西藏拉萨市第二高级中学2021-2022学年高三上学期第一次月考(A)数学（文）试卷（word版含答案）

文 科 数 学 （A）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．不等式成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
3．设函数，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
4．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．若，满足约束条件，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
8．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
9．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点（点N与点C不重合），设，，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．已知实数，满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，三棱台中，，，，，平面平面ABC，则该三棱台外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知a为实数，若复数为纯虚数，则________．
14．函数的图象在处的切线方程为___________．
15．已知F1，F2是椭圆的焦点，P在椭圆上，且，则点P到x轴的距离为__________．
16．函数，关于x的方程恰有四个不同实数根，则实数m的取值范围为__________．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知数列的前项和为，且，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
18．（12分）奶茶是年轻人非常喜欢的饮品．某机构对于奶茶的消费情况在一商圈附近做了一些调查，发现女性喜欢奶茶的人数明显高于男性，每月喝奶茶的次数也比男性高，但单次奶茶消费金额男性似乎明显高于女性．针对每月奶茶消费是否超过百元进行调查，已知在调查的200人中女性人数是男性人数的4倍，统计如下：
超过百元 未超过百元 合计
男 8
女 144
合计 200
（1）完成如上列联表，并说明是否有90%的把握认为月消费奶茶超过百元与性别有关？
（2）在月消费超百元的调查者中，同时进行对于品牌喜好的调查．发现喜欢A品牌的男女均为3人，现从喜欢A品牌的这6人中抽取2人送纪念品，求这两人恰好都是女性的概率．
19．（12分）如图，四棱锥的底面是菱形，，底面，，分别是，的中点，为上一点，且．
（1）证明：平面；
（2）若，三棱锥的体积为，求．
20．（12分）已知双曲线上的点到焦点的距离为．
（1）求双曲线的方程；
（2）设纵截距为的直线与抛物线交于，两个不同的点，若，求直线的方程．
21．（12分）设函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若在定义域内存在两实数，满足且，证明：．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．在极坐标系（与直角坐标系取相同的单位长度，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的极坐标方程为．
（1）求圆的直角坐标方程；
（2）设圆与直线交于点，，若点的坐标为，求．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求实数a的取值范围．
文 科 数 学 （A）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
2．不等式成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
3．设函数，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
4．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
5．若，满足约束条件，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
6．在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
7．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
8．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
9．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
10．如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点（点N与点C不重合），设，，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
11．已知实数，满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
12．如图，三棱台中，，，，，平面平面ABC，则该三棱台外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知a为实数，若复数为纯虚数，则________．
【答案】
14．函数的图象在处的切线方程为___________．
【答案】
15．已知F1，F2是椭圆的焦点，P在椭圆上，且，则点P到x轴的距离为__________．
【答案】
16．函数，关于x的方程恰有四个不同实数根，则实数m的取值范围为__________．
【答案】
三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知数列的前项和为，且，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意知，①
当时，，②
①-②得，即，
又，得，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以．
（2），
，，
上述两式相减，得，
所以．
18．（12分）奶茶是年轻人非常喜欢的饮品．某机构对于奶茶的消费情况在一商圈附近做了一些调查，发现女性喜欢奶茶的人数明显高于男性，每月喝奶茶的次数也比男性高，但单次奶茶消费金额男性似乎明显高于女性．针对每月奶茶消费是否超过百元进行调查，已知在调查的200人中女性人数是男性人数的4倍，统计如下：
超过百元 未超过百元 合计
男 8
女 144
合计 200
（1）完成如上列联表，并说明是否有90%的把握认为月消费奶茶超过百元与性别有关？
（2）在月消费超百元的调查者中，同时进行对于品牌喜好的调查．发现喜欢A品牌的男女均为3人，现从喜欢A品牌的这6人中抽取2人送纪念品，求这两人恰好都是女性的概率．
【答案】（1）表格见解析，有；（2）．
【解析】（1）设男性每月奶茶消费未超过百元的人数为x，则，
∴，
超过百元 未超过百元 合计
男 8 32 40
女 16 144 160
合计 24 176 200
，
因此，有的把握认为月消费奶茶超过百元与性别有关．
（2）设喜欢A品牌的女性为、、，男性为、、，
从喜欢A品牌的这6人中抽取2人送纪念品，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共15种，
设“这两人恰好都是女性”为事件M，则事件M包含的基本事件有：、、，共3种，
∴，
因此，抽取的这两人恰好都是女性的概率为．
19．（12分）如图，四棱锥的底面是菱形，，底面，，分别是，的中点，为上一点，且．
（1）证明：平面；
（2）若，三棱锥的体积为，求．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）连接，，与、分别交于，，连接，
因为为的中位线，所以．
又底面为菱形，所以．
因为，所以，
从而，所以，
又平面，平面，故平面．
（2）解：由（1）可知的面积为的面积的，即，
又知，则．
由底面，且可知，顶点到底面的距离，
则，
由三棱锥的体积为，得，解得，
因为底面，
所以，于是．
20．（12分）已知双曲线上的点到焦点的距离为．
（1）求双曲线的方程；
（2）设纵截距为的直线与抛物线交于，两个不同的点，若，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题设知，抛物线的准线方程为，
由点到焦点的距离为，得，解得，
所以抛物线的标准方程为．
（2）设，，
显然直线的斜率存在，故设直线的方程为，
联立，消去得，
由得，即．
所以，．
又因为，，所以，
所以，
即，解得，满足，
所以直线的方程为．
21．（12分）设函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若在定义域内存在两实数，满足且，证明：．
【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）依题意，函数定义域为，，
当时，，在上单调递增，
当时，由，得．
当时，；当时，，
于是得在上单调递增，在上单调递减，
所以，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）当时，，
由（1）知在上单调递增，在上单调递减，
因实数，满足且，于是得，
当时，
令
，
，即在上单调递增，，，即，
而，于是得，显然，
又在上单调递减，
因此，，即，
所以．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．在极坐标系（与直角坐标系取相同的单位长度，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的极坐标方程为．
（1）求圆的直角坐标方程；
（2）设圆与直线交于点，，若点的坐标为，求．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意得圆的直角坐标方程为．
（2）设点，对应的参数分别为，，
将，代入，整理得，则，
又点在直线上，
所以．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，，
所以等价于① 或② 或③
解①得；解②得；解③得，
所以，原不等式的解集为．
（2）由（1），几何意义可知，，
故，即，
当时，解得，故；
当时，解得，故，
综合上述，实数a的取值范围是．