2021-2022学年高中数学（人教A版2019）必修第二册6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 教案

6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
一、教学目标 1.掌握平面向量数量积的坐标表示
2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题
3.通过对平面向量数量积的坐标表示的学习，培养学生数学抽象、数学运算等数学素养
二、教学重点 掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算，能用向量方法证明两角差的余弦公式
教学难点 会运用向量的坐标运算求解向量垂直、夹角等相关问题
三、教学过程
1、复习回顾
问题1：回顾所学平面向量的数量积以及向量线性坐标运算内容，回答下列问题：
1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，若a，b的夹角为60°，则a·b＝__1__
2．设i，j为正交单位向量，则 i·i=___1___；j·j=___1___；i·j=___0__
2、探索新知
问题2：通过对平面向量的数量积及向量线性坐标运算的学习，能否已根据两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，用a和b的坐标表示a·b
答：记a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
∴a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j
∴a·b＝(x1i＋y1j)(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y1j2＝x1x2＋y1y2
重要结论：平面向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
问题3：若a＝（x，y），如何计算向量的模|a| ？
答：|a|=
问题4：若点A（x1，y1），B（x2，y2），如何计算向量的模？
答： （两点间的距离公式）
问题5：已知两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），怎样用坐标表示a⊥b ？
答：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0
追问：怎样用坐标表示a∥b ？
答：a∥b x1y2－x2y1＝0
问题6：已知两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），怎样用坐标表示a， b的夹角呢？
答：设θ是a与b的夹角，则cos θ＝＝.
【例1】若点A（1，2），B（2，3），C（－2，5），则△ABC是什么形状？证明你的猜想
解：因为＝（2－1，3－2）＝（1，1）
＝（－2－1，5－2）＝（－3，3）
所以＝1×（－3）＋1×3＝0
于是⊥
所以△ABC是直角三角形
【例2】设a＝（5，－7），b＝（－6，－4），求a·b及a，b的夹角θ（精确到1°）
解： a·b＝5×（－6）＋（－7）×（－4）＝－30＋28＝－2
∴θ≈92°
【例3】用向量方法证明两角差的余弦公式：
证明：角 的终边与单位圆的交点分别为A，B，则
设、的夹角为，则
所以
另一方面，如图（1）可知
另一方面，如图（2）可知
于是
所以
所以
方法规律：进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质，解题时通常有两条途径：
一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；
二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算
【例4】 (1)已知向量，，若，则=________
(2)已知向量，，则与的夹角=________
解：(1) 因为，所以，解得
(2) 设与的夹角为，则
又，
即与的夹角是
【例5】已知向量，，若与的夹角是锐角，则求实数的取值范围
解：由题意 ，即，，
∴
若，则，解得，综上的范围是
方法规律：利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤
(1)求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积
(2)求模．利用|a|＝计算两向量的模
(3)求夹角余弦值．由公式cos θ＝求夹角余弦值
(4)求角．由向量夹角的范围及cos θ求θ的值
【例6】如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=4，CD=8，若，，求·
解：以为坐标原点，建立直角坐标系如图：
因为直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=4，CD=8
若，
所以，，，，所以，
则
方法规律：对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解
四、课堂练习
P36 练习
1、若向量a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，则x等于(　A　) A.3 B.－3 C. D.－
2、已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于(　C　) A.1 B. C.2 D.4
3、已知向量a＝(1，－2)，b＝(x,4)，且a∥b，则|a－b|等于(　B　) A.5 B.3 C.2 D.2
4、已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)
(1)若a⊥b，求x的值
(2)若a∥b，求|a－b|
解：(1) x＝－1或x＝3 (2) 2或2
5、已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求实数λ的取值范围
解：(－∞，－1)∪(－1,1)
五、课堂小结
1． 平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具
2． 应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力
3． 注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b x1y2－x2y1＝0，a⊥b x1x2＋y1y2＝0
4． 事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误
六、课后作业
习题6.3 8、10
七、课后反思