2.6等腰三角形 同步专题提升训练 2021-2022学年青岛版八年级数学上册 (word版含答案)

2021-2022学年青岛版八年级数学上册《2.6等腰三角形》 同步专题提升训练（附答案）
一．选择题
1．如图，在△ABC中，点D在BC边上，BD＝AD＝AC，E为CD的中点，若∠CAE＝16°，则∠B的大小为（　　）
A．32° B．36° C．37° D．74°
2．等腰三角形的一个内角是68°，则顶角是（　　）
A．68° B．44° C．68°或44° D．68°或112°
3．如图，已知直线PQ⊥MN于点O，点A，B分别在MN，PQ上，OA＝1，OB＝2，在直线MN或直线PQ上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则这样的C点有（　　）
A．3个 B．4个 C．7个 D．8个
4．如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．如图，在△ABC中，BC＝4，BD平分∠ABC，过点A作AD⊥BD于点D，过点D作DE∥CB，分别交AB、AC于点E、F，若EF＝2DF，则AB的长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
6．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°；BD平分∠ABC交AC于点D，点E是边AB上的一点，且满足ED＝EA；过点D作DF∥CB交AB于点F，则图中等腰三角形的个数为（　　）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
7．等边△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC的度数是（　　）
A．60° B．115° C．120° D．130°
8．如图，在钝角三角形ABC中，∠ABC为钝角，以点B为圆心，AB长为半径画弧；再以点C为圆心，AC长为半径画弧；两弧交于点D，连接AD，CB的延长线交AD于点E．下列结论错误的是（　　）
A．CE垂直平分AD B．CE平分∠ACD
C．△ABD是等腰三角形 D．△ACD是等边三角形
二．填空题
9．如果等腰三角形有两条边长分别为2cm和3cm，那么它的周长是　 　．
10．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC边上的高AD＝6cm，腰AB上的高CE＝8cm，则BC＝　 　cm
11．如果等腰三角形的两内角度数相差45°，那么它的顶角度数为　 　．
12．△ABC中，∠B＝50°，当∠C＝　 　时，△ABC是等腰三角形．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，动点P从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿B→A匀速运动；同时点Q从点A出发同样的速度沿A→C→B匀速运动．当点P到达点A时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为　 　时，以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形．
14．如图，∠C＝2∠B，AD⊥BC，AC＝5，CD＝3，则BC＝　 　．
15．如图，等边△ABC中，D、E分别在AB、AC上，且AD＝CE，BE、CD交于点P，若∠ABE：∠CBE＝1：2，则∠BDP＝　 　度．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，BE⊥AC于E，延长BC到D，使CD＝CE，连接DE，若△ABC的周长是24，BE＝a，则△BDE的周长是　 　．
三．解答题
17．用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边长的2倍，求三角形各边的长．
（2）能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？若能，求出其他两边的长；若不能，请说明理由．
18．（1）如图①，在△ABC中，BD平分∠ABC，过点D作ED∥BC．指出图中的等腰三角形，并说明理由．
（2）如图②，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC．证明：EF＝BE+CF．
19．如图，等边△ABC中，AB＝6，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，CE＝CD，DF⊥BE，垂足为F．
（1）求BD的长；
（2）求证：BF＝EF；
（3）求△BDE的面积．
20．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M，交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．
（1）判断直线BE与线段AD之间的关系，并说明理由；
（2）若∠C＝30°，图中是否存在等边三角形？若存在，请写出来并证明；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．解：∵AD＝AC，点E是CD中点，
∴AE⊥CD，
∴∠AEC＝90°，
∴∠C＝90°﹣∠CAE＝74°，
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠C＝74°，
∵AD＝BD，
∴2∠B＝∠ADC＝74°，
∴∠B＝37°，
故选：C．
2．解：若顶角是68°，则结论显然；
若底角是68°，则顶角＝180°﹣68°×2＝44°．
故选：C．
3．解：使△ABC是等腰三角形，
当AB当底时，则作AB的垂直平分线，交PQ，MN的有两点，即有两个三角形．
当让AB当腰时，则以点A为圆心，AB为半径画圆交PQ，MN有三点，所以有三个．
当以点B为圆心，AB为半径画圆，交PQ，MN有三点，所以有三个．
所以共8个．
故选：D．
4．解：①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
5．解：如图，延长AD，BC交于点G，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠GBD，
∵AD⊥BD于点D，
∴∠ADB＝∠GDB＝90°，
又∵BD＝BD，
∴△ABD≌△GBD（ASA），
∴AB＝BG，
∴D是AG的中点，
又∵DE∥BG，
∴E是AB的中点，F是AC的中点，
∴DE是△ABG的中位线，EF是△ABC的中位线，
∴EF＝BC＝2，
又∵EF＝2DF，
∴DF＝1，
∴DE＝3，
∴BG＝2DE＝6，
∴AB＝6，
故选：B．
6．解：∵AB＝AC，ED＝EA，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，∠ADE＝36°，△ABC是等腰三角形，△ADE是等腰三角形，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠DBA＝36°＝∠A，
∴∠CDB＝72°，DB＝DA，即△ABD是等腰三角形，
∴∠C＝∠CDB，
∴BC＝BD，即△BCD是等腰三角形，
∵DF∥BC，
∴∠AFD＝∠ADF＝∠C＝72°，∠BDF＝∠DBC＝∠DBF＝36°，
∴AF＝AD，即△ADF是等腰三角形，
BF＝DF，即△BDF是等腰三角形，
∵∠FED＝∠A+∠ADE＝72°＝∠AFD，
∴BE＝BD，即△BDE是等腰三角形，
∵∠FED＝∠EFD＝72°，
∴DF＝DE，即△DEF是等腰三角形，
故图中等腰三角形有8个，
故选：C．
7．解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，
∴∠IBC＝∠ABC＝30°，∠ICB＝∠ACB＝30°，
∴∠BIC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
故选：C．
8．解：由题可得，CA＝CD，BA＝BD，
∴CB是AD的垂直平分线，
即CE垂直平分AD，故A选项正确；
∴∠CAD＝∠CDA，∠CEA＝∠CED，
∴∠ACE＝∠DCE，
即CE平分∠ACD，故B选项正确；
∵DB＝AB，
∴△ABD是等腰三角形，故C选项正确；
∵AD与AC不一定相等，
∴△ACD不一定是等边三角形，故D选项错误；
故选：D．
9．解：当2是腰时，2，2，3能组成三角形，
周长＝3+2+2＝7（cm）；
当3是腰时，3，3，2能够组成三角形，
周长＝3+3+2＝8（cm），
综上所述，周长为7cm或8cm，
故答案为：7cm或8cm．
10．解：∵AD是BC边上的高，CE是AB边上的高，
∴AB CE＝BC AD，
∵AD＝6，CE＝8，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC＝BC，
∵AB2﹣BD2＝AD2，
∴AB2＝BC2+36，即BC2＝BC2+36，
解得：BC＝．
故答案为：．
11．解：设顶角为x度，则
当底角为x°﹣45°时，2（x°﹣45°）+x°＝180°，
解得x＝90°，
当底角为x°+45°时，2（x°+45°）+x°＝180°，
解得x＝30°，
∴顶角度数为90°或30°．
故答案为：90°或30°．
12．解：①当AB＝AC时，
∵∠B＝50°，
∴∠C＝∠B＝50°．
②当CA＝CB时，
∵∠A＝∠B＝50°，
∴∠C＝80°．
③当BA＝BC时，
∴∠C＝∠A＝＝65°，
综上所述，∠C的值为50°或80°或65°，
故答案为：50°或80°或65°．
13．解：①当BP＝PQ时，如图1，
由题意得：BP＝PQ＝AQ＝t，
Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，
∴AP＝5﹣t，
过Q作QD⊥AB于D，
∴AD＝AP＝，
∵∠A＝∠A，∠ADQ＝∠ACB＝90°，
∴△ADQ∽△ACB，
∴t＝；
②当BP＝BQ时，如图2
由题意得：BP＝AC+CQ＝t，
∴BQ＝3+4﹣t＝7﹣t，
∴7﹣t＝t，
t＝；
③当BQ＝PQ时，如图3，
过Q作QD⊥AB于D，
∴BD＝BP＝t，BQ＝7﹣t，
∵∠B＝∠B，∠BDQ＝∠ACB＝90°，
∴t＝，
综上所述，t的值是秒或秒或秒．
故答案为：秒或秒或秒．
14．解：如图所示，在BD取点E，使得ED＝CD＝3，连接AE，则AD垂直平分CE，
∴AE＝AC＝5，
∴∠AED＝∠C＝2∠B，
又∵∠AED＝∠B+∠BAE，
∴∠B＝∠BAE，
∴BE＝AE＝5，
∴BC＝BE+ED+CD＝5+3+3＝11．
故答案为：11．
15．解：∵等边△ABC
∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AC＝BC
∵∠ABE：∠CBE＝1：2
∴∠CBE＝∠ABC＝40°
又∵AD＝CE
∴△ADC≌△CEB（SAS）
∴∠ACD＝∠CBE＝40°
∴∠BDP＝∠BDC＝∠A+∠ACD＝60°+40°＝100°．
故答案为100°．
16．解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵△ABC的周长是24，
∴AB＝AC＝BC＝8，
∵BE⊥AC于E，
∴CE＝AC＝4，∠EBC＝∠ABC＝30°，
∴BE＝a＝4，
∵CD＝CE，
∴∠D＝∠CED，
∵∠ACB是△CDE的一个外角，
∴∠D+∠CED＝∠ACB＝60°
∴∠D＝30°，
∴∠D＝∠EBC，
∴BE＝DE＝a＝4，
∴△BED周长是DE+BE+BD＝a+a+（8+4）＝2a+12＝8+12．
故答案为：8+12．
三．解答题（共4小题）
17．解：（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm．
依题意，得2x+2x+x＝18，
解得x＝．
∴2x＝．
∴三角形三边的长为cm、cm、cm．
（2）若腰长为4cm，则底边长为18﹣4﹣4＝10cm．
而4+4＜10，所以不能围成腰长为4cm的等腰三角形．
若底边长为4cm，则腰长为（18﹣4）＝7cm．
此时能围成等腰三角形，三边长分别为4cm、7cm、7cm．
18．解：（1）∵BD平分∠ABC，ED∥BC，
∴∠EBD＝∠CBD，∠EDB＝∠CBD，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴DE＝BE，即△BDE是等腰三角形．
（2）∵OB平分∠ABC，
∴∠CBO＝∠ABO，
∵EF∥BC，
∴∠BOE＝∠CBO，
∴∠ABO＝∠BOE，
∴BE＝OE，
同理可得CF＝OF，
∵EF＝EO+OF，
∴EF＝BE+CF．
19．解：（1）∵BD是等边△ABC的中线，
∴BD⊥AC，BD平分AC，
∵AB＝6，
∴AD＝3，
∴由勾股定理得，BD＝＝3；
（2）证明∵BD是等边△ABC的中线，
∴BD平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠ABC＝30°，
又∵CE＝CD，
∴∠E＝∠CDE，∠E＝∠ACB＝30°．
∴∠DBE＝∠E，
∴DB＝DE．
∵DF⊥BE，
∴DF为底边上的中线．
∴BF＝EF；
（3）∵AD＝CD，CE＝CD，
∴CE＝CD＝3，
∴BE＝BC+CE＝9，
∵∠DBE＝30°，DB＝3，
∴DF＝DB＝×3＝，
∴△BDE的面积＝BE DF＝×9×＝．
20．解：（1）BE垂直平分AD，理由：
∵AM⊥BC，
∴∠ABC+∠5＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠C＝90°，
∴∠5＝∠C；
∵AD平分∠MAC，
∴∠3＝∠4，
∵∠BAD＝∠5+∠3，∠ADB＝∠C+∠4，∠5＝∠C，
∴∠BAD＝∠ADB，
∴△BAD是等腰三角形，
又∵∠1＝∠2，
∴BE垂直平分AD．
（2）△ABD、△GAE是等边三角形．理由：
∵BE垂直平分AD，
∴BA＝BD，
又∵∠C＝30°，∠BAC＝90°，
∴∠ABD＝60°，
∴△ABD是等边三角形．
∵Rt△BGM中，∠BGM＝60°＝∠AGE，
又∵Rt△ACM中，∠CAM＝60°，
∴∠AEG＝∠AGE＝∠GAE，
∴△AEG是等边三角形．