2.5角平分线的性质 能力达标测评 2021-2022学年青岛版八年级数学上册(Word版 含答案)

2021-2022学年青岛版八年级数学上册《2.5角平分线的性质》能力达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分50分）
1．如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE＝4，点F是射线OB上的任意一点，则DF的最小值是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的的面积等于（　　）
A．4 B．5 C．7 D．10
3．如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（　　）cm2．
A．24 B．27 C．30 D．33
4．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE； ④AD＝AB+CD，四个结论中成立的是（　　）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③
5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．无法确定
6．如图，为了促进当地旅游发展，某地在三条公路附近修建一个度假村，要使这个度假村到三条公路距离相等，则可以选择的地址有（　　）处．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于E点，连接AE，∠AEB的度数是（　　）
A．30° B．35° C．45° D．60°
8．如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，点F为BC的中点，若∠BAC＝104°，∠C＝40°．则有下列结论：①∠BAE＝52°；②∠DAE＝2°；③EF＝ED；④S△ABF＝S△ABC．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝9，以B为圆心，BA为半径画弧交BC于D，分别以A，D为圆心，大于AD为半径画弧交于点E，连接BE交AC于F，∠BAC＝2∠AFB，则AF的长为（　　）
A． B．2 C．3 D．4
10．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的角平分线，E是AB上一点，且AE＝AD，连接ED，作EF⊥BD于F，连接CF．则下面的结论：
①CD＝CF；②∠EDF＝45°；③∠BCF＝45°；
④若CD＝4，AD＝5，则S△ADE＝10．其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共7小题，满分35分）
11．在△ABC中，AB＝5，BC＝8，AC＝6，AD平分∠BAC，则S△ABD：S△ACD＝　 　．
12．如图，OP平分∠AOB，PM⊥OA于M，点D在OB上，DH⊥OP于H．若OD＝4，OP＝7，PM＝3，则DH的长为　 　．
13．AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，若S△ABC＝10，DE＝2，AB＝4，则AC的长是　 　．
14．如图，AD∥BC，CP和DP分别平分∠BCD和∠ADC，AB过点P，且与AD垂直，垂足为A，交BC于B，若AB＝10，则点P到DC的距离是　 　．
15．如图，AB∥CD，PE平分∠BEF，PF平分∠DFE，若EF＝13，PE＝12，PF＝5．点P到EF的距离为　 　．
16．如图，已知△ABC的面积为8cm2，BP为∠ABC的角平分线，AP垂直BP于点P，则△PBC的面积为　 　cm2．
17．如图△ABC中，∠A＝60°，AB＞AC，角的平分线CD、BE交于点O，OF平分∠BOC交BC于F，（1）∠BOC＝120°；（2）连AO，则AO平分∠BAC；（3）A、O、F三点在同一直线上，（4）OD＝OE，（5）BD+CE＝BC．其中正确的结论是　 　（填序号）．
三．解答题（共3小题，满分35分）
18．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．
19．如图，AP，CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，它们交于点P．求证：BP为∠MBN的平分线．
20．四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠EBC＝180°
求证：2AE＝AB+AD．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分50分）
1．解：当DF⊥OB时，DF的值最小，
∵DE⊥OA，OD平分∠AOB，
∴DE＝DF，
∵DE＝4，
∴DF的最小值是4，
故选：C．
2．解：过E作EF⊥BC于点F，
∵CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，
∴EF＝DE＝2，
∴S△BCE＝BC EF＝×5×2＝5，
故选：B．
3．解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，
∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE＝OD＝3，
同理可得OF＝OD＝3，
∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC
＝×OE×AB+×OD×BC+×OF×AC
＝（AB+BC+AC），
∵△ABC的周长是18，
∴S△ABC＝×18＝27（cm2）．
故选：B．
4．解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB
∴BE＝EF，AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC＝EF＝BE，所以③错误；
∴Rt△EFD≌Rt△ECD，
∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，所以②正确；
∴AD＝AF+FD＝AB+DC，所以④正确；
∴∠AED＝∠AEF+∠FED＝∠BEC＝90°，所以①正确．
故选：A．
5．解：当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．
由作图可知：AE平分∠BAC，
∵DC⊥AC，DP⊥AB，
∴DP＝CD＝2，
∴PD的最小值为2，
故选：A．
6．解：∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
∴△ABC内角平分线的交点满足条件；
如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，
过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，
∴PE＝PF，PF＝PD，
∴PE＝PF＝PD，
∴点P到△ABC的三边的距离相等，
∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；
综上，到三条公路的距离相等的点共有4个，
∴可供选择的地址有4处．
故选：D．
7．解：作EF⊥AC交CA的延长线于F，EG⊥AB于G，EH⊥BC交CB的延长线于H，
∵CE平分∠ACB，BE平分∠ABD，
∴EF＝EH，EG＝EH，
∴EF＝EG．
又EF⊥AC，EG⊥AB，
∴AE平分∠FAG，
∵∠BAC＝30°，
∴∠BAF＝150°，
∴∠EAB＝75°，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABH＝120°，又BE平分∠ABD，
∴∠ABE＝60°，
∴∠AEB＝180°﹣∠EAB﹣∠ABE＝45°，
故选：C．
8．解：AE是△ABC的角平分线，∠BAC＝104°，
∴∠BAE＝∠CAE＝52°，
∴①正确；
∵∠C＝40°，AD⊥BC，
∴∠CAD＝50°，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝52°﹣50°＝2°，
∴②正确；
∵没有条件能证得EF＝DE，
∴EF不一定等于ED，
∴③错误；
∵点F为BC的中点，
∴BF＝BC，
∴S△ABF＝S△ABC，
∴④正确；
故选：C．
9．解：如图，过点F作FM⊥BC于M，FN⊥BA交BA的延长线于N．
∵BA＝BD，AF＝DF，BF＝BF，
∴△ABF≌△DBF（SSS），
∴∠ABF＝∠DBF，∠BAF＝∠BDF，∠AFB＝∠DFB，
∵FM⊥BC，FN⊥BA，
∴FM＝FN，
∴＝＝，
∴＝＝3，
∴FC＝3AF，
∵AB＝DB＝3，BC＝9，
∴CD＝9﹣3＝6，
∵∠BAF＝2∠AFB＝∠AFD，
∴∠AFD＝∠BDF，
∴∠CFD＝∠CDF，
∴CF＝CD＝6，
∴AF＝2，
故选：B．
10．解：∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∵∠AED＝∠ABD+∠BDE，
∴2∠ABD+2∠BDE+∠A＝180°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∴2∠BDE＝90°，
∴∠BDE＝45°，
∵EF⊥DF，
∴∠EFD＝90°，
∴∠FDE＝∠FED＝45°，故②正确，
延长EF交BC于H，连接HD．
∵∠FBE＝∠FBH，BF＝BF，∠BFE＝∠BFH，
∴△BFE≌△BFH（ASA），
∴EF＝FH，∵DF⊥EH，
∴DE＝DH，
∴∠DEH＝∠DHE＝45°，
∵∠DFH+∠DCH＝180°，
∴D，F，H，C四点共圆，（补充方法：不用四点共圆，可以作FT⊥CD于T，FN⊥BC于N，利用全等三角形的性质证明FT＝FN，推出FC平分∠BCD即可）
∴∠DCF＝∠DHF＝45°，
∴∠FCB＝45°，
解法二：连接AF，证明AFE和AFD全等，F为内心．故③正确，
作DM⊥AB于M，
∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DM⊥AB，
∴DM＝DC＝4，
∵AE＝AD＝5，
∴S△ADE＝ AE DM＝10，故④正确，
如果①成立，则∠CFB＝∠ADB，
∵∠ABD＝∠CBD，
∴∠A＝∠BCF＝45°，但是题目没有说明三角形ABC为等腰直角三角形，所以①不成立．，故①错误，
故选：C．
二．填空题（共7小题，满分35分）
11．解：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DF，
设DE＝DF＝R，
∵S△ABD＝＝R，S△ACD＝＝，
∴S△ABD：S△ACD＝5：6，
故答案为：5：6．
12．解：作PE⊥OB于E，
∵OP平分∠AOB，PM⊥OA，PE⊥OB，
∴PE＝PM＝3，
S△ODP＝×OP×DH＝×OD×PE，
∴×7×DH＝×4×3，
解得，DH＝，
故答案为：．
13．解：作DF⊥AC交AC于点F，
∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，
∴DF＝DE＝2．
又∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，AB＝4，
∴10＝×4×2+×AC×2，
∴AC＝6．
故答案为：6
14．解：如图，过点P作PE⊥DC于E，
∵AD∥BC，PA⊥AD，
∴PB⊥CB，
∵CP和DP分别平分∠BCD和∠ADC，
∴PA＝PE，PB＝PE，
∴PE＝PA＝PB，
∵PA+PB＝AB＝10，
∴PA＝PB＝5，
∴PE＝5．
故答案为：5．
15．解：∵PE平分∠BEF，PF平分∠DFE，
∴∠1＝∠BEF，∠2＝∠EFD，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∴∠1+∠2＝90°，即∠P＝90°，
∴△PEF为直角三角形，
∵EF＝13，PE＝12，PF＝5，
设P到EF的距离为d，根据面积法得：PE PF＝EF d，
∴d＝＝，
故答案为：．
16．解：延长AP交BC于E，
∵AP垂直∠B的平分线BP于P，
∠ABP＝∠EBP，
又知BP＝BP，∠APB＝∠BPE＝90°，
在△ABP与△BEP中，
∴△ABP≌△BEP（ASA），
∴S△ABP＝S△BEP，AP＝PE，
∴△APC和△CPE等底同高，
∴S△APC＝S△PCE，
设△ACE的面积为m，
∴S△ABE＝S△ABC+S△ACE＝8+m
∴S△PBC＝S△ABE﹣S△ACE＝4cm2．
故答案为：4．
17．解：∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，
∴（∠ABC+∠ACB）＝60°，
∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，
∴∠EBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠EBC+∠DCB）＝120°，∴（1）正确；
过O作OM⊥AB于M，OQ⊥AC于Q，ON⊥BC于N，
∵O是∠ABC和∠ACB的角平分线交点，
∴OM＝ON，ON＝OQ，
∴OQ＝OM，
∴O在∠A平分线上，∴（2）正确；
假设A、O、F三点共线，
∵∠BAF＝∠CAF，AF＝AF，∠BFA＝∠CFA＝90°，
∴△BAF≌△CAF（ASA），
∴AB＝AC，这与已知AB＞AC相矛盾，∴（3）错误；
∵∠B0C＝120°，
∴∠D0E＝120°，
OM⊥AB，OQ⊥AC，ON⊥BC，
∴∠AMO＝∠AQO＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠MOQ＝120°，
∴∠DOM＝∠EOQ，
在△OMD和△OQE中
∴△OMD≌△OQE（AAS），
∴OE＝OD，∴（4）正确；
在Rt△BNO与Rt△BMO中
∴Rt△BNO≌Rt△BMO（HL），
同理，Rt△CNO≌Rt△CQO，
∴BN＝BD+DM①，CN＝CE﹣EQ②，
两式相加得，BN+CN＝BD+DM+CE﹣EQ，
∵DM＝EQ，
∴BC＝BD+CE，∴（5）正确；
故答案为：（1）（2）（4）（5）．
三．解答题（共3小题，满分35分）
18．（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
∴△BDE与△CDF均为直角三角形，
∵
∴△BDE≌△CDF（HL）．
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴AD平分∠BAC；
（2）AB+AC＝2AE．
证明：∵BE＝CF，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵∠E＝∠AFD＝90°，
∴∠ADE＝∠ADF．
在△AED与△AFD中，
∵，
∴△AED≌△AFD（ASA）．
∴AE＝AF．
∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．
19．证明：过P作三边AB、AC、BC的垂线段PD、PE、PF，
∵AP是△ABC的外角平分线，PD⊥AD，PF⊥AC，
∴PD＝PF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵CP是△ABC的外角平分线，PE⊥AC，PF⊥BC，
∴PE＝PF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
又∵PD＝PE，PD⊥AD，PE⊥AC，
∴AP为∠MBN的平分线（在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上）．
20．证明：过C作CF⊥AD于F，
∵AC平分∠BAD，
∴∠FAC＝∠EAC，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠DFC＝∠CEB＝90°，
在△AFC和△AEC中，
∴△AFC≌△AEC（AAS），
∴AF＝AE，CF＝CE，
∵∠ADC+∠EBC＝180°
∴∠FDC＝∠EBC，
在△FDC和△EBC中，
∴△FDC≌△EBC（AAS）
∴DF＝EB，
∴AB+AD＝AE+EB+AD＝AE+DF+AD＝AF+AE＝2AE
∴2AE＝AB+AD