山东省潍坊第四中学2021-2022学年高二上学期10月过程检测数学试题（Word版含答案）

潍坊第四中学2021—2022学年度高二过程性检测
数学试题
一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知a=(-3,2,5),b=(1,m,3)若a⊥b,则常数m=（ ）
A.-6 B.6 C.-9 D.9
2. 若向量与向量共线，则（ ）
A. B. C. D. 1
3.已知两条不同的直线和两个不同的平面，则：
（1）若，则； （2）空间中，三点确定一个平面；
（3）若，则； （4）若且，则.
以上假命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4. 正方体中，P，Q，R分别是AB、AD、 的中点，那么正方体的过P、Q、R的截面图形是（ ）。
A、三角形； B、四边形； C、五边形； D、六边形
5 .已知棱长为1的正方体中，，分别为，的中点；则异面直线与所成的角为（ ）
A. B. C. D.
6．正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
7.已知点，，，又点在平面内，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8．如图，三棱柱中，侧棱垂直于底面，底面三角形是正三角形，E是的中点.由以下论断：
①与是异面直线； ②平面；
③与为异面直线，且； ④平面．
则这些论断正确的序号是（ ）
A．③ B．③④ C．①②③ D．②③④
二．多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的的0分.
9. 若，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
10.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ）
A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则
C．直线的方向向量，平面的法向量是，则
D．直线的方向向量，平面的法向量是，则
11.如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（ ）
A. B.
C. D.
12.如图，在菱形中，，，将 沿对角线翻折到位置，连结，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A. 与平面BCD所成的最大角为
B. 存在某个位置，使得
C. 当二面角的大小为时，
D. 存在某个位置，使得到平面的距离为
三．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）
13. 在空间直角坐标系中，点在平面上的射影为点，在平面上的射影为点，则__________．
14.如图，点为所在平面外一点，点为的中点，若与同时成立，则实数的值为______．
15.如图，在正方体中，点为线段上的动点，分别为棱的中点，若平面，则_______．
16．在棱长为1的正方体中，为的中点，，是正方体表面上相异两点，满足，.若均在平面内，则与的位置关系是________，的最小值为________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17. （10分）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，.
（1）试用向量，，表示向量；
（2） 若，，，求的值.
18.如图，已知直三棱柱 ，在底面 中，，，棱 ，， 分别是 ， 的中点．
(1) 求 的模；
(2) 求 的值；
(3) 求证：．
19．(12分)如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠ABC＝，D是棱AC的中点，且AB＝BC＝BB1＝2．
(1) 求证：AB1∥平面BC1D；
(2)求异面直线AB1与BC1所成的角．
20. (12分)如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.
21．(12分)在①平面平面，②，③平面这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.
如图，在四棱锥中，底面是梯形，点在上，，，，，且______.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
22. (12分)如图，几何体为圆柱的一半，四边形为圆柱的轴截面，点为圆弧上异于，的点，点为线段上的动点.
（1）求证：；
（2）若，，，且直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
2021—2022学年度高二过程性检测
数学答案
一．单选择（每个5分）
1~5 A B CDC 6~8 CBA
二．多选题（每个5分，选不全得2分，选错得0分）
9. ABC 10. AB 11. BC 12. BC
三．填空题（每个5分）
13. 14. 15. 16. 平行
四．解答题
17.(10分)（1），
故
∵点E为AD的中点，
故。。。。。。。。。。。。。5分
（2）由题意得
故
故
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分
18. (12分) (1) 如图，以点 作为坐标原点 ，，， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系．
由题意得 ，，
所以 ．
(2) 由题意得 ，，，，
所以 ，，
，，，
所以 ．
(3) 由题意得 ，，
，，
所以 ，
所以 ，即 ．
19．(12分) (1)证明：如图，连接B1C交BC1于点O，连接OD．
因为O为B1C的中点，D为AC的中点，所以OD∥AB1．
因为AB1 平面BC1D，OD 平面BC1D，
所以AB1∥平面BC1D．.。。。。。。。。。。5分
(2)建立如图所示的空间直角坐标系B xyz，
则B(0,0,0)，A(0,2,0)，C1(2,0,2)，B1(0,0,2)，
因此＝(0，－2,2)，＝(2,0,2)．
所以cos〈，〉＝＝＝，
设异面直线AB1与BC1所成的角为θ，则cos θ＝，由于θ∈，故θ＝．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分
20. (12分)（1）因为AB=AD,O为BD中点，所以AO⊥BD
因为平面ABD平面BCD,平面ABD⊥平面BCD，平面ABD，
因此AO⊥平面BCD，
因为平面BCD，所以AO⊥CD。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分
(2)作EF⊥BD于F, 作FM⊥BC于M,连EM
因为AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD, AO⊥CD
所以EF⊥BD, EF⊥CD, ,因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC
因为FM⊥BC，,所以BC⊥平面EFM，即BC⊥ME
则为二面角E-BC-D的平面角,
因为,为正三角形,所以为直角三角形
因为,
从而EF=FM=
平面BCD,
所以
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分
21. (12分)方案一：选条件①.
（1）∵平面平面，平面平面，平面，，
∴平面.
又，∴，，两两垂直.
以A为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
∴，，.
∵，，
∴，.
又，∴平面.
又平面，∴平面平面.
（2）由（1）可得平面的一个法向量为，
又，
设直线与平面所成角为，
则.
方案二：选条件②.
（1）∵底面为梯形，，∴两腰，必相交.
又，，，平面，
∴平面.
又，∴，，两两垂直.
以A为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
∴，，.
∵，，
∴，.
又，∴平面.
又平面，∴平面平面.
（2）由（1）可得平面的一个法向量为，
又，
设直线与平面所成角为，
则.
方案三：选条件③.
（1）∵平面，平面，∴.
又，，平面，，
∴平面.
又，∴，，两两垂直.
以A为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
∴，，.
∵，，
∴，.
又，∴平面.
又平面，∴平面平面
（2）由（1）可得平面的一个法向量为，
又，
设直线与平面所成角为，
则.
22. (12分)（1）证明：四边形是圆柱的轴截面，
是圆柱底面圆的直径，，
是圆柱的母线，
平面，，
又，
平面，又平面，
．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分
（2），，，
，，
以为原点，以，及平面的过点的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，0，，，1，，，0，，，0，，，1，，
，1，，，，，，1，，，1，，
设，，，则，，，，
设平面的法向量为，，，则，即，
令可得，3，，
，，
直线与平面所成角的正弦值为，
，解得，
，3，，
由（1）可知平面，
，0，为平面的法向量，
，，
平面与平面所成锐二面角的余弦值为．。。。。。。。。。。。。。。。。。12分