湘教新版2021-2022学年九年级上册数学《第4章 锐角三角函数》单元测试卷（word版含解析）

2021-2022学年湘教新版九年级上册数学《第4章 锐角三角函数》单元测试卷
一．选择题
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是（　　）
A．2 B．3 C． D．
2．在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A的三角函数值（　　）
A．也扩大3倍 B．缩小为原来的
C．都不变 D．有的扩大，有的缩小
3．Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝2，AC＝3，下列各式中正确的是 （　　）
A． B． C． D．
4．若cosA＝，则下列结论正确的为（　　）
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°
5．已知tanα＝1，那么的值等于（　　）
A． B． C．1 D．
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosA＝，则sinB的值是（　　）
A． B． C． D．
7．在Rt△ABC中，已知∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，那么下列结论正确的是（　　）
A．sinA＝ B．tanA＝ C．cosB＝ D．cotB＝
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝3，b＝4，则sinB的值为（　　）
A． B． C． D．
9．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列关系中错误的是（　　）
A．b＝c cosB B．b＝a tanB C．b＝c sinB D．a＝b tanA
10．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，tanB＝2，则AC的长为（　　）
A．1 B．2 C． D．
二．填空题
11．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则tanA＝　 　．
12．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠ABC等于　 　．
13．在△ABC中，∠C＝90°，如果，那么sinB的值等于　 　．
14．已知sinα＝（α为锐角），则tanα＝　 　．
15．如图，∠AOB放置在正方形网格中，则cos∠AOB的值为　 　．
16．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，则sinA＝　 　．
17．比较下列三角函数值的大小：sin40°　 　cos40°（选填“＞”、“＝”、“＜”）．
18．如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格中的格点上，则tanB的值为　 　．
19．有四个命题：
①若45°＜a＜90°，则sina＞cosa；
②已知两边及其中一边的对角能作出唯一一个三角形；
③已知x1，x2是关于x的方程2x2+px+p+1＝0的两根，则x1+x2+x1x2的值是负数；
④某细菌每半小时分裂一次（每个分裂为两个），则经过2小时它由1个分裂为16个．
其中正确命题的序号是　 　（注：把所有正确命题的序号都填上）．
20．计算：sin30°tan60°＝　 　．
三．解答题
21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，tan∠A＝，求BC的长和sin∠B的值．
22．有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD、MF，若此时他测得BD＝8cm，∠ADB＝30°．
（1）请直接写出AF的长；
（2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，求△AFK的面积（保留根号）．
23．如图，在平面直角坐标系中，已知点B（4，2），BA⊥x轴于A．
（1）求tan∠BOA的值；
（2）将点B绕原点逆时针方向旋转90°后记作点C，求点C的坐标；
（3）将△OAB平移得到△O′A′B′，点A的对应点是A′，点B的对应点B'的坐标为（2，﹣2），在坐标系中作出△O′A′B′，并写出点O′、A′的坐标．
24．已知a，b，c是△ABC的三边，a，b，c满足等式b2＝（c+a）（c﹣a），且5b﹣4c＝0，求sinA+sinB的值．
25．（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；
（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；
（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“＞”或“＝”）
若∠α＝45°，则sinα　 　cosα；若∠α＜45°，则sinα　 　cosα；若∠α＞45°，则sinα　 　cosα；
（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：
sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．
26．在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边c＝5，两直角边的长a，b是关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣2＝0的两个根，求Rt△ABC中较小锐角的正弦值．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：设BC＝x，则AB＝3x，
由勾股定理得，AC＝＝2x，
则tanB＝＝2，
故选：A．
2．解：根据锐角三角函数的概念，可知在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，锐角A的三角函数值不变．
故选：C．
3．解：∵∠C＝90°，BC＝2，AC＝3，
∴AB＝，
A．sinA＝＝＝，故此选项错误；
B．cosA＝＝，故此选项错误；
C．tanA＝＝，故此选项正确；
D．cotA＝＝，故此选项错误．
故选：C．
4．解：∵cos30°＝≈0.866，cos45°＝≈0.707，cosA＝＝0.75，
又∵0.866＞0.75＞0.707，
∴30°＜A＜45°．
故选：B．
5．解：由于tanα＝＝1，
∴原式＝＝＝＝．
故选：A．
6．解：在△ABC中，∠C＝90°，∠A+∠B＝90°，
则sinB＝cosA＝．
故选：A．
7．解：如图所示：
∵∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，
∴AC＝，
∴sinA＝，故选项A错误；
tanA＝＝，故选项B错误；
cosB＝，故选项C错误；
cotB＝，正确．
故选：D．
8．解：由勾股定理可知：c＝5，
∴sinB＝＝，
故选：A．
9．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
则tanA＝，
tanB＝，cosB＝，tanB＝；
因而b＝c sinB＝a tanB，
a＝b tanA，
错误的是b＝c cosB．
故选：A．
10．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tanB＝2，
∴＝2，
∴BC＝AC，
由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2，即（）2＝AC2+（AC）2，
解得，AC＝2，
故选：B．
二．填空题
11．解：如图，△ACD中，∵∠ADC＝90°，CD＝2，AD＝4，
∴tanA＝＝＝．
故答案为．
12．解：∵AB所在的直角三角形的两边分别为：2，4，
∴AB＝＝2．
∴sin∠ABC＝＝．
13．解：如图，∵，
∴设AC＝12k，BC＝5k，
则AB＝＝13k，
∴sinB＝＝＝．
故答案为：．
14．解：∵sin2α+cos2α＝1，
∴cosα＝＝，
∴tanα＝＝＝，
故答案为：．
15．解：将∠AOB放在一直角三角形中，邻边为1，对边为2，由勾股定理得斜边，
则cos∠AOB的值＝＝．
16．解：∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝5（勾股定理）．
∴sinA＝＝．
故答案是：．
17．解：∵cos40°＝sin50°，正弦值随着角的增大而增大，
又∵40°＜50°，
∴sin40°＜cos40°．
18．解：如图，
在△ABD中，AD＝4，BD＝4，
则tanB＝＝1．
故答案为1．
19．解：①因为sin45°＝cos45°＝，再结合锐角三角函数的变化规律，故此选项正确；
②不一定能够判定两个三角形全等，故此选项错误；
③根据根与系数的关系，得x1+x2＝﹣，x1x2＝．
∴x1+x2+x1x2＝，是正数．
故此选项错误；
④根据题意，得2小时它由1个分裂24个，即16个，故此选项正确．
故正确的有①④．
20．解：sin30°tan60°＝×＝．
故答案为：．
三．解答题
21．解：∵tan∠A＝＝，
∴AC＝2BC，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
即（2BC）2+BC2＝102，
解得BC＝2，
∴AC＝2BC＝4，
sin∠B＝＝＝．
22．解：（1）AF＝；
（2）△AFK为等腰三角形时，分两种情况：
①当AK＝FK时，如图．过点K作KN⊥AF于N，则KN⊥AF，AN＝NF＝AF＝2cm．
在直角△NFK中，∠KNF＝90°，∠F＝30°，
∴KN＝NF tan∠F＝2cm．
∴△AFK的面积＝×AF×KN＝；
②当AF＝FK时，如图．过点K作KP⊥AF于P．
在直角△PFK中，∠KPF＝90°，∠F＝30°，
∴KP＝KF＝2cm．
∴△AFK的面积＝×AF×KP＝12cm2．
23．解：（1）∵点B（4，2），BA⊥x轴于A，
∴OA＝4，BA＝2，
∴tan∠BOA＝＝＝． （3分）
（2）如图，由旋转可知：CD＝BA＝2，OD＝OA＝4，
∴点C的坐标是（﹣2，4）． （5分）
（3）△O′A′B′如图所示，O′（﹣2，﹣4），A′（2，﹣4）．（8分）
24．解：∵b2＝（c+a）（c﹣a），
∴b2＝c2﹣a2，
即：a2+b2＝c2，
∴△ABC是以c为斜边的Rt△ABC，
∵5b﹣4c＝0，∴，
设b＝4k，则c＝5k，
∴△ABC中，a＝3k，
∴sinA+sinB＝＝．
25．解：（1）在图（1）中，令AB1＝AB2＝AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，
显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC．
∵sin∠B1AC＝，sin∠B2AC＝，sin∠B3AC＝，
而＞＞．
∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC．
在图（2）中，Rt△ACB3中，∠C＝90°，
cos∠B1AC＝，cos∠B2AC＝，cos∠B3AC＝，
∵AB3＜AB2＜AB1，
∴＞＞．
即cos∠B3AC＞cos∠B2AC＞cos∠B1AC．
（2）sin88°＞sin65°＞sin52°＞sin34°＞sin18°；
cos88°＜cos65°＜cos52°＜cos34°＜cos18°．
（3）若∠α＝45°，则sinα＝cosα；若∠α＜45°，则sinα＜cosα；若∠α＞45°，则sinα＞cosα．
（4）cos30°＞sin50°＞cos70°＞sin10°．
26．解：∵a，b是方程x2﹣mx+2m﹣2＝0的解，
∴a+b＝m，ab＝2m﹣2，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，a2+b2＝c2，
而a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，c＝5，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝25，
即：m2﹣2（2m﹣2）＝25
解得，m1＝7，m2＝﹣3，
∵a，b是Rt△ABC的两条直角边的长．
∴a+b＝m＞0，m＝﹣3不合题意，舍去．
∴m＝7，
当m＝7时，原方程为x2﹣7x+12＝0，
解得，x1＝3，x2＝4，
不妨设a＝3，则sinA＝＝，
∴Rt△ABC中较小锐角的正弦值为．