2021-2022学年数学人教A版（2019）必修第一册4.5 函数的应用（二） 强化训练

4.5 函数的应用（二） 强化训练
一、单选题
1．y=2x-1的图象与x轴的交点坐标及其零点分别是（ ）
A．， B．，
C．，- D．，-
2．下列函数不宜用二分法求零点的是（ ）
A．f(x)＝x3－1 B．f(x)＝lnx＋3
C．f(x)＝x2＋2x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x－1
3．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1，1.5)内的近似解的过程中，有f（1）<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则该方程的根所在的区间为（ ）
A．(1，1.25) B．(1.25，1.5)
C．(1.5，2) D．不能确定
4．若函数在上的图象为一条连续不断的曲线，且同时满足，，则（ ）
A．在上有零点 B．在上有零点
C．在上无零点 D．在上无零点
5．函数满足，则在（1，2）上的零点（ ）
A．至多有一个 B．有1个或2个
C．有且仅有一个 D．一个也没有
6．已知函数，若关于方程有两不等实数根，则的取值范围
A．（0，） B．（） C．（1，） D．0,1
7．设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称和在上是关联函数，称为关联区间，若与在上是关联函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求.音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为的声波，其音量的大小可由如下公式计算：（其中是人耳能听到声音的最低声波强度），则70 dB的声音的声波强度是60 dB的声音的声波强度的（ ）
A．倍 B．倍 C．10倍 D．倍
二、多选题
9．已知关于x的方程，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，方程的两个实数根之和为0 B．方程无实数根的一个必要条件是
C．方程有两个正根的充要条件是 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是
10．甲乙两人同时各接受了600个零件的加工任务，甲比乙每分钟加工的数量多，两人同时开始加工，加工过程中甲因故障停止一会后又继续按原速加工，直到他们完成任务．如图表示甲比乙多加工的零件数量（个）与加工时间（分）之间的函数关系，点横坐标为12，点坐标为点横坐标为128．则下面说法中正确的是（ ）
A．甲每分钟加工的零件数量是5个 B．在60分钟时，甲比乙多加工了120个零件
C．点的横坐标是200 D．的最大值是216
11．关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，，
B．若，则
C．当时，则
D．的零点是和
12．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=x2-200x+80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.以下判断正确的是（ ）
A．该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低
B．该单位每月最低可获利20000元
C．该单位每月不获利，也不亏损
D．每月需要国家至少补贴40000元才能使该单位不亏损
三、填空题
13．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2，4]上的近似零点(精确度为0.01)，验证f(2)·f(4)<0，取区间[2，4]的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间是________.
14．若，且，则函数的零点的个数是_________．
15．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过，那么这个人至少经过________小时才能开车.（精确到1小时，参考数据：）
16．已知函数，若关于的方程恰有两个不同实根，则实数的取值范围是_______
四、解答题
17．汽车驾驶员发现前方有障碍物时会紧急刹车，这一过程中，由于人的反应需要时间，汽车在惯性的作用下有一个刹车距离，设停车安全距离为S，驾驶员反应时间内汽车所行距离为S1，刹车距离为S2，则S＝S1＋S2.而S1与反应时间t有关，S1＝10ln(t＋1)，S2与车速v有关，S2＝bv2.某人刹车反应时间为－1秒，当车速为60 km/h时，紧急刹车后滑行的距离为20米，若在限速100 km/h的高速公路上，则该汽车的安全距离为多少米？(精确到米)
18．已知函数
（1）证明方程在区间内有实数解；
（2）使用二分法，取区间的中点三次，指出方程，的实数解在哪个较小的区间内．
19．已知函数.
（1）用单调性的定义证明在定义域上是单调函数；
（2）证明有零点；
（3）设的零点落在区间内，求正整数.
20．已知关于的方程.
（1）求证：不论为何值，方程必有实数根；
（2）当为整数时，方程是否有有理根？若有，求出的值；若没有，请说明理由.
参考答案
1．B
【解析】在y=2x-1中，令，得，所以交点坐标为：，零点为：，
故选：B
2．C
【解析】对于A，存在区间，使得，所以 A宜用；
对于B ，存在区间，使得，所以B宜用；
对于C，，不存在区间，使得，所以C不宜用；
对于D，存在区间，使得，所以D宜用．
故选：C．
3．B
【解析】∵f(1.25)·f(1.5)<0，且f(x)是单调增函数，∴该方程的根所在的区间为(1.25，1.5)．
故选：B.
4．B
【解析】因为，,
所以,即,
因为,
所以，
根据函数零点存在定理可知在上有零点，
故选B.
5．C
【解析】若，则是一次函数，由，
，可得其在（1，2）上只有一个零点.
若，则是二次函数，由，
则在上必有零点.
若在上有两个零点，
则必有，与已知矛盾.
故在上有且只有一个零点.
综上所述，则在上的零点有且仅有一个.
故选：C.
6．D
【解析】作出函数和的图象，如图所示
由图可知当方程有两不等实数根时，
则实数的取值范围是0,1
故选
7．B
【解析】∵与在上是“关联函数”，故函数在上有两个不同的零点，
故有∴∴
故选：B
8．C
【解析】由得，所以，，所以，所以70 dB的声音的声波强度是60 dB的声音的声波强度的10倍.
故选：C
9．BCD
【解析】对于选项A，方程为，方程没有实数根，所以选项A错误；
对于选项B，如果方程没有实数根，则所以，是的必要条件，所以选项B正确；
对于选项C，如果方程有两个正根，则所以，所以方程有两个正根的充要条件是，所以选项C正确；
对于选项D，如果方程有一个正根和一个负根，则所以，所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是，所以选项D正确.
故选：BCD
10．ACD
【解析】根据题意，甲一共加工的时间为分钟，
一共加工了600个零件，则甲每分钟加工的数量是，所以选项A正确，
设的坐标为，
在区间和，20 上，都是乙在加工，则直线和的斜率相等，
则有，
在区间和上，甲乙同时加工，同理可得，
则，
则有，解可得；
即点的坐标是，所以选项C正确；
由题得乙每分钟加工的零件数为个，
所以甲每分钟比乙多加工5-3=2个，
在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20）个零件，所以选项B错误；
当时，，所以的最大值是216.所以选项D正确.
故选：ACD
11．ABD
【解析】A选项，当时，原不等式可化为，解得，所以，；A正确；
B选项，设，所以；
因为不等式的解集为，，即不等式有解，所以必有，B正确；
C选项，令，当时，可由函数向上平移个单位得到；又的零点为和；函数的零点为和；所以；C错；
D选项，由C选项可知，，
所以，令可得或，即的零点是和.故D正确.
故选：ABD.
12．AD
【解析】由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为，
当且仅当，即时等号成立，
故该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元，故A正确；
设该单位每月获利为S元，
则，
因为，
所以.
故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损，故D正确，BC错误，
故选：AD
13．(2，3)
【解析】解：由题意可知：对于函数在区间，上，
有，
利用函数的零点存在性定理，所以函数在上有零点．
取区间的中点，计算得，
利用函数的零点存在性定理，函数在上有零点．
故答案为：．
14．0
【解析】由可知函数f(x)为二次函数，
，
所以零点的个数为0个.
故答案为0.
15．5
【解析】设小时后才能开车,则有,即,两边取对数有,因为故.代入可得.故最小为5.
故答案为：5.
16．
【解析】若关于的方程恰有两个不同实根，
则函数与的图象恰有两个不同的交点，
作出的图象如图：
当时，，所以
当时，，
当时，，
当时，，此时最大值为，
由图知：当或时函数与的图象恰有两个不同的交点，
所以实数的取值范围是，
故答案为：.
17．61(米)．
【解析】解：因为刹车反应时间为－1秒，
所以S1＝10ln(－1＋1)＝10ln＝5，
当车速为60 km/h时，紧急刹车后滑行的距离为20米，则S2＝b·(60)2＝20，
解得b＝，即S2＝v2.
若v＝100，则S2＝×1002≈56，S1＝5，
所以该汽车的安全距离S＝S1＋S2＝5＋56＝61(米)．
18．（1）证明见解析；（2）.
【解析】解：（1），
，
由函数的零点存在性定理可得方程在区间内有实数解；
（2）取，得
由此可得，下一个有解区间为
再取，得
，下一个有解区间为
再取，得
，下一个有解区间为，
综上所述，得所求的实数解在区间，．
19．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)10.
【解析】（1）显然的定义为
设，则
，
∵
∴
故在定义域上是减函数.
（2）因为，
所以，
又因为在区间上连续不断，
所以有零点.
（3）
所以
所以的零点在区间内
故.
20．（1）见解析；（2）当为整数时，关于的方程没有有理根. 理由见解析.
【解析】（1）证明：当，即时，原方程为，
此方程为一元一次方程，其根为；
当，即时，
∴当时，原方程必有两个不相等的实数根，
综上所述，不论为何值，方程必有实数根；
（2）解：当为整数时，关于的方程没有有理根.
理由如下：
①当时，（不合题意舍去）；
②当且为整数时，假设关于的方程有有理根.
则要为完全平方数，设（为整数），
即（为整数），所以有，
∵与的奇偶性相同，并且、都是整数，
∴或，
解得（不合题意舍去）.
综上所述，当为整数时，关于的方程没有有理根.