2021-2022学年数学人教A版（2019）必修第一册3.2.2 奇偶性 强化训练

课时3.2.2 奇偶性
一、单选题
1．下列函数为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数y=f(x)是偶函数，其图像与x轴有四个交点，则方程f(x)=0的所有实根之和是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
4．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的表达式是（ ）
A．y＝x(x－2) B．y＝x(|x|＋2)
C．y＝|x|(x－2) D．y＝x(|x|－2)
5．奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为8，最小值为-1，则的值为（ ）
A．-10 B．15 C．10 D．9
6．已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则
A．-3 B．-1 C．1 D．3
7．设f（x）是R上的偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，若x1＜0且x1+x2＞0，则（ ）
A．f（﹣x1）＞f（﹣x2） B．f（﹣x1）＝f（﹣x2）
C．f（﹣x1）＜f（﹣x2） D．f（﹣x1）与f（﹣x2）大小不确定
8．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．对于定义在R上的函数f（x），有下面选项正确的是（ ）
A．若f（x）是偶函数，则f（－2）＝f（2）；
B．若f（－2）＝f（2），则函数f（x）是偶函数；
C．若f（－2）≠f（2），则函数f（x）不是偶函数；
D．若f（－2）＝f（2），则函数f（x）不是奇函数.
10．下列判断不正确的是（ ）
A．函数f（x）=是奇函数
B．函数f（x）=是偶函数
C．函数f（x）=x+是非奇非偶函数
D．函数f（x）=1既是奇函数又是偶函数
11．对于函数，下列判断正确的是（ ）
A．
B．当时，方程总有实数解
C．函数的值域为
D．函数的单调区间为
12．函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．奇函数的定义域是(t，2t＋3)，则t＝________．
14．若函数为奇函数，则a等于________．
15．偶函数f（x）在（0，＋∞）内的最小值为2 020，则f（x）在（－∞，0）上的最小值为________.
16．若f(x)=(m－1)x2+6mx+2是偶函数,则f(0)、f(1)、f(－2)从小到大的顺序是_________.
四、解答题
17．已知函数对一切都有．
（1）求证：是奇函数；
（2）设，用表示．
18．已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x>0时，f（x）=x22x.
（1）求f（2）；
（2）求出函数f（x）在R上的解析式；
（3）在坐标系中画出函数f（x）的图象.
19．设为实常数，是定义在上的奇函数，当时，．
（1）当时，求函数的解析式；
（2）若时，都有，求的取值范围．
20．函数对任意，，总有，当时，，且．
（1）证明是奇函数；
（2）证明在上是单调递增函数；
（3）若，求实数的取值范围．
参考答案
1．C
【解析】A．，则为偶函数．
B．，，则且，则为非奇非偶函数．
C．，且定义域对称，则为奇函数．
D．，则为偶函数，
故选：C
2．B
【解析】选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；
选项C、D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；
选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数.
故选：B
3．D
【解析】偶函数图像关于y轴对称，所以与x轴四个交点横坐标，两两关于y轴对称，即两两之和为零，所有实根之和为零，选D.
4．D
【解析】由x≥0时，f(x)＝x2－2x，f(x)是定义在上的奇函数得，
当x<0时，－x>0，
f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x)＝x(－x－2)．
∴f(x)＝
即f(x)＝x(|x|－2)．
故选：.
5．D
【解析】解：在区间上是增函数，在区间上的最大值为8，最小值为-1，即，又为奇函数，所以，所以.
故选：D.
6．C
【解析】由题意得：，
又因为，分别是定义在上的偶函数和奇函数，所以，
故选：C．
7．A
【解析】是R上的偶函数，且在上是减函数
故在上是增函数
因为且，故；
所以有，又因为
所以有
故选：A.
8．A
【解析】当时，恒成立，
所以在为增函数.
又因为是偶函数，所以，
即，所以，即.
故选：A
9．AC
【解析】若f（x）是偶函数，则f（－x）＝f（x），所以f(－2)＝f（2）；A正确；
仅两个特殊的函数值相等不足以确定函数的奇偶性，需要满足“任意”，B错误；
A为C逆否命题，所以C正确；
反例：奇函数f（x）＝满足条件f(－2)＝f（2），D错误,
故选：AC.
10．ABD
【解析】A中函数的定义域为{x|x≠2}，不关于原点对称，故f（x）不是奇函数，故A错误；
B中函数的定义域为{x|x≠-1}，不关于原点对称，故f（x）不是偶函数，故B错误；
C中函数的定义域为{x|x≤-1，或x≥1}，
f（-x）=-x+≠f（x），f（-x）=-x+≠-f（x），
故f（x）是非奇非偶函数，故C正确；
D中函数是偶函数，但不是奇函数，故D错误.
故选：ABD.
11．AB
【解析】，故A正确；
因为，
所以，
的值域为，因此当时，方程总有实数解，
故B正确；故C错误；
，
所以在单调递增；由于与知为奇函数，
所以函数在也单调递增，且在时连续，故的单调增区间为 ，故D错误；
故选：AB．
12．ABC
【解析】由题可知，函数，
若时，则，定义域为：，选项C可能；
若，取时，则函数定义域为，且是奇函数；时函数可化为 选项B可能；
若时，如取，，定义域为：且是奇函数，选项A可能，
故不可能是选项D，
故选：
13．－1
【解析】由于奇函数的定义域关于原点对称，
所以t＋2t＋3＝0，
解得t＝－1．
故答案为：
14．
【解析】由题得，
所以且，
又为奇函数，定义域应关于原点对称，
∴a＝，此时，
为奇函数．
故答案为：
15．2020
【解析】由于偶函数的图象关于y轴对称，所以f（x）在对称区间内的最值相等.
又当x∈（0，＋∞）时，f（x）最小值＝2 020，故当x∈（－∞，0）时，f（x）最小值＝2 020.
故答案为：2020
16．f(－2)【解析】f（x）=（m-1）x2+6mx+2若为偶函数，则表达式中显然不能含有一次项6mx，故m=0．再根据二次函数进行讨论它的单调性即可比较f（0），f（1），f（-2）大小解：（1）若m=1，则函数f（x）=6x+2，
则f（-x）=-6x+2≠f（x），此时函数不是偶函数，所以m≠1，（2）若m≠1，且函数f（x）=（m-1）x2+6mx+2是偶函数，则 一次项6mx=0恒成立，则 m=0，因此，函数为 f（x）=-x2+2，此函数图象是开口向下，以y轴为对称轴二次函数图象由其单调性得：f（-2）＜f（1）＜f（0）故答案为f(－2)17．（1）证明见解析；（2）．
【解析】(1)证明:显然的定义域是R，关于原点对称.
又函数对一切都有,
所以令，得.
再令，得，所以，
所以函数为奇函数.
(2)因为，且函数为奇函数，所以，
又，,
所以.
故.
18．（1）0；（2）；（3）图象见解析.
【解析】由于函数f（x）是定义在（∞，+∞）内的奇函数，因此对于任意的x都有f（x）=f（x）.
（1）f（2）=f（2）；又f（2）=222×2=0，故f（2）=0.
（2）①因为函数f（x）是定义域为R的奇函数，所以f（0）=0；
②当x<0时，x>0，由f（x）是奇函数，知f（x）=f（x）.
则f（x）=f（x）= [（x）22（x）]= x22x.
综上，
（3）图象如下：
19．（1）；（2）
【解析】（1）是定义在上的奇函数，当时，．
当时，，则，整理得，
所以时，；
（2）由（1）知，当时，．
所以在 上恒成立，
化简为在上恒成立
设，所以其对称轴为：
当时，即时，上述不等式恒成立问题转化为 ，解得；
当时，即时，上述不等式恒成立问题转化为 ，
解得或
所以的取值范围为：.
20．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【解析】（1）令，则，解得，
令，则，即，即，
易知的定义域为，关于原点对称，所以函数是奇函数；
（2）任取，，且，则，
因为当时，，所以，
则，即，所以函数是上的增函数；
（3）由，得，，又由是奇函数得.
由，得，因为函数是上的增函数，解得，故实数的取值范围为．