3.2.2 双曲线的简单几何性质（第三课时）同步练习--2021-2022学年第一学期人教A版（2019）选择性必修第一册（word版含解析）

3.2.2双曲线的简单几何性质（第三课时）
一、单选题
1．已知双曲线：的左，右焦点分别为，，为双曲线上一点，，为坐标原点.若，则（ ）
A．10 B．1或9 C．1 D．9
2．已知双曲线C的离心率为，，是C的两个焦点，P为C上一点，，若的面积为，则双曲线C的实轴长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
3．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于点M，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线，过的左焦点且垂直于轴的直线交于，两点，若以为直径的圆经过的右焦点，则的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
5．已知双曲线：的左 右焦点分别为，，曲线上一点到轴的距离为，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．过双曲线的焦点作以焦点为圆心的圆的一条切线，切点为，的面积为，其中为半焦距，线段恰好被双曲线的一条渐近线平分，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．或
7．已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知点，分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点为上的一点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的渐近线方程为
C．△的周长为30
D．点在椭圆上
10．已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且．下列说法正确的是（ ）
A．若，则双曲线的离心率的取值范围为
B．若，则双曲线的离心率的取值范围为
C．若，则双曲线的离心率的取值范围为
D．若，则双曲线的离心率的取值范围为
11．已知双曲线，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若，则有（ ）
A．渐近线方程为 B．
C． D．渐近线方程为
12．如果双曲线的离心率，则称此双曲线为黄金双曲线.有以下几个命题，其中正确命题的有（ ）
A．双曲线是黄金双曲线
B．双曲线是黄金双曲线
C．在双曲线中，为左焦点，为右顶点，，若，则该双曲线是黄金双曲线
D．在双曲线中，过焦点作实轴的垂线交双曲线于，两点，为坐标原点，若，则该双曲线是黄金双曲线
三、填空题
13．双曲线的左 右焦点分别是，，过且垂直于轴的直线与双曲线交于 两点，若为正三角形，则双曲线的离心率为___________.
14．有公共焦点，的椭圆和双曲线的离心率分别为，，点为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为______．
15．设双曲线的右焦点是，左、右顶点分别是，，过点作轴的垂线与双曲线交于，两点，若，则该双曲线的渐近线的斜率为______．
16．设，是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，若，，则双曲线的渐近线方程是________.
四、解答题
17．根据以下条件，求双曲线的标准方程.
（1）过点，离心率为；
（2）与椭圆有公共焦点，且离心率；
（3）与双曲线有共同渐近线，且过点.
18．已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线的右支上一点．
（1）求，的最小值；
（2）若右支上存在点P，满足，求双曲线的离心率的取值范围．
19．已知双曲线的左右两个焦点分别为，点P在双曲线右支上.
（1）若当点P的坐标为时，，求双曲线的方程；
（2）若，求双曲线离心率的最值，并写出此时双曲线的渐近线方程.
20．已知是以，为焦点的双曲线上的一点，且，．
（1）求双曲线的离心率；
（2）过点作直线分别与双曲线两渐近线相交于，两点，若（为坐标原点），，求双曲线的标准方程．
参考答案
1．D
【解析】由双曲线：得：，
由双曲线的定义知，，又，
∴或（舍去）.又为双曲线上一点，，
∴为线段的中点，则.故选：D.
2．B
【解析】由题意，，所以，，
又离心率，，
所以，，
所以，
所以，实轴长，故选：B.
3．C
【解析】
如图，作于点于点B，因为与圆相切，
所以，
在中，，所以．
又点M在双曲线上，由双曲线的定义可得：
所以，
整理得：，所以，
所以双曲线的渐近线方程为．故选C．
4．A
【解析】设双曲线的左焦点为，右焦点为，
以为直径的圆恰好过双曲线的右焦点，，
，，，，，
，故选：A．
5．D
【解析】作轴于M，如图，依题意，，令，
则，由双曲线定义知，而，
在中，由余弦定理得：，即，
又离心率，于是有，又e>0，解得，
所以双曲线的离心率为.故选：D
6．B
【解析】由题意，可得图象如图：
由题意可得，∵为的中点，为的中点，
∴，∴，
∵焦点到渐近线的距离，
∴，又∵，，∴，
∴，，∴，
∴，∴，∴或，
又∵，，故. 故答案为：B.
7．B
【解析】若是锐角三角形，则只需．
在中，，，则，又，
∴，∴，∴．又，∴．
故选：B．
8．A
【解析】由得，，
根据三角形的性质可知，为直角三角形，且，．
由双曲线的定义可得，，又，可得．
所以可化为，
即，而，
，解得，又，．故选：A．
9．BCD
【解析】双曲线化为标准形式为，则，，
，故离心率，即A错误；
双曲线的渐近线方程为，即，即B正确；
由双曲线的定义知，，
，则，
△的周长为，即C正确；
对于椭圆，有，，，
，
由椭圆的定义知，点在椭圆上，即D正确，
故选：BCD.
10．BC
【解析】若，则，所以，
解得，得；
若，则，所以，
解得，得．故选：BC．
11．AC
【解析】双曲线的右顶点为，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，
若， 则A到渐近线的距离为，
利用点到直线的距离公式可得A到渐近线的距离为，
，即，.故C正确，B错误；
，渐近线方程为.故A正确，D错误.
故选：AC.
12．BC
【解析】对于A选项，双曲线中，，，所以不是黄金双曲线；
对于B选项，双曲线中，，，则，即，是黄金双曲线；
对于C选项，双曲线中，由得是直角三角形，所以，则，是黄金双曲线；
对于D选项，双曲线中，可得点，因为点在双曲线上，代入双曲线方程有，所以，不是黄金双曲线.
故选：BC.
13．
【解析】∵ 为正三角形，
∴ ，又，，
∴ ，∴，∴
∴ ,（舍去）
14．4
【解析】可设为第一象限的点，，，
由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得，
可得，，
由，可得，
即为，
化为，则．
15．
【解析】不妨设点在第一象限，则，，，，所以，．
因为，所以，所以，又，所以整理得，
所以该双曲线渐近线的斜率．
16．
【解析】由双曲线定义可知 ，且，
那么可以求出 ，
中，由余弦定理可得 ，
即 即 且 ，
那么 ，故渐近线方程为 ，即 .
17．【解析】（1）若双曲线的焦点在轴上，设其方程为，
由题意可得，解得，所以双曲线的标准方程为；
若双曲线的焦点在轴上时，
设其方程为，由题意可得，此时无解，
综上所述：双曲线的标准方程为；
（2）由椭圆方程，知半焦距为，
所以椭圆焦点是，，因此双曲线的焦点为，，
设双曲线方程为，
由题意可得，解得，所以所求双曲线的标准方程为；
（3）设所求双曲线方程为，
将点代入得，所以双曲线方程为，
即双曲线的标准方程为.
18．【解析】（1）设双曲线的左右顶点为，
由图可知：当在右顶点时，最小，即.
而，所以当最小时，取得最小值，即.
（2）设，
依题意，
由余弦定理得，
即.
19．【解析】（1）由题意知，， ，
，
解得 . 由双曲线定义得:
， 所求双曲线的方程为:
（2）设，，.
(1)当时， ，且 ，
，，此时 .
(2)当，由余弦定理得:
，
，，
综上，的最大值为2，但无最小值.
此时，
此时双曲线的渐近线方程为.
20．【解析】（1）不妨设点在第一象限
，，，．
，，．
（2）由（1），知双曲线的方程为，则渐近线的方程为．
不妨设，，，，．
，．
点在双曲线上，，化简，得，
，，双曲线的标准方程为．