2021-2022学年数学人教A版（2019）必修第一册3.1.2函数的表示法强化训练

课时3.1.2函数的表示法
一、单选题
1．如果＝，则当x≠0，1时，f(x)等于（ ）
A． B． C． D．
2．购买某种饮料x听,所需钱数为y元,若每听2元,用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数为
A．y=2x
B．y=2x(x∈R)
C．y=2x(x∈{1,2,3,…})
D．y=2x(x∈{1,2,3,4})
3．函数f(x)＝的值域是（ ）
A．R B．[0，＋∞) C．[0，3] D．{x|0≤x≤2或x＝3}
4．已知函数，且，则等于（ ）
A． B．
C． D．
5．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（　　）
A． B．
C． D．
6．设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b＝
a∨b＝若正数a，b，c，d满足ab≥4，c＋d≤4，则(　　)
A．a∧b≥2，c∧d≤2 B．a∧b≥2，c∨d≥2
C．a∨b≥2，c∧d≤2 D．a∨b≥2，c∨d≥2
7．已知函数的对应关系如下表，函数的图象是如图的曲线，其中，，，则的值为（ ）
A．3 B．0 C．1 D．2
8．设函数在上有定义，对于任一给定的正数，定义函数，则称函数为的“界函数”，若给定函数，，则下列结论不成立的是
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列给出的式子是分段函数的是（ ）
A．f（x）＝ B．f（x）＝
C．f（x）＝ D．f（x）＝
10．设函数，若则实数a=（ ）
A．2 B．-2 C．4 D．-4
11．(多选)已知函数 则下列关于函数的结论正确的是（ ）
A．的值域为
B．
C．若，则的值是
D．的解集为
12．已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域为 B．的值域为
C． D．若，则x的值是
E.的解集为
三、填空题
13．已知且，则a的值为________．
14．已知f（x）＝，则的值等于________.
15．已知函数满足，则的解析式为________.
16．分段函数可表示为，分段函数可表示为，仿照上述式子，分段函数可表示为________.
四、解答题
17．设是上的函数，且满足，并且对任意实数，，有，求的解析式
18．若直线y=1与曲线y=x2－|x|+a有四个交点，求a的取值范围．
19．（1）已知，求的解析式．
（2）已知满足，求的解析式．
（3）已知，求的解析式．
20．如图，已知，，点P从B点沿直线BC运动到C点，过P做BC的垂线l，记直线l左侧部分的多边形为Ω，设，Ω的面积为，Ω的周长为．
（1）求和的解析式；
（2）记，求的最大值．
参考答案
1．B
【解析】令＝t，则x＝且，代入＝，
则有f(t)＝＝且，
即且.
故选：.
2．D
【解析】题中已给出自变量的取值范围,x∈{1,2,3,4},故选D.
3．D
【解析】当0≤x≤1时，f(x)∈[0，2]，当1∴值域是{x|0≤x≤2或x＝3}.
故选：D
4．A
【解析】，.
当时，，此时关于的方程无解；
当时，，由可得，解得.
综上所述，.
故选：A.
5．C
【解析】考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示的是离开学校的距离，由此知，此函数图象一定是下降的，由此排除A；
再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时间，故此时有一段函数图象与x轴平行，由此排除D，
之后为了赶时间加快速度行驶，此一段时间段内函数图象下降的比较快，由此可确定C正确，B不正确．
故选C．
6．C
【解析】不妨设a≤b，c≤d，则a∨b＝b，c∧d＝c.
若b<2，则a<2，∴ab<4，与ab≥4矛盾，∴b≥2.故a∨b≥2.
若c>2，则d>2，∴c＋d>4，与c＋d≤4矛盾，∴c≤2.故c∧d≤2.
本题选择C选项.
7．D
【解析】由图象可知，由表格可知，∴，故选D.
8．B
【解析】根据题意写成，的分段函数形式即，A.，，故A成立；B，，故B不成立；C：，，故C成立；D，，故D成立；所以只有B结论不正确，故选B.
9．AD
【解析】解：对于A：，定义域为，且，符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关系，故A正确；
对于B：，定义域为，但不满足函数的定义，如当时，和，故不是函数，故B错误；
对于C：，定义域为，且，且和，故不是函数，故C错误；
对于D：，定义域为，且，符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关系，故D正确；
故选：AD
10．AD
【解析】因为函数，且
所以或，解得a=-4或a=2.
故选：AD.
11．AC
【解析】当时，的取值范围是，当时，的取值范围是，因此的值域为，故A正确；
当时，，故B错误；
当时，由，解得(舍去)，当时，由，解得或(舍去)，故C正确；
当时，由，解得，当时，由，解得，因此的解集为，故D错误.
故选：AC.
12．BD
【解析】由题意知函数的定义域为，故A错误；
当时，的取值范围是，当时，的取值范围是，因此的值域为，故B正确；
当时，，故C错误；
当时，，解得（舍去），当时，，解得
或（舍去），故D正确；
当时，，解得，当时，，解得，因此的解集为；故E错误.
故选：BD.
13．
【解析】设，则，
因为，所以，即，
又因为，可得，解得.
故答案为：.
14．4
【解析】解析：∵>0，∴＝2×＝；∵－≤0，∴＝＝；
∵－≤0，∴＝＝；
∵>0，∴＝2×＝，∴＋＝＋＝4.
故答案为：4．
15．
【解析】，∴将x换成，得，
消去，得，即.
故答案为
16．
【解析】解析因为可表示为，其分界点为3，
从而式子中含有与，并通过前面的“-”构造出需要的结果的形式，
所以对于分段函数，其分界点为6，故式子中应含有与.
又时，故的前面应取“”.
因此，经检验符合题意.
故答案为：
17．
【解析】对任意实数，，，令，得，即又，∴
18．
【解析】如图，作出y=x2－|x|+a的图象，
若要使y=1与其有四个交点，则需满足，解得
19．（1） （或）；（2）；（3）.
【解析】（1）∵，且或，
∴ （或）．
（2）∵①，把①中的x换成，得2f()＋f(x)＝②， ①×2－②得3f(x)＝6x－，
∴．
（3）∵，用－x代x得：f(－x)＋2f(x)＝x2－2x，
两式联立得：.
20．（1）；（2）.
【解析】（1）作的高，，，
当，，所以，，，.
当，，所以，，；
（2）当，，最大值为.
当时，，
当且仅当时，有最大值，又，
故最大值为．