2021-2022学年数学人教A版（2019）必修第一册4.4.2 对数函数的图像与性质 强化训练

4.4.2 对数函数的图像与性质 强化训练
一、单选题
1．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝ln(x＋1)，则函数f(x)的图象为（ ）
A． B． C． D．
2．若点在函数的图象上，则下列点中，不在函数图象上的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若函数（且）过定点，且在定义域上是减函数，则的图象是
A．B．C．D．
4．若，则的取值范围是
A． B． C． D．
5．已知，，，则（ ）．
A． B． C． D．
6．函数在上递减，那么在上．
A．递增且无最大值 B．递减且无最小值
C．递增且有最大值 D．递减且有最小值
7．若函数（且）在上既是奇函数，又是增函数，则的图象是（ ）
A．B．C．D．
8．给出下列四个命题:
①函数的图象过定点;
②已知函数是定义在上的奇函数，当时，．若，则实数或;
③若，则的取值范围是:
④对于函数，其定义域内任意，都满足
其中所有正确命题的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、多选题
9．已知函数f(x)＝，关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值是（ ）
A．-1 B．0 C．2 D．3
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的图象与x轴有两个交点
C．函数的最小值为
D．函数的最大值为4
E.函数的图象关于直线对称
11．关于函数，有下列结论，其中正确的是（ ）
A．其图象关于y轴对称；
B．的最小值是；
C．当时，是增函数；当时，是减函数；
D．的增区间是，；
12．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．若，则或
D．若方程有两个不同的实数根，则
三、填空题
13．函数的单调递减区间是________．
14．已知函数f(x)＝为奇函数，则实数a的值为________．
15．若f(x)＝lg x，g(x)＝f(|x|)，则g(lg x)>g(1)，x的取值范围是________．
16．已知函数（，且）在上是减函数，则实数a的取值范围是________．
四、解答题
17．设定义域均为的两个函数f(x)和g(x)，其解析式分别为和．
（1）求函数y＝f(x)的值域；
（2）求函数G(x)＝f(x)·g(x)的值域．
18．已知函数，函数的图像与函数的图像关于原点对称.
（1）写出函数的解析式；
（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（3）若时，总有成立，求实数的取值范围.
19．已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，求y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值，及y取最大值时x的值．
20．是否存在实数a，使函数在区间上是增函数？如果存在，求出a的取值范围；如果不存在，请说明理由．
参考答案
1．D
【解析】由f(x)是R上的奇函数，即函数图象关于原点对称，排除A、B．又x＞0时f(x)＝ln(x＋1)，排除C.
故选：D．
2．B
【解析】因为点在的图象上，所以，
所以，，，
故选：B．
3．A
【解析】根据题意可以知道,计算得出,所以,又因为是减函数,所以.此时也是单调减的,且过点.所以A选项是正确的符合题意.所以A选项是正确的.
4．B
【解析】，则满足： 解得
故选
5．C
【解析】试题分析：因为所以选C．
6．A
【解析】设，
是的递减区间，且函数在上递减，
则，
是的递增区间，
在上递增且无最大值
故选
7．B
【解析】∵函数(a>0,a≠1)在R上是奇函数，
∴f(0)=0，∴k=2，
经检验k=2满足题意，
又函数为增函数，
所以，
所以g(x)=loga(x+2)
定义域为x> 2，且单调递增，
故选：B.
8．B
【解析】解：①函数，则，故①错误；
②因为当时， ，且，所以由函数f（x）是定义在R上的奇函数得，故②错误；
③若，可得，故③正确；
④对于函数
当且仅当取得等号，其定义域内任意都满足，故④正确．
故选：B．
9．CD
【解析】方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知，当时有两个交点，当a>1时有且只有一个交点.
故选：CD.
10．ABC
【解析】A正确，；
B正确，令，得，
解得或，即的图象与x有两个交点；
C正确，因为，所以当，
即时，取最小值；
D错误，没有最大值；
E错误，取，则.
故选：ABC.
11．ABD
【解析】，是偶函数，选项A正确；
令，在上是单调递增，
，所以的最小值为，选项B正确；
当时，，根据对勾函数可得，
单调递减区间是，单调递增区间是，
在上是单调递增，
所以在单调递减，在单调递增，选项C错误；
根据偶函数的对称性，在单调递减，在单调递增，
的增区间是，，选项D正确.
故选:ABD.
12．BC
【解析】对于A：由，得或，
解得或，故A错误；
对于B：，
因为，
所以，故B正确；
对于C：由，得或解得或，故C正确；
对于D：做出的图像，如下图所示：
又，结合图像可得有两个不同的实数根，即图像与图像有两个交点，所以，故D错误.
故选：BC
13．
【解析】由得，因此函数的定义域为．
，
设，又是增函数，
在上是减函数，
因此的单调递减区间为．
故答案为：
14．1
【解析】由奇函数得f(x)＝－f(－x)，
log2＝－log2，＝，a2＝1，
因为a≠－1，所以a＝1.
15．∪(10，＋∞)
【解析】因为g(lg x)>g(1)，所以f(|lg x|)>f(1)，由f(x)为增函数得|lg x|>1，从而lg x>1或lg x<－1.解得010.
16．
【解析】令，则，因为，所以递减，
由题意知在内递增，所以．又在上恒大于0，所以，即．
综上，实数a的取值范围是：．
故答案为：.
17．（1）；（2）．
【解析】解：（1）因为在上是增函数，
所以，即．
故，
即函数的值域为．
（2）
，
令，，，
则，，
故当时，取最小值，最小值为；
当时，取最大值，最大值为1．
所以函数的值域为．
18．（1），；（2）函数为偶函数，理由详见解析；（3）.
【解析】（1）∵函数的图像与的图像关于原点对称，
∴，即，.
（2）函数是偶函数.理由如下：
记，即，.
∵，∴函数为偶函数，即函数为偶函数.
（3）记，.
由题知恒成立，∴.
令，
∵，，∴单调递减，∴，
∴，即实数的取值范围是.
19．当x＝3时，函数y＝[f(x)]2＋f(x2)取得最大值13.
【解析】试题分析：先求f(x)值域得函数定义域，再根据二次函数对称轴与定义区间位置关系得最大值
试题解析：∵f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，
∴y＝[f(x)]2＋f(x2)
＝(2＋log3x)2＋(2＋log3x2)
＝(log3x)2＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3.
∵函数f(x)的定义域为[1,9]，
∴要使函数y＝[f(x)]2＋f(x2)有意义，必须满足∴1≤x≤3.
令u＝log3x，则0≤u≤1.
又∵函数y＝(u＋3)2－3在[－3，＋∞)上是增函数，
∴当u＝1，即x＝3时，函数y＝(u＋3)2－3取得最大值13.
故当x＝3时，函数y＝[f(x)]2＋f(x2)取得最大值13.
20．存在，．
【解析】存在．设，则．假设符合条件的a值存在．
（1）当时，只需在上为增函数，故应满足，解得．∴．
（2）当时，只需在上为减函数，故应满足此时无解．
综上所述，当时，函数在上是增函数．