2021-2022学年数学人教A版（2019）必修第一册第2章一元二次函数、方程和不等式单元测试（Word含答案解析）

第二章 单元测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选选择题：每题5分，共40分。每个小题只有1项符合题目要求。
1．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则（ ）
A．a>b B．aC．a≥b D．a≤b
2．若，则的最大值等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 cm，人跑开的速度为每秒4 m，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火索的长度x（cm）应满足的不等式为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，则的最小值为（ ）
A．4 B．
C． D．
6．关于x的不等式的解集为，则（ ）
A．-1 B．0 C．6 D．10
7．若，且恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．若对任意，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：每题5分，共20分。部分选对得2分，全对得5分，有错选得0分。
9．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．已知正数a，b，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为2 B．
C． D．
11．解关于x的不等式：，则下列说法中正确的是（ ）
A．当时，不等式的解集为
B．当时，不等式的解集为或
C．当时，不等式的解集为
D．当时，不等式的解集为
12．下列关于一元二次不等式叙述正确的是（ ）
A．若一元二次不等式的解集为，则，且
B．若，则一元二次不等式的解集与一元二次不等式的解集相等
C．已知，关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是22
D．若一元二次不等式的解集为，则
三、填空题：每题5分，共20分。
13．不等式的解集是______________ .
14．设则的最小值为________
15．已知不等式的解集是，则不等式的解集为___________.
16．若，，且，则恒成立的实数的取值范围是_____．
四、解答题：第17题10分，18-22每题12分。共70分。
17．已知不等式
（1）当时，求不等式的解集；
（2）当时，求不等式的解集.
18．（1）已知，，且，求xy的最大值；
（2）已知，求的最小值.
19．某企业准备投入适当的广告费对某产品进行促销，在一年内预计销售量Q（万件）与广告费x（万元）之间的关系式为.已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，若该企业产能足够，生产的产品均能售出，且每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和.
（1）试写出年利润W（万元）与年广告费x（万元）的关系式；
（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大年利润为多少？
20．（1）已知，，且．求的最小值；
（2）已知，，证明：．
21．（1）已知a，b，c是不全相等的正数，求证：
（2）已知，且，求证：．
22．设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点P，设.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）求的最大面积及相应x的值.
试卷第4页，共4页
试卷第1页，共1页
参考答案
1．C
【分析】
作差比较可得答案.
【详解】
a－b＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，
所以a≥b.
故选：C.
2．C
【分析】
因为，分类讨论，结合基本不等式，即可求解.
【详解】
由题意，，
当，此时；
当，此时；
当时，可得，当且仅当时，等号成立，
综上可得，的最大值为.
故选：C.
3．A
【分析】
先求解，由充分条件、必要条件的定义即得解
【详解】
由题意，
或，
∴是的充分不必要条件
故选：A
4．C
【分析】
为了安全，则人跑开的路程应大于100米，路程=速度×时间，其中时间即导火索燃烧的时间.
【详解】
导火索燃烧的时间秒，人在此时间内跑的路程为m．
由题意可得．
故选：C.
5．C
【分析】
将原式构造成两正数和的形式，然后利用基本不等式求解即可.
【详解】
因为，且，
当且仅当即时取等号.
故选：C.
6．A
【分析】
根据不等式的解集求得的值.
【详解】
由于等式的解集为，
所以.
故选：A
7．D
【分析】
结合“1”的代换，利用基本不等式求得的最小值后可得的范围．
【详解】
因为，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以．即的范围是．
故选：D．
8．A
【分析】
利用基本不等式求得的最大值，再根据恒成立，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，对任意，则有，
当且仅当时，即时，等号成立，即的最大值为，
又由对任意时，恒成立，所以，
即的取值范围为.
故选：A.
9．CD
【分析】
利用特殊值代入法排除AB，利用不等式的基本性质可判断CD，得出结论．
【详解】
对于A，不妨令，，，，尽管满足，，但显然不满足，故错误；
对于B，不妨令，，显然满足，但不满足，故错误；
对于C，由不等式的性质知，若，则，故正确；
对于D，若，则，，故正确.
故选：CD.
10．BC
【分析】
由基本不等式和重要不等式逐一判断选项，讨论等号成立的条件可得结果.
【详解】
解：A选项：，当且仅当时等号成立，而，故“等号”不成立，A不正确；
B选项：，当且仅当时等号成立，故B正确；
C选项：，当且仅当时等号成立，故C正确；
D选项：，当且仅当时等号成立，故D不正确；
故选：BC
11．AD
【分析】
当时，解一次不等式可判断A；求出不等式对应方程的两根，当时，讨论两根大小分别可得不等式的解集，可判断选项BCD，进而可得正确选项.
【详解】
对于A：当时，不等式为，解得，所以不等式的解集为，故选项A正确；
对于B、C、D：由可得，
对应方程的两根分别为，，
当即时，原不等式解集为：，
当即时，原不等式的解集为，
当时，，此时的解集为，
故选项BC不正确，选项D正确，
故选：AD.
12．AD
【分析】
根据一元二次不等式的性质，结合二次函数的图像与性质，逐项分析判断即可得解．
【详解】
对A，若一元二次不等式的解集为，
则恒成立，所以，且，故A正确；
对B，若和的符号相反，则两个一元二次不等式解集不同，故B错误；
对C，设，
有，解得，由，则，
和为21，故C错误；
对D，则有，解得，故D正确．
故选：AD
13．
【分析】
移项后可转化为一元二次不等式来求解.
【详解】
等价于即，故，
故解集为.
故答案为：.
14．##
【分析】
利用换元法，令将所给的代数式进行变形，然后利用均值不等式即可求得最小值.
【详解】
由，可得.
可令，即，则，
当且仅当，时，等号成立.
故答案为：．
15．##
【分析】
根据不等式的解集求出a、b、c之间的关系，进而化简不等式
，从而求出它的解集.
【详解】
由题意知，是一元二次方程的两个实数根，且a<0，
所以，
所以，
解得，
所以不等式的解集为：.
故答案为：
16．
【分析】
利用分离参数法转化为，利用基本不等式求出，即可求出的取值范围.
【详解】
要使恒成立，只需恒成立，只需.
因为，，且，所以，
所以，
当且仅当时，即时等号成立，
所以，即，
所以m的范围为.
故答案为：
17．（1）；（2）答案见解析.
【分析】
（1）将代入不等式即可得到答案；
（2）先对式子进行因式分解，进而讨论a的取值范围，然后得到答案.
【详解】
由题意，，
（1）当时，不等式为，解集为.
（2）当时，，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为
当时，不等式的解集为.
18．（1）；（2）.
【分析】
（1）结合基本不等式求得的最大值.
（2）结合基本不等式求得的最小值.
【详解】
（1），
当且仅当时等号成立.
（2），
当且仅当时等号成立.
19．（1）；（2）当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元.
【分析】
（1）由题意可得，产品的生产成本为万元，得到每万件销售价，进而得到年销售输入，即求解年利润的表达式；
（2）令，则，利用基本不等式求解最值，即可得到结论.
【详解】
（1）由题意可得，产品的生产成本为万元，每万件销售价为：，
∴年销售收入为，
∴年利润
.
（2）令，则
.
∵,∴，即，
当且仅当，即时，有最大值42，此时.
即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元.
20．（1）9；（2）证明见解析．
【分析】
（1）构造，利用均值不等式即得解；
（2）作差法整理可得(a3+b3)﹣(a2b+ab2) ＝（a﹣b）2（a+b），分析即得证.
【详解】
（1）因为，，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为9．
（2）证明：(a3+b3)﹣(a2b+ab2)＝a2(a﹣b)+b2(b﹣a）
＝（a﹣b）（a2﹣b2）＝（a﹣b）2（a+b）
∵a＞0，b＞0，
∴a+b＞0，（a﹣b）2 ≥ 0，
∴（a﹣b）2（a+b）≥0，
则有a3 + b3 ≥ a2b + b2a．
21．（1）见解析；（2）见解析.
【分析】
证明的关键在于基本不等式的运用；
证明的关键在于与相乘，使式子出现，运用基本不等式即可求证．
【详解】
证明：，b，c是正数，
，，当相等时等号成立；
同理可得，，当相等时等号成立；
，当相等时等号成立；
又a，b，c是不全相等的正数，

，，且
，
当且仅当即时取“”，故．
22．（1）；
（2）当时，的面积最大，面积的最大值为.
【分析】
（1）由题意可得出，设，则，证明出，可得出，在中应用勾股定理得出，进而得到所求；
（2）由此可得出的面积关于的表达式，利用基本不等式可求出面积的最大值，利用等号成立的条件求出值，由此可得出结论.
【详解】
（1）如图，∵，由矩形的周长为，可知.设，则，
，，，，
.
在中，由勾股定理得，即，
解得，所以.
即
（2）的面积为
.
由基本不等式与不等式的性质，得，
当且仅当时，即当时，的面积最大，面积的最大值为.
【点睛】
本题考查函数最值的求法，注意根据题意求出面积函数的解析式，运用基本不等式，属于中档题.答案第10页，共10页
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