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《平方差公式》教学反思
根据我校学生的具体情况，我先由一个可以简便计算的题目引入，提起学生的学生兴趣，并留下悬念，再由四个特殊的二项式乘以二项式再次引入，这样既复习了前面多项式乘以多项式，又引出平方差公式，不但发挥其承上启下的作用，同时也符合我校学生学习的实际情况。在例题的选择上，与教材提供的有所不同，在层次的设置上我分的较为详细，形式由可以直接应用平方差公式到非标准式，进行变式练习，并指出应用平方差公式的关键是正确找到“这两个数”，活动3第一小题的设置目的有两个：（1）继续巩固新学的平方差公式；（2）让学生在认知冲突中能更加深刻地认识能够应用平方差公式的特点是：一项相同，另一项互为相反数；最后通过练习再次巩固公式的掌握。
在后来的评课中，科组的老师有提出：平方差公式的引入部分能否不要直接让学生计算(a+b)(a-b)得到平方差公式，而是通过对实际问题中几何面积的计算才引入，把本课中的“用面积说明公式” 的情景作为引入的情景。这个想法不失为一种好方法。
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《平方差公式》课堂练习
一．计算下列各题，你能发现什么规律？
(1) =_________； (2) =__________；
(3) =___________； (4) ___________。
规律：=___________
二．运用巩固：
㈠练习活动：
1.下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是( ):
①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥.
2.利用平方差公式计算：
(1); (2); (3)。
㈡练习：
1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
(1) ； (2) 。
2.根据公式计算.
(1)； (2)； (3)； ⑷；
(5) ⑹
三．综合拓展
1．计算下列各式 :①； ②
2．填空：
⑴==；
⑵==；
⑶==；
⑷==；
⑸==。
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《平方差公式》教学建议
从多项式乘法到乘法公式是从一般到特殊的认识过程的范例，对它的学习和研究，丰富了教学内容，也拓宽了学生的视野。平方差公式的应用十分广泛，是本章的重点内容之一。教学时，要注意引导学生进行观察、分析，使他们掌握公式的结构特征，理解公式的意义，并能正确的运用这些公式。
正确运用平方差公式的关键，除了要掌握这一公式的结构特征外，还要理解公式中字母的广泛含义。在目前，可以向学生说明公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等式子。只要符合公式的结构特征，就可以运用这一公式。
由于学生的能力有一个发展过程，理解字母的广泛含义也要结合公式的难易来逐步安排。因此，教学时，要结合上述精神逐步进行，不要操之过急。
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《平方差公式》教学设计
教学目的
1、经历平方差公式的探求过程，理解平方差公式的意义。
2、熟悉平方差公式的特征，掌握平方差公式运用。
3、通过平方差公式学习，培养学生善于观察和归纳的学习习惯。
教学重点、难点：
重点：掌握平方差公式的特征，运用公式进行运算。
难点：对于非标准形式的多项式的乘积使用平方差公式进行运算。
教学过程
一、创设情景：
想一想，你能用简便方法算一算吗
二．探究发现：计算下列各题，你能发现什么规律？
(1) =_________； (2) =__________；
(3) =___________； (4) ___________。
思考1：通过计算，我们求得了结果，请同学说说乘式与结果的特征，从中发现什么规律？
一般地，有
即：
两数和与这两数差的积，等于这两个数的平方差
这个公式叫作乘法的平方差公式，公式中的a，b可以是任意的数或代数式。
思考2：问：能否用几何图形来验证这平方差公式呢？
请从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形（如图1），拼成如图2的长方形，你能根据图中的面积说明平方差公式吗？
三．运用巩固：
例1 运用平方差公式计算：
(1) ； (2) ； (3) 。
练习活动：
1.下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是( ):
①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥.
小结：平方差公式的特征：一项相同，另一项互为相反数；
2.利用平方差公式计算：
(1); (2); (3)。
总结：正确使用平方差公式关键：正确找出“这两个数”
练习
1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
(1) ； (2) 。
2.根据公式计算.
(1)； (2)； (3)； ⑷；
(5) ⑹
例2 计算:
(1) ; (2) .
小结：对平方差公式的变式运用，运用公示前对是否能运用做判断。
四．综合拓展
1．计算下列各式 :①； ②
2．填空：
⑴==；
⑵==；
⑶==；
⑷==；
⑸==。
小结：公式中的“两个数”可以是数，也可以是式子，包括单项式和多项式。
五、小结：今天我们学习了什么？
1、平方差公式是特殊的多项式乘法，要理解并掌握公式的结构特征.
1) 左边是两个数的和与这两个数的差的积.
2) 右边是这两个数的平方差.
用式子表示为：(a+b)(a-b) =a2-b2
注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等等．
2、有些式子表面上不能应用公式,但通过适当变形实质上能应用公式.如:(x+y-z)(x-y-z)=[(x-z)+y][(x-z)-y]= (x-z)2-y2。
六、作业
图2
图1
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21世纪教育网精品教学课件
授课人：博爱中学 李丽敏
你能用简便方法算一算吗
创设情境：
活动1 知识复习
多项式与多项式相乘的法则:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
(a+b)(m+n)=
am+an+bm+bn.
活动2 计算下列各题，你能发现什么规律？
(1) (x+1)(x-1)； (2) (m+2)(m-2)；
(3) (2x+1)(2x-1) ； (4) (2m+n)(2m-n).
答案:
(x+1)(x-1)=___________;
(2) (m+2)(m-2)=__________;
(3) (2x+1)(2x-1)=________.
(4) (2m+n)(2m-n)=________
x2－1
m2－ 4
4x2－1
4m2－n2
平方差公式:
(a+b)(a－ b)=
a2－ b2.
即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差.
(a+b)(a－ b)=
a2－ b2 .
a2－ ab+ab－ b2=
请从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形（如图1），拼成如图2的长方形，你能根据图中的面积说明平方差公式吗？
(a+b)(a－b)=a2－b2.
图1
图2
2.利用平方差公式计算：
(1)(5+6x)(5－6x); (2)(x－2y)(x+2y);
(3)(－m+n)(－m－n).
活动3 知识应用，加深对平方差公式的理解
1.下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是( ):
① (x+1)(1+x)； ② (a+b)(b－a) ；
③ (－a+b)(a－b)； ④ (x2－y)(x+y2)；
⑤ (－a－b)(a－b)； ⑥ (c2－d2)(d2+c2).
②
⑤
⑥
例1 运用平方差公式计算：
(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ；(2) (b+2a)(2a-b);
(3)(－x+2y)(－x－2y)； ⑷ (-x-y)(x-y)。
解：
（1）(3x＋2)(3x－2)
=(3x)2－22
=9x2－4；
（2）(b+2a)(2a－b)
=(2a+b)(2a－b)
=(2a)2－b2
=4a2－b2.
(3)(-x+2y)(-x-2y)
=(-x)2-(2y)2
=x2-4y2.
练习
1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当 怎样改正？
(1)(x+2)(x－2)=x2－2； (2)(－3a－2)(3a－2)=9a2－4.
2.根据公式(a+b)(a－b)= a2－b2计算.
(1)(x+y)(x－y)； (2)(a+5)(5－a)；
(3)(xy+z)(xy－z)； (4)(c－a)(a+c) ；
(5)(x－3)(－3－x)； (6)(x+1)(x－1)(x2+1).
例2 计算:
(1) 102×98;
(2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) .
解:
102×98
=(100+2)(100-2)
= 1002-22
=10000 – 4
= 9996.
(y+2)(y-2)- (y-1)(y+5)
= y2-22-(y2+4y-5)
= y2-4-y2-4y+5
= - 4y + 1.
综合拓展
1.计算 :①20102-2009×2011；②
20102-(2010-1)(2010+1)
= 20102-(20102-1)
=1
2.填空：
⑴
=
=
⑵
=
=
⑶
=
=
⑷
=
=
⑸
=
=
。
=
今天我们学习了什么？
1、平方差公式是特殊的多项式乘法，要理解并掌握公式的结构特征.
2、有些式子表面上不能应用公式,但通过适当变形实质上能应用公式.如:(x+y-z)(x-y-z)=
2) 右边是这两个数的平方差.
1) 左边是两个数的和与这两个数的差的积.
用式子表示为：
(a + b)(a – b) = a - b
注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等等．
[(x-z)+y][(x-z)-y]=
(x-z)2-y2
作业：
1.第156页 习题 15．2 第1题
2.预习完全平方公式登陆21世纪教育 助您教考全无忧
初中数学八年级上册
“整式的乘法与因式分解”教学计划书
一、教材分析
“整式的乘法与因式分解”是整式的加减的后续学习从幂的运算到各种整式的乘除法，整章教材都突出了学生的自主探索过程，依据原有的知识基础，或运用乘法的各种运算规律，或借助直观而又形象的图形面积，得到各种运算的基本法则、两个主要的乘法公式及因式分解的基本方法学生自己对知识内容的探索、认识与体验，完全有利于学生形成合理的知识结构，提高数学思维能力．
二、本章特点
本章是整式的加减的后续学习，首先，从幂的运算入手，逐步展开整式的乘法运算；接着，在整式的乘法中提炼出两种特殊的乘法运算，即两个乘法公式；接着，整式的除法，与乘法一样，从同底数幂相除，展开到单项式除以单项式和多项式除以单项式。最后，从整式的乘法的逆过程出发，引人因式分解的相关知识．乘法公式本身也是特殊多项式的乘法，因式分解则是整式乘法的逆过程．所有这一切都让学生自己进行体验、探索与认识，有利于学生知识的迁移，形成新的知识结构．本章主要有如下特点：
1、注重知识形成的探索过程，让学生在探索过程中领悟知识，在领悟过程中建构体系，从而更好地实现知识体系的更新和知识的正向迁移．
2、知识内容的呈现方式力求与学生已有的知识结构相联系，同时兼顾学生的思维水平和心理特征．
3、让学生掌握基本的数学事实与数学活动经验，减轻不必要的记忆负担．
4、注意从生活中选取素材，给学生提供一些交流、讨论的空间，让学生从中体会数学的应用价值，逐步养成谈数学、想数学、做数学的良好习惯。
三、本章知识结构框图
四、本章学习目标
1.探索并了解正整数幂的运算性质（同底数幂的乘法和除法，幂的乘方，积的乘方），并会运用它们进行计算．探索并了解单项式乘（或除以）单项式、多项式乘以（或除以）单项式、多项式与多项式相乘的法则，会进行简单的整式的乘法运算．
2.会由整式的乘法推导乘法公式，了解两个乘法公式的几何背景，并能运用公式进行简单的计算．
3.掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算。
4.了解因式分解的意义及其与整式的乘法之间的关系，从中体会事物之间可以相互转化的辩证思想．会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）
五、本章课时的安排（14课时）
15.1整式的乘法 5课时
15.2乘法公式 2课时
15.3整式的除法 2课时
15.4因式分解 3课时
本单元复习与检测 2课时
六、本章教学建议
§15.1整式的乘法（建议5课时）
本节包括幂的运算和整式乘法两大部分：
1、幂的运算有同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方，教材注重从学生已有的知识结构出发，让学生自己动手做一做，主动探索，在自己的实践中获得知识，从而建构新的知识体系．在教学过程中，教师应把重点放在对这三个运算法则的探索过程中，让学生通过自己的主动建构，获得新的知识体系，再熟悉运用它们进行计算的操作技能．针对学生的情况，适当补充一定量的口答题，让学生进一步熟悉幂的运算法则．对于辅导练习、习题中的一些辨析题，建议教师在教学中能较好地组织学生进行思考与交流，让学生通过对这些判断题的讨论甚至争论，加强对幂的运算性质的掌握，同时也培养一定的批判性思维能力．
2、整式的乘法有单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘． 单项式与单项式相乘．让学生通过适当的尝试，获得一些直接的经验，体验单项式与单项式的乘法运算规律，在此基础上，总结出这一运算的法则．单项式与多项式相乘，同单项式与单项式相乘类似，同样是让学生通过适当的尝试，获得一些直接的经验，体验单项式与多项式的乘法运算规律，在此基础上，总结出这一运算的法则．多项式与多项式相乘，与前两种运算不同，没有那么直观．教学中应充分结合导图中的问题来理解多项式与多项式相乘的结果，即让学生信服 (m + n ) ( a + b ) 与 ( ma + mb + na + nb ) 是相等的．然后，把其中的一个因式 ( m + n ) 看作一整体，再利用乘法分配律来理解 ( m + n )与 ( a + b )相乘的结果，从而导出多项式与多项式相乘的法则．跟前两种整式的乘法一样，教师在教学中不宜把重点放在多项式与多项式相乘的法则本身上，而应重视知识的形成过程，重视法则的理解及其运用．
§15.2 乘法公式（建议2课时）
本节包括两个部分：两数和乘以它们的差、两数和的平方．本节知识实际上不是新知识，而是上一节整式乘法的一些特例．与一般的整式乘法不同的是，教材给出了几个乘法公式的几何背景材料，帮助学生加深对乘法公式的理解和记忆．
教材给出了一个帮助学生理解两个乘法公式的几何背景图，让学生通过用式子表示图形面积的运算而领悟公式，体会数形结合的数学思想方法．
§15.3 整式的除法法 （建议2课时）
本节主要内容有：同底数幂的除法，单项式与单项式相除、多项式除以单项式．本节知识的结构体系与前面整式乘法相似，由数式通性，建议运用 “类比”思想方法学习本节知识，让学生通过适当的尝试，获得一些直接的经验，体验运算规律，在此基础上，总结出运算的法则．并与整式乘法做比较。
§15.4 因式分解（建议3课时）
本节主要内容有：因式分解和因式分解的方法（提公因式法和公式法）．与以往的传统教材相比，这部分内容有所减弱，教学时，教师不必将过繁过难的因式分解方法再补充给学生，加大学生的负担，使教材实验偏离课程改革的方向．
1 ．我们把因式分解放在整式的乘法之后作为一节，目的是想让学生能更进一步明确因式分解与整式的乘法之间的关系.
2.“试一试”给学生留有自主活动的空间，然后再进人稍有层次的例题的学习．让学生进一步感受到因式分解的过程与整式的乘法恰好相反．
七、辅助资源与说明
见《精品课程课程资源包》
八、教学效果
课堂学生表现综述，课堂小测结果分析，单元总体学习结果，测验结果等。
九、反思与建议
见《精品课程教研经验集》
整式乘法
整式除法
乘法公式
因式分解
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《平方差公式》课后练习
练习1：运用公式直接写出结果。
练习2：运用公式计算：
练习3：填空：
练习4：计算：
① ② ③
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