2021-2022学年高中数学（人教A版2019）必修第二册6.4.1平面几何中的向量方法 教案

6.4.1　平面几何中的向量方法
一、教学目标 1.会用向量方法解决简单的几何问题
2.体会向量在解决几何问题中的作用
3.通过对用向量法解决平面几何问题的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模、数据分析
等数学素养
二、教学重点 用向量方法解决几何问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步曲”
教学难点 能够将几何问题转化为平面向量问题
三、教学过程
1、复习回顾
问题1： （1）平面两个向量的数量积：
（2）向量平行的判定:
（3）向量平行与垂直的判定:
（4）平面内两点间的距离公式： （其中，）
（5）求模：； ；
问题2：平面几何元素及其表示与向量及其运算的转化
几何元素及其表示 向量及其运算
点A
线段AB ，AB两点距离
夹角∠AOB
直线 a//b
直线A、B、C三点共线
直线a⊥b a⊥b a·b＝0
2、探索新知
【例1】如图，三角形ABC中，D为AB的中点，E为AC 的中点，求证：DE∥BC， DE=BC
证明：如图，因为DE是△ABC的中位线，所以，
从而又
所以 于是 DE∥BC， DE=BC
【例2】如图,在平行四边形 ABCD中,你能发现对角线AC与DB的长度和邻边AB与AD长度之间的关系吗
解：方法一：
第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几
何 问题转化为向量问题：
如图，取为基底，设，则，
第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系：
，
上面两式相加，得
第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：
方法二：
如图，以A为坐标原点， AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系
方法规律：1、用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向
量问题
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题
(3)把运算结果“翻译”成几何关系
2、用向量证明平面几何问题的两种基本思路及步骤
(1)利用线性运算证明的四个步骤： ①选取基底
②用基底表示相关向量
③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系
④把几何问题向量化.
(2)利用坐标运算证明的四个步骤： ①建立适当的平面直角坐标系
②把相关向量坐标化
③用向量的坐标运算找出相应关系
④把几何问题向量化
四、课堂练习
P39 练习
1、所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
解：（基底法）设＝a，＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0
又＝＋＝－a＋，＝＋＝b＋
所以·＝(b＋)·(－a＋)＝－a2－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0
故⊥，即AF⊥DE.
（坐标法）如图建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2
则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，所以＝(2,1)，＝(1，－2)
因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0
所以⊥，即AF⊥DE
五、课堂小结
1、向量方法解决平面几何问题“三步曲”
2、向量的线性运算法（基底法）的四个步骤：
①选取基底
②用基底表示相关向量
③利用向量的线性运算或数量积找相应关系
④把几何问题向量化
向量的坐标运算法（坐标法）的四个步骤：
①建立适当的平面直角坐标系
②把相关向量坐标化
③用向量的坐标运算找相应关系
④把几何问题向量化
六、课后作业
习题6.4 1、2、3
七、课后反思