2022 届名校高三精品卷
文数参考答案
考试说明：1.考查范围:集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数解三角形、平面向量、数列、坐标
系与参数方程、不等式选讲。
2.试卷结构：分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)；试卷分值:150 分，考试时间:120 分钟。
3.所有答案均要答在答题卷上，否则无效。考试结束后只交答题卷。
第Ⅰ卷（选择题共 60 分）
一、选择题本卷共 12 小题，每小题 5 分。每小题只有一个选项符合题意。答案
填涂到答题卡上。
1．若集合 A x | x2 2x 0 ，集合B满足 A B A，则B可以为（ ）
A．{x | x 2} B．{x | 1剟x 2} C．{1,2} D．{ 1,0,1,2}
【答案】C
先求得集合 A，利用 A B A得B A ,根据选项求得结果.
2．已知数列 an 是等比数列，公比为q，前n项和为 Sn，下列判断正确的有（ ）
1
A． 为等差数列 B． log2 an 为等差数列
an
1
C． a n 1n an 1 为等比数列 D．若 Sn 3 r，则 r
3
【答案】D
3．已知等差数列 an 中，a3 7 ，a11 11，记数列 an 的前n项和为 Sn，则 S13的值为（ ）
A． 42 B．39 C．26 D．33
【答案】 C
则 13 (a1 a13)S13 26
2
r r
4. 设 a、b都是非零向量，下列四个条件中，使
r r 成立的充分条件是（ ）
a b
r r
| a | | b |
r r r r r r r r r r
A. a 3b B.a //b C.a b D.a //b且 | a | | b |
【答案】A
5.下列命题中正确的是：（ ）
r r
A.因为两个非零向量 a,b方向相反，则它们是相反向量。
r r r r r r r r
B. 已知 c 0 ，且 a c b c，则 a b
r r r r 3
C.已知向量a 1,3 ，b sin ,sin cos ，若a / /b，则 tan
4
r r r r r r r r
D.两个非零向量a,b，若 | a b | | a | | b |，则a与b 反向
【答案】D
1 a * 1
6．已知数列 an
n
的前n项积为Tn，且满足an 1 n N ，若 a1 ，则T18为（ ） 1 an 4
3 5 5
A．-4 B．- C． D．
5 3 12
【答案】D
1 a
a n 1 5
3 1
解：由 n 1 ， a1 ，解得a a2 ， 3 4，a4 ，a5 ，…， 1 an 4 3 5 4
所以T4 a1 a2 a3 a4 1.
7．在VABC 中，由下面的条件能得出VABC 为钝角三角形的是（ ）
uuur uuur 1
A． AB BC 0 B．sinA cosA 5
C．cosAcosBcos A B 0 D．b 3,c 3 3,B 30o .
【答案】B
【分析】
对于 A，根据向量的数量积得cos B 0，即B 为锐角；
对于 B，两边平方得sin Acos A 0，由sin A 0得 cos A 0 ，即A 为钝角；
对于 C，由cosAcosBcos A B 0可得cos AcosB cosC 0，推出
cos A 0,cosB 0,cosC 0 ；
对于 D，由正弦定理求出C，进而求出A ，可得结果.
r r r r r r r r r
8．已知非零向量a,b 满足 a 2 b ， a b 3 b ，则向量a,b 的夹角为（ ）
5 2
A． B． C． D．
6 3 3 6
【答案】B
【分析】
r r 2 r 2 r r r 2
由 a b 3 b ，结合平面向量数量积的运算律可求得a b b ，由向量夹角公式计
算可求得结果.
9．已知数列{an}满足 an an 1 2 ，且a1,a3,a4 成等比数列.若{an}的前 n 项和为 Sn，则 Sn的
最大值为（ ）
81
A．20 B． 14 C． – D． –20
4
【答案】A
【详解】
根据题意，可知{an}为等差数列，公差d 2，
由a1,a3,a
2
4 成等比数列，可得a3 a1a4 ，
2
∴ (a1 4) a1(a1 6) ，解得a 8 . 1
∴ .
S 9n n2n
根据单调性，可知当n 4或5时， Sn取到最大值为20 .
10.数列 a nn 中的前n项和 S 2 2，数列 logn 2 an 的前n项和为Tn，则T20 （ ）
A．1 9 0 B．192 C．180 D．1 8 2
【答案】B
当 n 1时，a1 S
1
1 2 2 4 ，
a S S 2n 2 2n 1 2 2n 2n 1 2n 1当 n 2 时， n n n 1 ，
4,n 1
经检验 a1 4不满足上式，所以an
2n 1
，
,n 2
2,n 1
设bn log2 an，则bn ，
n 1,n 2
故选：B
uuuur uuur uuur
11．已知D是VABC 的边 AB的中点，点M 在DC上，且满足5AM AB 3AC，则
VABC 与VABM 的面积之比为（ ）
5 2 3 5
A． B． C． D．
3 5 5 4
【答案】A
uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur
如图，由5AM AB 3AC得2AM 2AD 3AC 3AM ，
uuuur uuur uuur uuuur uuuur uuuur uuur uuuur uuuur 3 uuur
即2 AM AD 3 AC AM ，即2DM 3MC 3 DC DM ，故DM DC，
5
故VABM 与VABC 以 AB为底，其高的比为3 : 5，故 SVABM : SVABC 3:5．
12．已知数列 an 的前n项和为 Sn，且满足3a
2
1 3 a2 3
n a n n N*n ，若对于任意的
x R 2，n N*，不等式 Sn x ax 2恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． 2, 2
B． 6, 6
C． , 2 U 2, D． 6, 6
【答案】B
2 n *
解：∵ 3a1 3 a2 3 an n n N 2 n 1，∴ 当n 2 时，有3a1 3 a2 3 an 1 n 1，两
n 1 1
式相减得：3 a 1，即a n 2 ，又当n 1时，有3a1 1n n n ，解得a1 ； 3 3
n
1 1
1 1 3 3 n
∴ a ， 1 1 1n
3n Sn 1
．
1
1 2 3 2
3
∵ 对于任意的 x R ， n N*，不等式 2 2 恒成立，
2 a aSn x ax 1 x 2
2 4
∴ 2
2 a 1x ax 1 2
min 4 2
第Ⅱ卷（非选择题共 40 分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第 13-21 题为必考题，每个试题都必须作答，第 22-23
题为选考题，考生根据需要作答.
二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分）
uuur uuur uuur
13.若OA (3,-4) ，OB (6,-3) ，OC (5 m,-3 m) ， ABC为锐角，则实数 m的取值范围
是________________.
【答案】 3 1
m 且m
4 2
x 6, x 2
14．若函数 f x （a 0且a 1）的值域是 4, ，则实数 a的取值范围
3 loga x, x 2
是__________．
【答案】 1,2
x 6, x 2
试题分析：由于函数 f x { a 0,a 1 的值域是 4, ，故当 x 2时，满
3 loga x, x 2
足 f x 6 x 4，当 x 2时，由 f x 3 loga x 4，所以 loga x 1，所以
loga 2 1 1 a 2，所以实数a的取值范围1 a 2 .
13
15. 在△ABC中，已知 AB 8 ， BC 7 ， cos(C A) ，则 AC 14 ___________.
【答案】5
16．已知函数 f (x) 4
x 3 2，若函数 g(x) [ f (x)]2 3mf (x) 2m2 m 1有 4 个零点，则
m 的取值范围是__________．
3
【答案】 ( , 2) (2,3)
2
【详解】
f (x) m 1
g(x) [ f (x)]2 3mf (x) 2m2 m 1 0，即，解得 f (x) 2m 1或 ．
f (x) 的图象如图示：
只需： 2 2m 1 5,
且2m 1 m 1。
2 1 m 5,
三、解答题（本大题共 5小题，每小题 12 分，共 60 分）
17．已知各项均为正数的等差数列 an 的公差为 4，其前 n 项和为 Sn ,且2a2 为 S2 ,S3的等比
中项
（1）求 an 的通项公式；
1
（2）设bn ，求数列 b 的前 n 项和T
ana
n n
n 1
【解】（1）因为数列 an 是公差为 4 的等差数列，
3 2
所以a2 a1 4,S2 2 a1 2 ,S3 3a1 4 3 a1 4 ．
2
4a2
2
又 2 S2S ，所以4 a a 4 a 2 03 1 4 6 a1 2 a1 4 ，即 1 1 ，
解得a1 2或a1 4（舍去），
所以an 2 4(n 1) 4n 2．---------------------------------------------------5 分
（2）因为 ，----------7 分
1 1 1 1 1
bn ( )
anan 1 (4n 2)(4n 2) 4 4n 2 4n 2
所以Tn b1 b2 L bn 1 bn
1 1 1 1 1 1 1 1 1
( L )
4 2 6 6 10 4n 6 4n 2 4n 2 4n 2
1 1 1
( )
4 2 4n 2
n ．---------------------------------------------------------------------12 分
8n 4
18．如图，以边长为 2 的正方形 ABCD的边 AB为直径作半圆，P为半圆上的动点，点E、F
uuur uuur uuur uuur
满足BC 2EC,DF 3FC．
uuur r uuur r r r uuur uuur
（1）设 AE a, AF b，用a、b分别表示 AB和 AD；
uuur uuur
（2）求 AP DP的取值范围．
【解】
uuur uuur uuur uuur
（1）如下图，因为BC 2EC,DF 3FC，
uuur uuur uuur uuur 3 uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur
所以 AF AD DF AD AB， AE AB BE AB AD，
4 2
uuuv 3 uuuv v
AD AB b 4 uuur 8 r 4 r uuur 6 r 8 r
所以 uuuv uuuv ，所以解得
AB a b, AD a b；--------------5 分
1 v 5 5 5 5AB AD a
2
uuur
（2）以 AB中点O为坐标原点，OB的方向为 x轴正向建立平面直角坐标系如下图所示，
因为正方形边长为2，所以半圆O是单位圆位于 x轴上方的部分，
设P cos , sin 0, ， A 1,0 ,D 1,2 ，
uuur uuur
所以 AP cos 1,sin ,DP cos 1,sin 2 ，
uuur uuur
2
所以 AP DP cos 1 sin sin 2 2 2 2 cos ，-----------9 分
4
5 2
又因为 0, ，所以 , ，所以cos 1, ， 4 4 4 4 2
uuur uuur 2 uuur uuur
所以 AP DP 2 2 2 4， AP DP 2 2 2 1 2 2 2 ，
max 2 min
uuur uuur
所以 AP DP 2 2 2,4
.---------------12 分
a c
19. 在VABC 中，角 A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足cosC ，若VABC 外
b 2b
15
接圆的半径为 3 ，且 AC 边上的中线长为 ，
2
(1)求角 B; (2)求VABC 的面积。
【解】
a c
（1）由cosC ，得2b cosC 2a c .
b 2b
利用正弦定理得： 2sin B cosC 2sin A sinC ，
即2sinBcosC 2sin B C sinC，化简得sinC 2sinC cosB .
1
Q C 0, ， sinC 0， cosB .
2
又Q B 0, ， B .--------------------------------------------5 分
3
b
（2）由正弦定理得 2 3 b 3 .
sin B
设D为 AC 边上的中点，则 3 15 ，
AD ,BD
2 2
uuur uur uuur
利用向量加法法则得：2BD BA BC
uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur uuur
两边平方得：4BD BA BC 2BA BC，即15 c2 a2 ac
由余弦定理b2 c2 a2 2ac cos B，即9 c2 a2 ac，-----------------9 分
两式相减得ac 3 .
1 3 3
由三角形面积公式得： S ac sin B .--------------------------12 分 VABC
2 4
x2 y2 3
20．已知椭圆 C： 1(a b 0)的左、右焦点分别为F1,F2 ，点P 1, 在椭圆 C 上，a2 b2 2
3
且△PF1F2 的面积为 ．
2
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）若椭圆 C 上存在 A，B 两点关于直线 x my 1对称，求 m 的取值范围．
【解】
1 3
1,a2 4b2
3c 3
解：（1）由题意可得 ,
2 2
c2 a2 b2 ,
解得a 2,b 1，
x2
故椭圆 C 的标准方程为 y2 1．----------------------------------------------5 分
4
（2）设 A x1, y1 ,B x2 , y2 ，线段 AB的中点为M x0 , y0 ．
2 2
因为直线 x my 1过定点 (1,0)，所以 x1 1 y
2 2
1 x2 1 y2 ．
x2 x2 2 2
因为 A，B 在椭圆上，所以 1 y2 2 2
2 x 2 x
1 1, y2 1，所以 x1 1 1 1 x2 1 1 2 ，
4 4 4 4
x2 x2 8 4
整理得 1 2 x x x x 2 ，所以 x1 x2 ，所以 x0 ．--------------81 2 1 2 分
4 3 3
1
因为点 M 在直线 x my 1上，所以 x0 my0 1，则 y0 ．
3m
x2
y2 1,
4 5
由 得 y ，
4 3x ,
3
5 1 1 5 5 5
则 0或0 ，解得m 或m ．
3 3m 3m 3 5 5
5 5
故 m 的取值范围为 , U , ．-----------------------------------------12 分
5 5
21．已知函数 f (x) x2 m ln x(m R) .
（1）若函数 g(x) f (x) 3x为增函数，求 m 的取值范围；
（2）当m 0，若 f (x) 1在定义域内恒成立，求 m 的值.
【解】
（1） f (x) 的定义域为 (0, )， 2 ， m 2x 3x m
g ' (x) 2x 3
x x
若 f (x) 在定义域内为增函数，则2x2 3x m 0在 (0, )上恒成立，
即m 2x2 3x在 (0, )上恒成立，
所以 9 ，即 m 的取值范围为 ；--------------------5 分
m 9 ,
8 8
（2） f (x) 1 x x2 m ln x 1.
m 2x2 m
令 g(x) x2 m ln x，则 g (x) 2x .
x x
m m
因为m 0，令 g (x) 0，解得 x ，即 g(x)在 , 2 2
上单调递增，
m m
令 g (x) 0，解得0 x ，即 g(x)在 0, 上单调递减， 2 2
m m m
所以 g(x)min g 2
m ln ，
2 2
m m m
要使 g(x) 1在定义域内恒成立，即 g(x)min g m ln 1，
2
2 2
m m m
即 ln 1 0，--------------------------------------------------------------------------9 分
2 2 2
m 1
令h(a) a a ln a 1(其中a )，h (a) 1 a ln a ln a .
2 a
当a (0,1) 时，h (a) 0，当a (1, )时， h (a) 0 ，
所以h(a)max h(1) 0，所以h(a) h(1)，
要使a a ln a 1 0 ，只能取 a 1，即m 2a 2，
综上所述，m 的值为 2.----------------------------------------------------------------------------------12 分
选考题：共 10 分，请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
计分.
22．在直角坐标系 xOy中，圆C的圆心坐标为 2,0 ，以坐标原点O为极点， x轴正半轴为
极轴建立极坐标系，点M 的极坐标为 3, ，且过M 点只能作一条圆C的切线．
6
（1）求圆C的极坐标方程；
uur uuur
（2）直线 （0 ， R）和圆C相交于两点A ， B，若OA AB，求cos ．
2
【解】
3 3
（1）由点M 的极坐标可得其直角坐标为 , ，
2 2
因为过M 点只能作一条圆C的切线，
所以点M 在圆C上，
2 2
2 3 3
因为 r MC 2
2
1，
2
2
所以圆C的直角坐标方程为 x 2 y2 1，即 x2 y2 4x 3 0，
所以圆C的极坐标方程为 2 4 cos 3 0．-----------------------------------5 分
（2）将 代入圆C的极坐标方程得 2 4 cos 3 0，
3
由 16cos2 12 0，0 ，即cos ，
2 2
设点A ， B的极坐标分别为 A A , ，B B , ，
A B 4cos ,
则
A B 3,
uur uuur
又由OA AB，可得 B 2 A，
3 6
联立解得cos ．------------------------------------------------10 分
8
23．已知函数 f x x 1 2 x a ，a 0 .
(1)当 a 1时，求不等式 f x 1的解集；
(2)若 f x 的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围.
【解】
（1）当 a 1时，不等式 f x 1，即 x 1 2 x 1 1，
x 1
即 ①，
x 1 2 1 x 1
1 x 1
或 ②，
x 1 2 1 x 1
x 1
或 ③.
x 1 2 x 1 1
2
解①求得 x ，解②求得 x 1，解③求得1 x 2 .
3
2
综上可得，原不等式的解集为 , 2 .------------------------------------------------------------5 分
3
x 1 2a, x 1
（2）函数 f x x 1 2 x a 3x 1 2a, 1 x a，
x 1 2a, x a
2a 1
由此求得 f x 的图象与 x 轴的交点 A , 0 ，
3
B 2a 1,0 ，
故 f x 的图象与 x 轴围成的三角形的第三个顶点C a,a 1 ，
由△ ABC 的面积大于 6，
1 2a 1
可得 2a 1 a 1 6，求得a 2 . 2 3
故 a 的范围为 2, .---------------------------------------------------------10 分2022届名校高三精品卷
数学试卷(文科
考试说明
1.考查
试卷结构:分笫Ⅰ卷(选择题)和笫∏卷(非选择题);试卷分值:150分,考试时间:120分钟
所有答案均要答在答題卷
效。考
答题卷
第Ⅰ卷(选择题共60
本题共12小题,每小题
60分。在每小题给出的四个选
只
若集合A
x≤0},集
足A∪B
为
知数列{an}是等比数列
q,前n项和为Sn,下列判断正确的有
等差数
为等比数
D.若Sn=3
知等差数
项和为S。,则
值为
4.设a、b都是非零
刂四个条
充分条
A
B
a
两个非零
b方向村
它们是相反
C.已知
知数列
项积为T
则Ts为
精品卷·数学试卷文科第1页
D
下面的条件能
ABC为钝角三角形的是
A.AB·BC
8.已知非零向量a,b满
b|,则向量a,b的夹角为
知数
}满足
成等比数
}的前n项和为S。则S的
最大值为
B
D
数
数列
知D是△ABC的
满
AB+3AC
△ABM的面积之比为
的前n项和为Sn,且满足
对于任意的
等式
x+2恒
数a的取值范围为
第Ⅱ卷(非选择题
填空题:本题
题,每小题
若OA
),∠ABC为锐角
数m的取值
值域是[4,+∞),则实数a的取值范围是
知AB=8,BC
有4个零
围是
精品卷·数学试卷文科第2页
D
明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考
考生都必须
第22、23题为选考题,考生根据要求作
(本小题满分
知各项均为正数的等差数列{an}的公差为4,其前n项和为
为
等
an}的通项公式
(2)设
求数列{bn}的前n项和
如图,以边长为2的正方形ABCD的边AB为直径作半圆,P为半圆上的动点,点
足
EC
分
求AP·DP
9.(本小题满分12分
角A
所对的边分别为a
,若△ABC外接圆
半径为3,且AC边上的中线长
(2)求△ABC的面积
精品卷·数学试卷文科第3页(共4页)
D
(本小题满分12分
知
左、右焦点分别为
点
在椭圆C上
(1)求椭圆C的标准方程
(2)若椭圆C上存在A,B两点关于直线x
称,求m的取值范
(本小题满分
知函数f(
若函数g(x)
为增函数,求m的取值范
若f(x)≥1在定义域内恒成立,求m的值
选考题:共10分
生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题
分
本小题满分10分选
数方
在直角坐标系xO
圆心坐标为(2,0),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极
立极坐标系,点M的极坐标为(3·5)
作一条圆C的切线
(1)求圆C的极坐标方
(2)直线=0(0<0<2,∈)和圆C相交于两点A,B,若O=AB求
本小题满分10分)选修4
等
知函数f(x)
解集
若
的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范
精品卷·数学试卷文科第4页(共4页)
D
