AD⊥BC于点D，
∴S△ABC= =60，
∴AD=12，
设AD与EF的交点为P，
∵EF垂直平分AB，
∴点A，B关于直线EF对称，
∴PA=PB，
此时AD的长为PB+PD的最小值，
即PB+PD的最小值为12，
故选：C．
4．B
解：如图，连接PC，
∵，AD是其角平分线，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴PB=PC，
∴PB+PE=PC+PE，
∵PC+PE≥CE，
∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度．
故选B．
5．B
解：∵点A，B在直线l的同侧，
∴作A点关于l的对称点A'，连接A'B与l的交点为P，
由对称性可知AP＝A'P，
此时PA+PB最小，
故选：B．
6．B
解：如图，连接AF，AP．
∵AC＝AB，CF＝BF＝BC＝2，
∴AF⊥BC，
∵S△ABC＝ BC AF＝10，BC＝4，
∴AF＝5，
∵DE垂直平分线段AB，
∴PA＝PB，
∴△PBF的周长＝PB+PF+BF＝PA+PF+2，
∵PA+PF≥AF，
∴PA+PF的最小值为5，
∴△PBF的周长的最小值为7．
故选：B．
7．B
解：作A关于BC的对称点G，A关于DE的对称点H，连接MG，NH，
则AM=MG，AN=NH，
∴△AMN的周长为AM+MN+AN=MG+MN+NH，
由两点之间，线段最短可知：当G、M、N、H共线时，△AMN的周长最小，
∵∠BAE=152°，
∴∠G+∠H=28°，
∵AM=MG，AN=NH，
∴∠G=∠GAM，∠H=∠HAN，
∠AMN+∠ANM=2∠G+2∠H=2×28°=56°，
故选：B．
8．D
解：连接AD，MA．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8 cm，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴MA＝MC，
∴MC+DM＝MA+DM≥AD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝10（cm）．
故选：D．
9．B
如图
∵的面积为12，
∴，，
解得，，
∵直线EF垂直平分BC交AB于点E，
∴点和点关于直线EF对称，
∴当与重合时，的值最小，最小值等于的长，
∴周长的最小值是，
故选：B．
10．B
由题意可知与的交点为E，与的交点为F．
∵分别是线段的垂直平分线，
∴，
∴小蚂蚁爬行的最短路径为．
11．4
解：如图，过C作CM⊥AB，交AD于P，交AB于M，过P作PQ⊥AC于Q，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴PQ＝PM，
这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵CM⊥AB，∠B＝30°，BC＝8，
∴CM＝＝4，
∴PC+PQ的最小值为4．
故答案为：4．
12．8
解：连接AD交EF与点M′，连接AM．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC AD＝×4×AD＝12，解得AD＝6，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AM＝BM．
∴BM＋MD＝MD＋AM．
∴当点M位于点M′处时，MB＋MD有最小值，最小值6．
∴△BDM的周长的最小值为DB＋AD＝2＋6＝8,
故答案为：8．
13．10
解：如图，连接AD．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC= BC AD=×4×AD=16．
∴AD=8．
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短=（BM+MD）+BD=AD+BC=6+×8=10．
故答案为：10．
14．
解：作B关于AC的对称点B′，过B′作B′D⊥AB交AC于E，连接AB′，
此时B′E+ED=BE+ED为最小值，
此时∠B′AB=2∠BAC=30°，B′D=AB′=AB=，
即BE+ED的最小值为，
故答案为：．
15．8cm
如图，连接PC，
∵AB=3 cm
∴△ABP的周长为AB+PA+PB=3+PA+PB，
要使△ABP的周长最小，则需PA+PB的值最小，
∵EF垂直平分BC，
∴PC=PB，
∴PA+PB=PA+PC，
由两点之间线段最短可知，当点A,P,C共线，
即点P在AC边上时，PA+PC取得最小值，最小值为AC，
即PA+PB的最小值为AC=5 cm，
则△ABP周长的最小值是3+5=8 cm，
故答案为：8．
16．80°
∵ PD⊥AC，PG⊥BC，
∴∠PEC=∠PFC=90°，
∴ ∠C+∠EPF=180°，
∵∠C=50°，
∵∠D+∠G+∠EPF=180°，
∴ ∠D+∠G=50°，
由对称可知：∠G=∠GPN，∠D=∠DPM， L
∴∠GPN+∠DPM=50°，
∴∠MPN=130°-50°=80°，
故答案为：80°．
17．（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）=2×2-×1×2×2-×1×1=．
（3）如图，连接C1A（或A1C）与直线a交于点P，则点P即为所求．
18．
（1）①∵点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，
∴OG=OP，OM⊥GP，
∴OM平分∠POG，
同理可得ON平分∠POH，
∴∠GOH=2∠MON=2×50°=100°，
故答案为：100°；
②，，
、、三点其线，
，
，
当时，；
（2）如图所示：分别作点关于、的对称点、，
连接，、、，交、于点、，
则，，
此时周长的最小值等于的长.
由轴对称性质可得，，
，
，
，
，
由轴对称性质可得，
．
19．
解：（1）由已知可得AD=t，EC=t，
∴AD=CE，
∵△ABC是等边三角形
∴∠A=∠ACB=60°，BC=AC，
∴△ADC≌△CEB（SAS），
∴BE=CD，
∴CD与BE始终相等；
（2）∵DE∥BC，
∴AD=AE，
∵AB=AC=10，
∴t=10-t，
∴t=5；
（3）∵BM⊥AC，
∴BM平分∠ABC，
作D点关于BM的对称点D'交BC于点D'，连接D'E，交BM于点P，
∵DP=D'P，
∴DP+PE=D'P+PE=D'E，
∵t=7，
∴AE=BD=BD′=3，AD=CE=7，
∴CD′=7，又∠C=60°，
∴△CD′E为等边三角形，
∴D'E=CD′=7，
∴PD+PE的最小值为7．
20．
解：（1）∵，
∴，
∴，
∵的垂直平分线交于点N，
∴，
∴；
（2）①∵是的垂直平分线，
∴，
∴的周长，
∵，的周长是，
∴；
②周长最小，即最小，
根据轴对称性质得,当点P与M重合时，即最小，
此时 周长的值最小，
∴周长的最小值．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、选择题
1．如图所示，直线l是一条河的河岸，P，Q是河同侧的水产的生产基地，现从河岸某点M处分别派出两辆水产车运送水产如下有四种运输方案，则运输路程合理且最短的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在等边三角形中，，分别是，的中点，点是线段上的一个动点，当的周长最小时，点的位置在（ ）
A．点处 B．点处
C．的中点处 D．三条高的交点处
3．如图，在ABC中，，，，是中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
4．如图，在ABC中，，AD是其角平分线，E是边AB的中点，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于的最小值是（ ）
A．BC B．CE C．AD D．AC
5．如图，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使PA+PB最小，则下列图形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面积是10．AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则△PBF周长的最小值为（ ）
A．5 B．7 C．10 D．14
7．如图，在五边形中，，，，在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（ ）
A．55° B．56° C．57° D．58°
8．如图，等腰的底边BC长为4cm，面积为，腰AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，D为BC的中点，M为直线EF上的动点．则周长的最小值为（ ）
A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm
9．如图，在中，，，的面积为12，于点D，直线EF垂直平分BC交AB于点E，交BC于点F，P是线段EF上的一个动点，则的周长的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．10 D．12
10．如图，分别是线段的垂直平分线，，一只小蚂蚁从点M出发爬到边上任意一点E，再爬到边上任意一点F，然后爬回M点，则小蚂蚁爬行的最短路径为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝8，AD是∠BAC的平分线，若点P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是_____．
12．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为_______．
13．如图，等腰△ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AB的垂直平分线EF分别交AB、AC于点F、E，若点D为BC边上的中点，M为线段上一动点，则△BDM的周长的最小值是___．
14．如图，在中，，，点，分别在，上运动，连结、，则的最小值为________．
15．如图，在△ABC中，AB=3cm，AC=5cm，AB⊥AC，EF垂直平分BC，点P为直线EF上一动点则△ABP周长的最小值是_____．
16．如图，在锐角中，，边上有一定点分别是和边上的动点，当的周长最小时，的度数是_________．
三、解答题
17．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，已知的三个顶点在格点上．
（1）画出，使它与关于直线a对称；
（2）求出的面积；
（3）在直线a上画出点P，使最小
18．已知点在内．
（1）如图1，点关于射线的对称点是，点关于射线的对称点是，连接、、.
①若，则______；
②若，连接，请说明当为多少度时，；
（2）如图2，若，、分别是射线、上的任意一点，当的周长最小时，求的度数．
19．如图，等边（三边相等，三个内角都是的三角形）的边长为，动点和动点同时出发，分别以每秒的速度由向和由向运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为，，和交于点．
（1）在运动过程中，与始终相等吗？请说明理由；
（2）连接，求为何值时，；
（3）若于点，点为上的点，且使最短．当时，的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由．
20．如图，在中，已知的垂直平分线交于点N，交于点M，连接．
（1）若，求的度数．
（2）若，的周长是．
①求的长度；
②若点P为直线上一点，请你求出周长的最小值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．B
根据“将军饮马”模型求最短路线题型，作点P关于直线l的对称点，连接Q交直线l于点M，利用两点之间线段最短和线段垂直平分线的性质作图即可，
故选：B．
2．D
解：连接BP，
∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴PB=PC，
当PC+PE的长最小时，即PB+PE最小
则此时点B、P、E在同一直线上，
又∵BE为中线，△ABC是等边三角形
∴点P为△ABC的三条中线的交点，也就是△ABC的三条高的交点．
故选：D
3．C
∵AB=AC，BC=10，S△ABC=60，是中点，
AD⊥BC于点D，
∴S△ABC= =60，
∴AD=12，
设AD与EF的交点为P，
∵EF垂直平分AB，
∴点A，B关于直线EF对称，
∴PA=PB，
此时AD的长为PB+PD的最小值，
即PB+PD的最小值为12，
故选：C．
4．B
解：如图，连接PC，
∵，AD是其角平分线，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴PB=PC，
∴PB+PE=PC+PE，
∵PC+PE≥CE，
∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度．
故选B．
5．B
解：∵点A，B在直线l的同侧，
∴作A点关于l的对称点A'，连接A'B与l的交点为P，
由对称性可知AP＝A'P，
此时PA+PB最小，
故选：B．
6．B
解：如图，连接AF，AP．
∵AC＝AB，CF＝BF＝BC＝2，
∴AF⊥BC，
∵S△ABC＝ BC AF＝10，BC＝4，
∴AF＝5，
∵DE垂直平分线段AB，
∴PA＝PB，
∴△PBF的周长＝PB+PF+BF＝PA+PF+2，
∵PA+PF≥AF，
∴PA+PF的最小值为5，
∴△PBF的周长的最小值为7．
故选：B．
7．B
解：作A关于BC的对称点G，A关于DE的对称点H，连接MG，NH，
则AM=MG，AN=NH，
∴△AMN的周长为AM+MN+AN=MG+MN+NH，
由两点之间，线段最短可知：当G、M、N、H共线时，△AMN的周长最小，
∵∠BAE=152°，
∴∠G+∠H=28°，
∵AM=MG，AN=NH，
∴∠G=∠GAM，∠H=∠HAN，
∠AMN+∠ANM=2∠G+2∠H=2×28°=56°，
故选：B．
8．D
解：连接AD，MA．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8 cm，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴MA＝MC，
∴MC+DM＝MA+DM≥AD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝10（cm）．
故选：D．
9．B
如图
∵的面积为12，
∴，，
解得，，
∵直线EF垂直平分BC交AB于点E，
∴点和点关于直线EF对称，
∴当与重合时，的值最小，最小值等于的长，
∴周长的最小值是，
故选：B．
10．B
由题意可知与的交点为E，与的交点为F．
∵分别是线段的垂直平分线，
∴，
∴小蚂蚁爬行的最短路径为．
11．4
解：如图，过C作CM⊥AB，交AD于P，交AB于M，过P作PQ⊥AC于Q，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴PQ＝PM，
这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵CM⊥AB，∠B＝30°，BC＝8，
∴CM＝＝4，
∴PC+PQ的最小值为4．
故答案为：4．
12．8
解：连接AD交EF与点M′，连接AM．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC AD＝×4×AD＝12，解得AD＝6，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AM＝BM．
∴BM＋MD＝MD＋AM．
∴当点M位于点M′处时，MB＋MD有最小值，最小值6．
∴△BDM的周长的最小值为DB＋AD＝2＋6＝8,
故答案为：8．
13．10
解：如图，连接AD．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC= BC AD=×4×AD=16．
∴AD=8．
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短=（BM+MD）+BD=AD+BC=6+×8=10．
故答案为：10．
14．
解：作B关于AC的对称点B′，过B′作B′D⊥AB交AC于E，连接AB′，
此时B′E+ED=BE+ED为最小值，
此时∠B′AB=2∠BAC=30°，B′D=AB′=AB=，
即BE+ED的最小值为，
故答案为：．
15．8cm
如图，连接PC，
∵AB=3 cm
∴△ABP的周长为AB+PA+PB=3+PA+PB，
要使△ABP的周长最小，则需PA+PB的值最小，
∵EF垂直平分BC，
∴PC=PB，
∴PA+PB=PA+PC，
由两点之间线段最短可知，当点A,P,C共线，
即点P在AC边上时，PA+PC取得最小值，最小值为AC，
即PA+PB的最小值为AC=5 cm，
则△ABP周长的最小值是3+5=8 cm，
故答案为：8．
16．80°
∵ PD⊥AC，PG⊥BC，
∴∠PEC=∠PFC=90°，
∴ ∠C+∠EPF=180°，
∵∠C=50°，
∵∠D+∠G+∠EPF=180°，
∴ ∠D+∠G=50°，
由对称可知：∠G=∠GPN，∠D=∠DPM， L
∴∠GPN+∠DPM=50°，
∴∠MPN=130°-50°=80°，
故答案为：80°．
17．（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）=2×2-×1×2×2-×1×1=．
（3）如图，连接C1A（或A1C）与直线a交于点P，则点P即为所求．
18．
（1）①∵点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，
∴OG=OP，OM⊥GP，
∴OM平分∠POG，
同理可得ON平分∠POH，
∴∠GOH=2∠MON=2×50°=100°，
故答案为：100°；
②，，
、、三点其线，
，
，
当时，；
（2）如图所示：分别作点关于、的对称点、，
连接，、、，交、于点、，
则，，
此时周长的最小值等于的长.
由轴对称性质可得，，
，
，
，
，
由轴对称性质可得，
．
19．
解：（1）由已知可得AD=t，EC=t，
∴AD=CE，
∵△ABC是等边三角形
∴∠A=∠ACB=60°，BC=AC，
∴△ADC≌△CEB（SAS），
∴BE=CD，
∴CD与BE始终相等；
（2）∵DE∥BC，
∴AD=AE，
∵AB=AC=10，
∴t=10-t，
∴t=5；
（3）∵BM⊥AC，
∴BM平分∠ABC，
作D点关于BM的对称点D'交BC于点D'，连接D'E，交BM于点P，
∵DP=D'P，
∴DP+PE=D'P+PE=D'E，
∵t=7，
∴AE=BD=BD′=3，AD=CE=7，
∴CD′=7，又∠C=60°，
∴△CD′E为等边三角形，
∴D'E=CD′=7，
∴PD+PE的最小值为7．
20．
解：（1）∵，
∴，
∴，
∵的垂直平分线交于点N，
∴，
∴；
（2）①∵是的垂直平分线，
∴，
∴的周长，
∵，的周长是，
∴；
②周长最小，即最小，
根据轴对称性质得,当点P与M重合时，即最小，
此时 周长的值最小，
∴周长的最小值．
答案第1页，共2页
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