4.5.3 函数模型的应用（教案）-高中数学人教A版（2019）必修第一册

第四章 指数函数与对数函数
4.5.3 函数模型的应用
教学设计
一、教学目标
1.会通过具体的函数模型分析实际问题.
2.能够对问题进行分析，建立合适的数学模型，并对不同数学模型的契合度进行比较，择优选择.
二、教学重难点
1.教学重点
根据图、表信息建立函数模型，解决实际问题.
2.教学难点
将实际问题抽象为数学问题，完成从文字语言、图表语言向符号语言的转化，并建立函数模型.
三、教学过程
（一）探究一：数学建模的主要步骤
常见的函数模型：
(1)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
(2) 二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(3) 指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0， b >0且b≠1)
(4) 对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
(5) 幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
(6)分段函数模型：这个模型实质上是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛。
建立函数模型解决问题的基本过程：
建立函数模型时,求解函数解析式的方法：
(1)待定系数法:已知条件中给出了含参数的函数解析式或根据已知条件可确定函数模型,此种情形下应用待定系数法求出函数解析式中的相关参数(未知系数)的值,就可以确定函数的解析式。
(2)归纳法:先让自变量x取一些特殊值,计算出相对应的函数值,从中发现规律,再推广到一般情形,从而得到函数的解析式。
(3)方程法:用x表示自变量或其他相关的量.根据问题的实际意义,运用已掌握的数学、物理等方面的知识,列出函数的解析式,此种方法形式上和列方程解应用题相仿,故称为方程法,实际上函数的解析式就是含x,y的二元方程。
（二）课堂练习
1.据统计，某地区1月、2月、3月的用工人数分别为0.2万、0.4万、0.76万，则该地区这三个月的用工人数y（万人）关于月数x的函数关系式近似是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：对于A，当时，，与0.76差距较大，故排除A；对于B，当时，，与0.76差距较大，故排除B；对于D，当时，，与0.76差距较大,故排除D.故选C.
2.通过测量知道,某电子元件每降低,某电子元件的电子数目就减少一半,已知在零下时,该电子元件的电子数目为3个,则在室温时.该元件的电子数目最接近( )
A.860个 B.1730个 C.3400个 D.3900个
答案：C
解析：由题设知，该电子元件在不同温度下的电子数目为等比数列，且，公比.由，,得.故选C.
3.纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数尺，可以利用对数尺查询出任意一对数值.现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过t分钟后物体的温度可由公式得出，如温度为90℃的物体，放在空气中冷却2.526分钟后，物体的温度是50℃，若根据对数尺可以查询出，则空气温度是( )
A.5℃ B.10℃ C.15℃ D.20℃
答案：B
解析：根据题意可得，
即，
根据可得，
解得，
则空气温度是.
故选B.
4.在新冠肺炎疫情初期，部分学者利用逻辑斯蒂增长模型预测某地区新冠肺炎患者数量（t的单位：天），逻辑斯蒂增长模型具体为，其中K为环境最大容量.当时，标志着已初步遏制疫情，则约为( )
A.63 B.65 C.66 D.69
答案：B
解析：本题考查指数函数模型的实际应用.由题知，，即，所以，解得.故选B.
（三）小结作业
小结：本节课学习了应用函数模型解决实际问题的方法与步骤。
作业：完成本节课习题。
板书设计
4.5.3函数模型的应用
建立函数模型解决问题的基本过程：