4.5.3 函数模型的应用（学案）-高中数学人教A版（2019）必修第一册（Word含答案解析）

第四章 指数函数与对数函数
4.5.3 函数模型的应用
学案
一、学习目标
1.会通过具体的函数模型分析实际问题.
2.能够对问题进行分析，建立合适的数学模型，并对不同数学模型的契合度进行比较，择优选择. 二、基础梳理
1.几种常见的函数模型：
（1）一次函数：y=；
（2） 二次函数：y=；
（3）指数函数：y=；
（4）对数函数：y=；
（5）幂函数：y=；
（6）指数型函数：；
（7）分段函数.
2.面对实际问题，自己建立函数模型的步骤：
（1）收集数据；
（2）画散点图；
（3）选择函数模型；
（4）求函数模型；
（5）检验；
（6）用函数模型解释实际问题；
三、巩固练习
1.高压10kV输电线路电压损失估算口诀：架空铝线十千伏，电压损失百分数；输距电流积六折，再被导线截面除；输距千米电流安，截面毫方记清楚.其意义为“对于高压10kV的架空铝线，若输电线路的输距为x km，电流为y A，导线截面为，则电压损失百分数.”据此可知，对于一条长度为10km，高压为10kV的输电线路，若当导线截面为50 ，电流为30A时的电压损失百分数为，当导线截面为40 ，电流为35A时的电压损失百分数为，则( )
A. B. C. D.
2.惰性气体分子为单原子分子，在自由原子情形下，其电子电荷分布是球对称的.负电荷中心与原子核重合，但若两个原子接近，则彼此能因静电作用产生极化（正负电荷中心不重合），从而导致有相互作用力，这称为范德瓦尔斯相互作用.今有两个相同的惰性气体原子，它们的原子核固定，原子核正电荷的电荷量为q，这两个相距为R的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能，其中为静电常量，分别表示两个原子负电荷中心相对各自原子核的位移，且和都远小于R，当远小于1时，，则U的近似值为( )
A. B. C. D.
3.当一束平行单色光垂直通过某一均匀非散射的吸光物质时，透光度T的数学表达式为，其中系数k与吸光物质的性质及入射光线的波长有关，c为吸光物质的浓度（单位：mol/L），l为吸收介质的厚度（单位：cm）.已知吸光物质及入射光线保持恒定，当吸收介质的厚度为20cm时，透光度为，则当吸收介质的厚度增加20cm时，透光度为原来的( )
A. B. C. D.
4.一般来说，事物总是经过发生、发展、成熟三个阶段，每个阶段的发展速度各不相同，通常在发生阶段变化速度较为缓慢、在发展阶段变化速度加快、在成熟阶段变化速度又趋于缓慢，按照上述三个阶段发展规律得到的变化曲线称为生长曲线.美国生物学家和人口统计学家雷蒙德 皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式为该函数也可以简化为的形式.已知描述的是一种果树的高度随着时间x(单位：年)的变化规律，若刚栽种时该果树的高为经过一年，该果树的高为则该果树的高度超过8m，至少需要( )
A.4年 B.3年 C.5年 D.2年
5.为了检测某种病毒传染性的强弱某研究机构利用小白鼠进行试验在不采取防护措施的情况下，每天新增感染的小白鼠数量是前一天新增感染数量的1.2倍如果采取科学有效的防护措施，每天新增感染的小白鼠数量是前一天新增感染数量的0.8倍.现将小白鼠分为两组，已知11月20日，A组新感染的小白鼠数量为120只，B组新感染的小白鼠数量为30只，现对B组的小白鼠釆取防护措施，对A组的小白鼠不采取防护措施，若要使A组新增感染的小白鼠数量超过B组新增感染数量的4倍，则至少需要（参考数据：）( )
A.5天 B.6天 C.7天 D.8天
6.放射性元素的原子核有半数发生衰变时所需要的时间叫半衰期，这种理论也应用在医学上，医学上半衰期的具体定义为药物在生物体内浓度下降一半所需要的时间现有A,B两种新研制的药物，为研究其药性特点，在两只身体状况一致的小白鼠体内分别注射药物，已知药物A的半衰期为8小时，设经过个半衰期，两种药物的浓度分别为，若，经过相同的时间后，则药物B的半衰期为( )
A.6小时 B.7.5小时 C.10小时 D.12小时
7.2020年12月24日起，铁路部门在京沪高铁、成渝高铁的部分车次试点“静音车厢”服务，为旅客提供更加安静、舒适的旅行环境.假设强度为v的声音对应的分贝为，且与的关系可用一次函数进行模拟，强度为的声音对应的分贝为80dB，强度为的声音对应的分贝为10dB.若“静音车厢”内要求产生的声音不超过30dB，则其对应的声音强度应不超过( )
A. B. C. D.
8.某实验室开发一种新的抗病毒试剂，试剂在血液中的浓度(单位与时间(单位的关系为如果试剂浓度不低于则认为还有药效，则该试剂的药效持续时间约为( )
A. B. C. D.
参考答案
巩固练习
1.答案：C
解析：本题考查高压输电线路电压损失估算口诀的应用.由题知，，所以.故选C.
2.答案：B
解析：本题考查新背景题的近似计算问题.根据题意，
，
因为和都远小于R，当远小于1时，，
所以
.故选B.
3.答案：C
解析：因为时，，所以，所以.设吸收介质的厚度增加20cm时，透光度为，则，选C.
4.答案：A
解析：由题可得则解得所以由函数解析式可知，在上单调递增，且故该果树的高度超过至少需要4年.故选A.
5.答案：B
解析：由题意得，经过x天后，A组新增感染的小白鼠数量为
组新增感染的小白鼠数量为，由，得
所以，故至少需要6天.
6.答案：B
解析：设，则.当药物A的浓度为时，药物A经历了15个半衰期，故药物已被注射进小白鼠体内小时，设药物B的半衰期为t小时，则由题意可得，解得，所以药物B的半衰期为7.5小时.
7.答案：A
解析：由已知，设，则，
解得，所以，则由可得.故选A.
8.答案：C
解析：当时，由得即当时，由得，即综上，，则该试剂的药效持续时间约为.