2021-2022学年高中数学（人教A版2019）必修第二册6.4.2向量在物理中的应用举例 教案

6.4.2 向量在物理中的应用举例
一、教学目标 1. 会用平面向量知识解决简单的物理问题的两种方法-----向量法和坐标法
2.体会向量在解决速度、力学等一些简单实际问题中的作用
3.通过对用向量法解决物理问题的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模、数据分析等数学素养
二、教学重点 用向量方法解决物理问题的基本方法“四步曲”
教学难点 能够将物理问题转化为平面向量问题
三、教学过程
1、情境引入
问题1：在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？
答：上面的问题可以抽象为如图所示的数学模型．只要分析清楚F、G、三者之间的关系（其中F为F1、F2的合力），就得到了问题的数学解释
不妨设|F1|=|F2|，以F1、F2为邻边的四边形是菱形
力F1与力F2的合力与重力G大小相等、方向相反
整理得
当在内逐渐增大时，的值由大变小，| F1|由小变大
即F1、F2之间的夹角越大越费力
追问：(1)为何值时，|F1|最小，最小值是多少？
(2)| F1 |能等于|G|吗？为什么？
答：(1)当=00时，|F1|最小，
(2) 当=1200时，
2、探索新知
【例1】(1)一物体在力F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)的共同作用下从点A(1,1)移动到点B(0,5)．求在这
个过程中三个力的合力所做的功
(2)设作用于同一点的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，若|F1|＝1，|F2|＝2，且F1
与F2的夹角为π，如图
①求F3的大小
②求F2与F3的夹角
分析：(1) →
(2) ①→
②→→
解：(1) 因为F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)
所以合力F＝F1＋F2＋F3＝(8，－8)，＝(－1,4)
则F·＝－1×8－8×4＝－40
即三个力的合力所做的功为－40
(2)　①由题意|F3|＝|F1＋F2|
因为|F1|＝1，|F2|＝2，且F1与F2的夹角为π，所以|F3|＝|F1＋F2|＝＝
②设F2与F3的夹角为θ
因为F3＝－(F1＋F2)
所以F3·F2＝－F1·F2－F2·F2
所以·2·cos θ＝－1×2×－4
所以cos θ＝－
所以θ＝π
【例2】一条河的两岸平行,河的宽度d=500 m， 一艘船从A处出发到河
的正对岸B处，船航行的速度|v1|=10 km/h，水流速度|v2|=2 km/h，
问行驶航程最短时，所用时间是多少(精确到0.1 min) ？
解：设点B是河对岸一点，AB与河岸垂直，那么当这艘船实际沿着AB方
向行驶时，船的航程最短
如图，设，则
此时，船的航行时间
所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要3.1 min
方法规律：　用向量解决物理问题的一般步骤（四步曲）
(1)问题的转化，即把物理问题转化为数学问题
(2)模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型
(3)参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值
(4)问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象
四、课堂练习
P41 练习
1、如图,在重的物体上有两根绳子,绳子与铅垂线的夹角分别为30°,60°,物
体平衡时,两根绳子拉力的大小分别为( C )
A. B.
C. D.
2、一条宽为km的河，水流速度为2 km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB＝km，船在水中最大航速为4 km/h；问怎样安排航行速度，可使该船从A码头最快到达彼岸B码头？用时多少？
解：如图所示，设为水流速度，为航行速度，以AC和AD为邻边作平行四边形ACED
当AE与AB重合时能最快到达彼岸
根据题意知AC⊥AE
在Rt△ADE和平行四边形ACED中
||＝||＝2，||＝4，∠AED＝90°
∴||＝＝2
÷2＝0.5(h)，sin ∠EAD＝
∴∠EAD＝30°
∴船实际航行速度大小为4 km/h，与水流成120°角时能最快到达B码头，用时0.5小时
五、课堂小结
用向量解决物理问题一般按如下步骤进行：
①转化：把物理问题转化为数学问题
②建模：建立以向量为主体的数学模型
③求解：求出数学模型的相关解
④回归：回到物理现象中，用已获取的数值去解释一些物理现象
六、课后作业
习题6.4 5
七、课后反思