华师版第24章图形的相似学案
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文档简介
24．1相似的图形
学习目标:1.理解和掌握相似图形的概念
2理解和掌握成比例线段的概念，理解比例的基本性质
学习过程:
一、创设情境，引入新课
相似图形的概念及其辨别
在色彩斑斓的世界中，我们接触过很多图形，有规则的，也有不规则的，有大小一样的，也有不一样的，有形状相同的，也有不相同的。本节我们走近形状相同的图形。
阅读课本42――43页，得到相似图形的概念是
1．完成课本44页所有练习
2．下列说法正确的是( )
(1)所有的圆都是形状相同的图形 (2)所有的正方形都是形状相同的图形
(3)所有的等腰三角形都是形状相同的图形 (4)所有的矩形都是形状相同的图形
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
3．下列说法正确的是( )
A 所有的平行四边形都是相似图形 B 所有的菱形都是相似图形
C 所由的等腰梯形都是相似图形 D 所有的全等三角形都是相似图形
4. 到目前为止，我们已接触过很多图形，有规则的，也有不规则的；有形状相同的，也有形状不相同的，形状相同的图形称为 ，能够互相重合的图形称为 ,全等的图形一定是 ，但相似的图形 全等.
5. 下图中的三组图形，看起来每组中的两个有点相像，但它们______(是，不是)相似形.
二．合作交流，探究新知
探究(一)、成比例线段的意义
1．完成课本45页试一试：从而概括得出成比例线段的定义
即（或a∶b＝c∶d）
2．判断是否成比例线段
阅读课本45页例1，注意解题格式
温馨提示：成比例线段是有顺序的，如线段 a、b、c、d 是成比例线段，则有（或a∶b＝c∶d）；线段a、d、b、c是成比例线段，则有（或a∶d＝b∶c）
例1:判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：
（1）a＝4，b＝6，c＝5，d＝10；
（2）a＝2，b＝，c＝，d＝．
例2：已知四条线段a=2cm,b=30m,c=6cm,d=10m,判断它们是否成比例线段？
探究(二)、比例的基本性质
思考得到结论1．如果那么ad=bc
2．如果ad=bc (a,b,c,d都不等于0)那么
思考：请试着证明这两个结论。这两个命题间有什么关系？
练习：（1）、如果，那么b叫做a、c的比例中项，也可以写成 。
（2）、已知：线段a、b、c满足关系式，且b＝4，那么ac＝______．
例3：证明：（1）如果，那么；
（2）如果，那么
三.、应用新知，体验成功
1．已知两条线段a=2m,b=80cm,则a:b=
2、已知a=3cm,b=2cm,若b是a和c的比例中项，则b＝ (提示：如果，则b是a和c的比例中项)
3、.已知4x-3y=0.则
4、已知a:b:c=2:3:5, 且a+b+c=5.m+n=2 求的值
四、达标测试，巩固提高
1、延长线段AB到C，使BC=2AB,则AC：BC= ；BC：AB=
2、已知A,B两地的实际距离是60km,图上的距离是A’B’=6cm.则这幅地图的比例尺是
3、已知：四条线段a=0.5m, b=25cm, c=0.2m ,d=10cm.这四条线段______(是否)成比例.
4、已知：，则=_____
5、已知，且3a-2b+c=3.则a=___,b=____,c=_____,2a+4b-3c=
6、已知：（x、y、z均不为零），则__________.
7. 已知，那么、各等于多少？
8、已知 ，求的值．
9、已知（b±d≠0），求证：．
２４.２ 相似图形的性质
学习目标：
1. 通过具体操作感知两个相似图形之间存在的边角关系
2. 掌握相似多边形的两个特征：对应边成比例，对应角相等
3. 掌握识别两个多边形相似的方法是对应角相等，对应边成比例
学习过程:
一 、创设情境、引入新课
课前热身
分组活动：课本第47页中“做一做”。在两张相似的图形中，你能猜测出AB、A/B/、BC、B/C/的长度吗？用尺子动手测量并交流。你会计算两条线段的比吗？请计算
，两条线段的比值有什么关系？
2、猜一猜：是否所有的相似图形都具有这样的特点？
二、 合作交流，解读探究
1、（任务一）：探究相似多边形的性质（互动合作）
观察课本中第48页中图24.2.3的两个四边形是相似的
（1）量一量：AB=_______，BC=_______，CD=_______，DA=_______， =_______， _______，=_______， =_______，∠A=_______，∠B=_______，∠C=_______，∠D =_______。
（2）算一算
，，，。
（3）议一议：通过计算，当这两个四边形相似时，对应边与对应角有怎样的关系？
（4）做一做：课本P48的两个相似的五边形，是否也具有上述一样的结果呢？
（5）说一说：两个相似的多边形具有怎样的特征：相似图形的对应角 ，对应边成 。
★例题学习：
请先遮住例题的解答自已做一遍，然后对照教材的解答过程检查和评析自己的解答。并回答（1）对例题的学习你觉得边和角需要注意什么呢？
（2）仿照例题解答下题。
如图四边形ABCD与四边形是相似的，且⊥，根据图中的条件，求出未知的边 BC、及角∝。
★学法指导：
（1）利用相似的多边形的特征求边和角时，关键是找对对应 和对应 。
（2）一般的，相等的角是对应角，对应角所夹的边是对应边；对应边所夹的角是对应角。
（3）我们在平日的学习中就要养成把对应顶点写在对应的位置上。
2、（任务二）：探究识别两个多边形相似的方法：
反过来，我们要识别两个多边形是否相似，可用什么方法呢？
概括：
例1 矩形ABCD与矩形中，AB=1.5cm，BC=4.5cm，=0.8cm，=2.4cm，这两个矩形相似吗？为什么？
三 、应用新知，体验成功：课本50页1---5题
四、 拓展思考、挑战自我、：
1、任意画两个三角形，它们一定相似吗？两个等腰三角形相似吗？画画看。
两个等边三角形一定相似吗？
2、所有的菱形都相似吗？所有矩形呢？所有正方形呢？
五、达标测试，巩固提高：
1．如图，正方形的边长a = 10，菱形的边长b = 5，它们相似吗？请说明理由。
2、△ABC 的边长为、、2，的边长分别是1和，如果两个三角形相似，求△的第三边长。
3、□ABCD与□中，AB=3，BC=5，∠B=40°，A′B′=6，要使□ABCD与
□相似，则B′C′=_______，∠B′=_______.
4、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB上的一点，EF∥BC，并且EF将梯形ABCD分成的两个梯形AEFD、EBCF相似，若AD=4，BC=9，求AE∶EB.
5、如果一个矩形对折后所得矩形与原矩形相似，则此矩形的长边与短边的比是( )
A.2∶1 B.4∶1 C.∶1 D.1∶
24.3.1 相似三角形
学习目标：1、知道相似三角形的概念；会根据概念判断两个三角形相似。
2、能说出相似三角形的相似比，由相似比求出未知的边长。
学习过程
一、创设情景，引入新课
填空：1、相似多边形的性质是 。
2、相似三角形的判定方法是 。
二、合作交流，解读探究
任务一、自学导航：自学课本53页，回答下列问题：
（1）你能说出相似三角形的定义吗？
（2）相似用符号 来表示，读作 。
（3）在△ABC与△A′B′C′中，若满足 ,则△ABC与△A′B′C′相似，记作： 读作： ____(对应顶点要写在对应的位置上)
（4）什么叫做相似比？（或相似系数）温馨提示：相似比是有顺序的。
如果记＝k，那么____就表示△ABC与△A′B′C′的相似比.
（5）ΔA B C和ΔA′B′C′的相似比为2，则ΔA′B′C′和ΔA B C的相似比是多少？
（6）当相似比为1时，两三角形有何关系？
相似三角形中，对应线段的比都等于_______
任务二、典型例题
例题1、如果图中△ADE∽△ABC，
DE=2，BC=4，则△ADE与△ABC的相似比是多少？
△ABC与△ADE的相似比是多少？点D、E分别是AB、AC的中点吗？为什么？
例题2：上图中，若DE∥BC，AD=2cm，BD=3cm，BC=4cm.求DE的长.
三、应用新知，体验成功
1、完成课本53页练习1、2、3题。
2、已知△ADE∽△ABC，下列比例式正确的是：( )
A： B：
C： D：
3 、在休闲广场的一角，有一块呈三角形的草坪，其中最大边的长是30米。在图纸上这个草坪的三边长分别是3厘米、4厘米、5厘米，求该草坪的面积。
四、达标测试：
1、若△ADE∽△ABC，且=2，则△ADE与△ABC相似比是 ，△ABC与△ADE的相似比是 。
2、△ABC∽△A1B1C1，相似比为，△A1B1C1∽△A2B2C2，相似比为，则△ABC∽△A2B2C2，其相似比为____________.
3、△ABC的三边长分别为、、2，△A′B′C′的最长边是，且△ABC∽△A′B′C′，求△A′B′C′的另两边长。
4、如图，点D、E分别是AB、AC上两点，且AD＝4，BD＝2，AC＝8，若△ADE∽△ACB，求AE的长。
5、在下面的两组图形中，各有两个相似三角形，试确定x，y，m，n的值.
6、(2009年甘肃定西)如上图，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m，则旗杆的高为（ ）
A．12m B．10m C．8m D．7m
24.3.2相似三角形的判定（第一课时）
学习目标：
经历探索相似三角形的判定方法1，培养同学们自主探索、归纳、验证的能力。
能运用此方法直接判定两个三角形相似。
发展同学们合情推理与数学说理能力。
学习过程：
一、创设情境，引入新课：
问题：如果两个三角形的对应边 ，对应角 ，那么这两个三角形相似。结合我们学习全等三角形的判定，是否存在判定两个三角形相似的简便方法呢？如果有，包括哪几种情况？写下来：
二、合作交流，探究新知：
探索相似三角形的判定方法1
（1）请同学们观察你与同伴的直角三角尺，同样角度的三角尺是否相似？你能提出什么猜想？
（2）完成课本55页“试一试”。(提示:在测量过程中要尽可能减少误差)
（3）由此我们发现：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么 。
（4）如果两个三角形的两对角分别对应相等，这两个三角形是否相似？为什么？
归纳：由此我们得到判定两个三角形相似的方法1：
。
（5）独立思考：如果两个三角形仅有一对角对应相等，它们是否一定相似？举反例说明。
三：应用新知，体验成功：
1、试一试：阅读课本56页例1和例2（要求：不看解答过程，先独立思考并书写证明过程，然后对照课本完善证明过程。）
（温馨提示：注意方法的运用及证明格式）
2、想一想：例2中若点D是AB的中点，则点E是AC的中点吗？为什么 若DE平行于BC，而EF不平行于AB，是否还有同样的结论？（ 小组内讨论交流，然后请各组讲解不同的解题思路）
3、练一练：（要求：每个学生先独立完成，然后小组内相互检查纠正错误，弄清错误原因，将共同的错误展示，并说说如何避免类似的错误）
（1）如图，已知∠BAD=∠CAE, ∠B=∠D，求证：△ABC∽△ADE。
（2）找出右上图中所有的相似三角形。
（3）有一个锐角相等的两个直角三角形相似。( )有一个角相等的两个等腰三角形相似。( )
4、课堂练习：课本57页练习1、2
四、达标测试，巩固提高：
1、(1)如图，AB与CD相交于点O，AC与BD不平行，当_________=__________或 ___________=____________时，△ AOC∽△DOB；
(2)如图，AD与BC相交于点O，AB∥CD，则__________∽___________．
2、如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，则∠B=_________，∠A=________，因此△ABC∽_________∽___________．
3、如图，点D、E在△ABC的边AB、AC上．
(1)若∠1=∠2，则_________∽__________； (2)若∠2=∠B，则_________∽_________．
4、如图，已知AE与CD交于点B，AC∥DE，求证：△ABC∽△EBD。
5、如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠ABC的平分线交AC于D，
证明：△ABC∽△BDC.
24.3.2相似三角形的判定（第二课时）
学习目标：
1、经历三角形相似的判定方法“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”和“三边对应成比例的两个三角形相似”的探索过程，能运用上述判定方法判定两个三角形相似。
2、培养合情推理与数学说理能力。
学习过程：
一、 创设情境、引入新课
1、要判断两个三角形相似你有几种方法？
有两种方法（1）是根据定义；（2）是有两个角对应相等的两个三角形相似。
二、 合作交流，解读探究
探 索： 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似吗？
总结另一种判断相似的方法：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．
符号语言：
∵，
∴△ABC ∽△.
★例题学习：判断图18.3.7中△AEB和△FEC是否相似？
证明：
注意：自己的书写，体现思考问题的逻辑性。
练习：下列各组条件中，不能确定△ABC∽△的是 .
⑴∠A＝∠A′＝80°，∠B＝40°，∠C′＝60°；
⑵∠A＝∠A′，AB＝12，AC＝15，A′B′＝16，A′C′＝20；
⑶∠A＝∠A′，AB＝15，BC＝10，A′B′＝18，B′C′＝12.
小常识：相似中最常见的基本图形，1：“母子型”或“A型”；:2：“兄弟型”或“X型”。
（任务二）探索三边对应成比例的两个三角形是否相似。
完成课本58页下面的做一做，并将你发现的结论写在下面： 。
例题学习：请先遮住例4的解答自已做一遍，然后对照教材的解答过程检查和评析自己的解答。（注意：在求对应边之比时，要按先后顺序。）
如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．
※学法指导：证明两个三角形相似，应先分析欲证的两个三角形已经具备了哪些条件，还缺什么条件。具体分析如下：已有一对对应角相等，可再找另一角相等或夹已知角的两边对应成比例；已有两边对应成比例，可再找这两边的夹角对应相等或第三边的比值与前两对应边之比相等；对于特殊的三角形，我们可根据其特点寻找独特的方法。
三 、应用新知，体验成功：
如图，正方形ABCD中，E是BC上一点，且BE=3EC
F是CD的中点，试说明△ADF∽△FCE。
四、 达标测试，巩固提高：
1、在△ABC中，AB:BC:CA=2:3:4，在△A1B1C1中，A1B1=1，C1A1=2，当B1C1=______时，△ABC∽△A1B1C1。
2.如下图左一，若，则∠BAD＝∠ ，______∽________。
3、如上图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端分别在CB、CD上滑动，那么当CM=________时，△ADE与△MNC相似.
4、如上图右一，△PCD是等边三角形，且C、D在线段AB上，（1）当AC、CD、DB满足什么条件时，△ACP∽△PDB？（2）当以上两三角形相似时，求∠APB的度数。
5、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ）
6、如图，E是四边形ABCD的对角线上一点，且，∠1＝∠2.
试说明：∠ABC＝∠AED.
7、如图，AD·AB＝AF·AC.试说明：△DEB∽△FEC.
24.3.3相似三角形的性质
学习目标：
经历探索相似三角形性质的过程。
能运用性质进行有关的计算。
学会合情推理和数学说理。
学习过程：
一、温故知新，引入新课
识别两个三角形相似的简便（判定）方法有哪些？
二、合作交流，解读探究
1、想一想：我们知道相似的两个三角形，它们的对应边成比例，对应角相等。如果两个三角形相似，那么对应边上的高有什么关系呢？
２、两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，还可以得到许多有用的结果．例如，在图18.3.9中，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，其中AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，那么AD、 A′D′之间有什么关系？
解：∵AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高
∴∠ADB=∠A′D′B′
∵△ABC∽△A′B′C′
∴∠B＝∠B′
∴_________∽_________( )
∴
归纳：相似三角形对应高的比等于 。
3、议一议：同学们用上面类似的方法，得出：在上面的例题中，若AD、分别是△ABC、△对应边BC、边上的中线，AD、的关系怎样呢？是角平分线呢？分别写出各自的推理过程。
4、做一做课本６１页“思考”中的两个问题，想一想：两个相似三角形的周长之比是什么？
三、挑战自我，再探新知
１、做一做课本60页填空：
从上面的结果，我们提出怎样的猜想 当相似比为k时，面积比又是多少？
归纳：由此我们得到:相似三角形的面积比等于 。
例：已知：△ABC∽△,且相似比为k, AD、分别是△ABC、△对应边BC、边上的高，求证：=
证明：
四、应用新知，体验成功
课本61页练习
五、达标测试、 巩固提高
1.如果两个相似三角形的相似比为1：4，则这两个相似三角形对应高的比为 ，对应角平分线的比为 ，对应角中线的比为 ，周长之比为 ，面积之比为 。
2.如图：D是△ABC的边AB上一点，过D作DE∥BC交AC于E，已知AD：BD=3：2，则Ｓ△ＡＢＣ ：Ｓ四边形ＢＣＥＤ＝
3.已知：在△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30㎝,AD=10㎝,求矩形EFGH的面积。
4、∽相似比为，若
的面积18,那么
的面积是_________.
5、两个相似三角形的相似比为2∶3，它们周长的差是25，那么较大三角形的周长是________，这两个三角形的面积比为________；把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的0.5倍，那么边长应缩小到原来的________倍。
6、如右图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O， 则等于（ ）
A． B． C． D．
7、如下图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高.（1）则图中有几对相似三角形;
（2）若AD=9 cm,CD=6 cm,求BD;（3）若AB=25 cm,BC=15 cm,求BD.
8、如图，在△ABC中EF∥BC且EF=
BC=2 cm，△AEF的周长为10 cm，求梯形BCFE的周长.
24.3.4相似三角形的应用（1）
学习目标：
1、认识现实生活中物体的相似，能利用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题。
2、通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，培养分析问题、解决问题的能力．
学习过程：
创设情景，引入新课
1、说一说相似三角形的判定方法有哪些，相似三角形的性质有哪些？
2、大家都知道矗立在城中的科技大楼是我们这里比较高的楼，那么科技大楼有多高呢？
我们如何用一些简单的方法去测量出科技大楼的高度呢？
二 合作交流，解读探究
导入新课：阅读课本62页例6完成下列任务：
例6中当金字塔的高度不能直接测量时，本题中构造了_______和_______相似，且_______、 ________、_________是已知或能测量的。
说一说测量金字塔高度的方案并加以证明。
【学法指导】同一时刻太阳光是平行直线，从而得到角相等，得到相似三角形。
例7中河的宽度也是无法直接测量的，本题中构造了_________和________相似，且_______、 __________、__________是已知或能测量的。
说一说测量河的宽度的方案并加以证明。
三、应用新知，体验成功
以上两例题向我们提供了利用相似三角形进行测量的方法。相似三角形的知识在实际应用中非常广泛，主要是运用相似三角形的有关性质来测量计算一些不易直接测量的物体的高度和宽度，解题时应先分析问题中哪些是相似图形，哪些是相等的角，哪些是成比例线段，已知的是哪些条件，要求的是什么，然后利用所学的相似三角形的知识把已知与未知联系起来，建立数学模型并解决。常见的相似模型有：
阅读例8 并说明它是如何利用相似三角形的性质来证明线段成比例的？
【学法指导】要将乘积式变为比例式。
现在同学们应该知道该怎么样去计算科技大楼的高度了吧？
【方法归纳】测高的方法： 测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻物高与影长的比例”的原理解决。 测距的方法： 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解
课堂练习:：课本63页1，2题
四 达标测试，巩固提高
1、某一时刻树的影长为8米,同一时刻身高为1.5米的人的影长为3米,则树高为
2、如图，某测量人员与标杆顶端F、电视塔顶端在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.6米，标杆FC=3.2米，且BC=1米，CD=5米，求电视塔的高度ED.
3、如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度（ ）
A．增大1.5米 B. 减小1.5米 C. 增大3.5米 D. 减小3.5米
4、如上图（右）马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目．跷跷板支柱AB的高度为1.2米．
（1）若吊环高度为2米，支点A为跷跷板PQ的中点，狮子能否将公鸡送到吊环上？为什么？
（2）若吊环高度为3.6米，在不改变其他条件的前提下移动支柱，当支点A移到跷跷板PQ的什么位置时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上？
5、小强用这样的方法来测量学校教学楼的高度：如图，在地面上方一面镜子，（镜子的高度不计），他刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，他请同学协助量了镜子与教学楼的距离EA=21米，以及他与镜子的距离CE=2.5米，已知他的眼睛距离地面的高度DC=1.6米，请你帮助小强计算出教学楼的高度。（根据光的反射定律：反射角等于入射角）
24.3.4相似三角形的应用（2）
学习目标：
1、认识现实生活中物体的相似，能利用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题。
2、通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，培养分析问题、解决问题的能力．
一、温故知新：
1、第一节我们学习了利用相似三角形的知识来计算那些不能直接测量到的物体的高度和宽度，认识到数学知识在实践中是应用广泛的，那么这节课，我们接着来学相似三角形的另一个应用：等分线段。
2、请同学们画出过直线外一点C且平行于直线AB的直线CD。
二.、新知自学：
将某件物品等分是生活中经常会遇到的事情．例如将一根绳子平均分成五段，从数学上看，就是将一条线段五等分．
你知道下面这个简单的方法吗？如图1，将这条线段画在你的练习本上，使它恰好跨过六条横线．现在，你看到这条线段被分成了相等的五小段．
如果你没有练习本，那也没有关系．让我们按照上面的想法，用三角尺完成等分线段这件事情．
图1
图2
图2
如图2，过线段AB的一个端点A任意画一条射线AP，在AP上依次取五段相等的线段、、、、，连结，再过、、、分别画的平行线，这些平行线就恰好将线段AB平均分成五等分．
你想知道其中的原因吗？想想相似图形的特征与性质，你就会明白了．
现在，你会画了吗？想想，要把线段AB分成2：3的两部分，能画吗？
巩固练习：利用刚才学的方法把线段AB七等分。
三、探究合作展示：
1．已知一根3米的标杆垂直于地面，同时测得其影长为1．8米，小明为了测量自己的身高，请同学量得自己的影长为1．06米，则小明的身高为_________米．
2．如图，小明在测量学校旗杆高度时，将3米长标杆插在离旗杆8米的地方，已知旗杆高度为6米，小明眼部以下距地面1．5米，这时小明应站在离旗杆_________米处，可以看到标杆顶端与旗杆顶端重合．
3．如图，铁道口的栏杆短臂长1米，长臂长16米，当短臂的端点下降0．5米时，长臂端点应升高_________米．
4．小华做小孔成像实验(如图所示)，已知蜡烛与成像板之间的距离为15cm，则蜡烛与成像板之间的小孔纸板应放在离蜡烛________cm的地方时，蜡烛焰AB是像A′B′的一半．
5．如图所示，有一池塘，要测量两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C连结AC并延长到D，使CD=CA，连结BC并延长到E．使CE=CB，连结ED，如果量出DE的长为25 m，那么池塘宽AB为_________m．
6．如图，△ABC中，DE∥BC，BC＝6，梯形DBCE面积是△ADE面积的 3倍，求DE的长．
7、如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CE⊥AB，垂足为E，BG⊥AP，垂足为G，求证：CE=PE·DE．
8、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BG⊥AC交CD于点E，垂足是G，求证：BC=CECD．
24.4中位线（第一课时）
学习目标：
１、经历三角形中位线的性质定理形成过程，掌握定理，并能利用它们解决简单的问题。
２、通过命题的教学了解常用的辅助线的作法,并能灵活运用它们解题。
3、通过学习，进一步培养自主探究和合作交流的学习习惯
学习过程：
一、课题导入
1、什么是三角形的中线？
2、在§24．3中，我们曾解决过如下的问题：如图24．4．1，
△ABC中，DE∥BC，则 。
由此可以进一步推知，当点D是AB的中点时，点E也是AC的中点。
现在换一个角度考虑，
如果点D、E原来就是AB与AC的中点，那么是否可以推出DE∥BC呢？
DE与BC之间存在什么样的数量关系呢？
探索新知：
1、猜想
从画出的图形看，可以猜想：① ；② 。
2、动手做一做，动脑想一想：
画出右面三角形中的一条中位线；量一量这条中位线第三边有怎样的数
量和位置关系？
3、验证猜想：
已知：如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，
求证：DE∥BC,DE=
4、①你能否写出三角形中位线定理：
②三角形的中位线有几条？与三角形的中线的区别是什么？三角形的一条中位线与第三边上的中线有什么关系？
③等边三角形ABC的中位线DE=3cm,则△ABC的周长等于________cm。
④已知三角形各边长分别是6cm,8cm,10cm,则连接各边中点所成三角形的周长为________cm.。
三、建立模型，解决问题
已知正方形的边长为2cm,求各边中点围成的四边形周长_________；
已知矩形长8cm,宽6cm,求各边中点围成的四边形周长_________；
菱形告诉对角线长为10cm，14cm,会求各边中点围成的四边形周长吗？
再观察下图，一般四边形ABCD,点E、F、G、H分别是AB、
BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形。
任意画一个三角形，做出三边上的中线，
观察三条中线是否相交于一点？
若这三条中线相交于一点，这一点与一边中点的连线的长与对应中线的比是多少
得出如下性质：
三角形三条边上的中线交于________点，这个点就是三角形的_____，_____与一边中点的连线是对应中线长的______。
四、巩固提高
1、顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得的图形是_____.
2、顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点所得的图形是_____.
3、如下图左二，D、E、F分别为△ABC三边上的中点，G为AE的中点，BE与DF、DG分别交于P、Q两点，则PQ∶BE＝ .
4、如下图左一，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，又AB＝DC，下列结论：①EFGH为矩形；②FH平分EG于T；③EG⊥FH；④HF平分∠EHG.其中正确的是（ ）
A、①和② B、②和③ C、①②④ D、②③④
EMBED PBrush
EMBED PBrush
5、如上图左三，已知△ABC的周长为1，连结△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，依此类推，第2008个三角形的周长为（ ）
A、
B、
C、
D、
6、如上图右一，在△ABC中，D、E、F分别是各边的中点，AH是BC边上的高．
(1)试判断四边形DHEF是什么样的四边形，并证明之；
(2)①当AB、AC之间满足什么关系时，四边形DHCF是平行四边形 并请证明之；②四边形DHCF能否为矩形或菱形 (直接写出结论．不要证明)
24.4中位线 （第二课时）
学习目标：
1、在经历观察、操作、探索三角形中位线及重心的基础上，进一步掌握梯形中位线的定义和推理过程。
2、通过梯形中位线定理的推理证明，渗透数学中的转化思想，培养自主探究、猜想、推理论证的能力，并能应用定理解决问题。
学习过程：
一、复习旧知，引入新知：
1、三角形的中位线定理的内容是什么？三角形的重心定理的内容是什么？
2、在△ABC中，D、E分别是AC、BC、AB的中点，已知AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，则DE= cm，△DEF的周长为 cm。
3、梯形中常见的辅助线有哪些？试举例说明。
二、讨论交流，探究新知
1、仿照三角形的中位线定义写出梯形的中位线定义。
2、在课本后的方格纸上任意画一个梯形（四个顶点均在格点上），找出两腰的中点，连接两点，用刻度尺测量梯形上底、下底与两腰中点连线的长度，并思考三者之间有何关系并加以归纳（包括数量关系和位置关系）。（个体思考探究）
3、试着说出梯形中位线定理的题设和结论，并根据题设和结论画出图形，写出该定理的已知和求证，并思考如何用理论证明。（个体思考后小组交流）
学法指导：转化的思想是一种重要的数学思想，化未知为已知，化难为易是我们解决新问题和难题时必备的一种思路，所以当你遇到新的问题和难题时，不要害怕，要积极的去思考如何转化为我们已学过的知识解决。想一想，你学过哪些与中位线有关的内容。
小组交流：如何证明梯形中位线定理？并根据不同的证明方法归纳梯形辅助线的添加方法。
4、如图1，梯形ABCD的面积可以表示为S梯形ABCD= ，现在你学习了梯形的中位线，不知道你能否把这一公式进行变形？变形后的几何意义又是怎样的？
三、应用新知，体验成功
教材P70练习1、2、3
四、达标测试，巩固提高
1、★如果梯形的上底长4cm，中位线长5cm，则梯形下底长为 cm。
2、★★已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC=6，BD=8，则梯形中位线长为 。
3、一张等腰三角形纸片，底边长l5cm，底边上的高长22．5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( ) A．第4张 B．第5张 C.第6张 D．第7张
4、★★★等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长8cm，求它的高。
5、如图所示的梯形梯子，AA′∥EE′，AB＝BC＝CD＝DE，A′B′＝B′C′＝C′D′＝D′E′，AA′＝0．5m，EE′＝0．8m．求BB′、CC′、DD′的长．
6、四边形ABCD中，AC=6，BD=8，且AC⊥BD．顺次连结四边形ABCD各边中点，得到四边形ABCD；再顺次连结四边形ABCD各边中点，得到四边形ABCD；……如此进行下去得到四边形ABCD
(1)求证：四边形ABCD是矩形(2)写出四边形ABCD和ABCD的面积；
(3)写出四边形ABCD的面积；(4)求四边形ABCD的周长．
24.5画相似图形
学习目标：
了解图形的位似，能利用位似的方法，将一个图形放大和缩小。
能根据要求做出简单的平面图形的位似图形，掌握画位似图形的三种方法。
经历观察、操作认识图形的相似变换，探索它的基本特征，学会在实践中发现规律。
学习过程：
一 创设情景，引入新课
想一想：你会在格点图或方格图中，画出一个和已知图形相似，且与其相似比为2:1的图形吗？如果没有了方格纸或格点图，你还能不能正确的画出符合条件的相似图形呢？
二 合作交流，解读探究
下面介绍一种特殊的画相似多边形的方法．
现在要把多边形ABCDE放大到1.5倍，即新图与原图的相似比为1.5．我们可以按下列步骤画出图：
1. 任取一点O；
2. 以点O为端点作射线OA、OB、OC、…；
3. 分别在射线OA、OB、OC、… 上，取点A′、B′、 C′、…，使OA′∶OA＝OB′∶OB＝OC′∶OC＝…＝1.5；
4. 连结A′B′、B′C′、…，得到所要画的多边形A′B′C′D′E′．
归纳总结1：位似图形的定义
如果两个图形不仅 ，而且各对对应点的连线都 ，像这样的相似叫 ，这点叫做 。注意：位似图形 是相似图形，而相似图形 是位似图形（填写“一定”或“不一定”）
利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小．
要画四边形ABCD的位似图形，还可以任取一点O，如图18.4.2，作直线OA、OB、OC、OD在点O的另一侧取点A′、B′、C′、D′，使OA′:OA＝OB′∶OB＝O C′∶OC＝OD′∶OD＝2，也可以得到放大到2倍的四边形A′B′C′D′．
实际上，如图18.4.3所示，如果把位似中心取在多边形内，那么也可以把一
个多边形放大或缩小，而且较为简便．
三 应用新知，体验成功
1、试一试：我们利用位似的方法可以把一个多边形放大或缩小。用位似法把已知四边形ABCD缩小一半。完成作图后与小组交流作图的步骤，各组选一名代表发言，并观察位似中心的选取是否一致？位似中心的选取会有几种情况？
2、想一想 你会确定位似图形的位似中心吗
3、练一练 独立完成课本72页习题24.5，小组内相互检查作图情况。
四 达标测试，巩固提高
1、下列说法正确的是（ ）
A．两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定全等；
B．两个图形如果是位似图形，那么这两个图形不一定相似；
C、两个图形如果是相似图形，那么这两个图形一定位似；
D、两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定相似。
2、如果四边形ABCD的位似图形为四边形 A′B′C′D′,且O为位似中心，则下列说法中，正确的是（ ）
A、O一定在四边形ABCD外 C、若OA:O A′=1:2,则可得到放大两倍的位似形
B、O不能在四边形ABCD上 D、O在四边形ABCD外时，只能得到放大的位似形
3、将一个多边形放大为原来的3倍，则放大后的图形可作出_______个，其原因是________
4、把甲图放大1.5倍后得到乙图，再把乙图缩小2倍得丙图，则甲图与丙图的相似比为___
5、如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（ ）
A． B． C． D．
6、如图所示，请你找出这对位似图形的位似中心点O的位置。
7、请用位似的方法把图18—73放大1倍，要求位似中心在AB边上．
8、一条河的两岸有一段是平行的，在河的这一岸每隔5米有一棵树，在河的对岸每隔50米有一根电线杆，在这岸离开岸边25米处看对岸，看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河宽.
24.6.1 用坐标确定位置
学习目标：学会用坐标确定位置。
一、温故知新：
1．什么是平面直角坐标系 建立了平面直角坐标系后，平面的点可以用什么来描述
2．画一个直角坐标系，并描出点A(1，2)，B(－3， 5)，C(4，5)，D(0，3)的位置。
二、新知自学：
在地图上，应用直角坐标系确定一些建筑物的位置，用坐标来表示，就能比较容易地找出目的地。
试一试：图24．6．2是某乡镇的示意图．试建立直角坐标系，用坐标表示各地的位置：
在方格图中，选定一个确定的点为坐标原点，横线所在直线为x轴，建立直角坐标系，如以王马村希望小学为原点，则各点位置的坐标是：希望小学的坐标( )、大山镇是( )、＿＿＿乡(2，5)、小学是 （ ）、爱心中学( )、马村是( )、映月湖为( )，同学们互相对照一下，建立的直角坐标系是否相同呢 选定的坐标单位会一样吗 各点的坐标是否一样 有了平面直角坐标系，我们可以毫不费力地在平面上确定一个点的位置，平面直角坐标系中，用一对有顺序关系实数来描述一个点的位置，在现实生活中，我们能看到许多这种方法的应用：如用经度和纬度来表示一个地点在地球上的位置、电影院的座号用几排几座来表示，国际象棋中竖条用字母表示，横条用数字表示等。
除了用坐标形式表示物体的位置之外，我们还经常用到的还有用一个方向的角度和距离来表示一个点的位置。
如小明去某地考察环境污染问题，并且他事先知道，“悠悠日用化工品厂”在他现在所在地的北偏东30度的方向，距离此地3千米的地方，根据这个角度和距离，我们可以画出这个工厂与现在所处位置的图形。
三、探究合作展示、
已知下列点的坐标，在平面直角坐标系中正确标出这些点并且依次把它们连结起来，观察得到的图形，你觉得它像什么？
（0，2），（0，0），（1，3），（2，3），（3，2），（3，0），（1，－1），（2，－1），（1，－3），（0，－1），（－1，－3），（－2，－1），（－1，－1），（－3，0），
（－3，2），（－2，3），（－1，3），（0，0）．
四、巩固训练、
1、如图，已知棋子“车”用（－2，3）表示，棋子“马”用（1，3）表示，则棋子“炮”可以表示为的（ ）
A．（3，2） B．（3，1）
C．（2，2） D．（－2，2）
2、面直角坐标系中的点P关于轴的对称点在第四象限，则的取值范围在数轴上可表示为（ ）
3、如图，我们给中国象棋棋盘建立一个平面直角坐标系（每个小正方形的边长均为1），根据象棋中“马”走“日”的规定，若“马”的位置在图中的点P．
⑴写出下一步“马”可能到达的点的坐标
；
⑵顺次连接⑴中的所有点，得到的图形是
图形（填“中心对称”、“旋转对称”、“轴对称”）；
⑶指出⑴中关于点P成中心对称的点 ．
4、如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似形，点F的坐标为（1，1），点C的坐标为（4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是 ．
5、在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形，在如图5×5的方格中，作格点△ABC和△OAB相似(相似比不为1)，则点C的坐标是____________.
24.6.2 图形的变换与坐标
学习目标：能根据图形的变换得到坐标的变换。
一、温故知新：
1．△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AC＝5，建立直角坐标系，写出各顶点的坐标。
2．你能画与△ABC成轴对称的三角形吗 请画一个以直线BG为对称轴的三角形。
二、新知自学：
如果以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，建立直角坐标系，上述(1)的各顶点坐标为多少
1．把三角形向右边移动3个单位，问：
(1)这时三角形的位置发生了什么变化
(2)这时三角形的三个顶点的坐标有什么变化，写出它们这个位置时的三个顶点坐标。
(3)比较相应顶点的坐标，它们之间存在什么相同之处
相应顶点的横坐标都增加了____个单位，而纵坐标都________。
2．把三角形向左平移4个单位后，以同样的问题回答。
发现相应顶点横坐标________________，纵坐标___________。
3．把三角形再变换一个位置后，向左、右两边平移，观察各对应顶点的坐标的变化。
问：由上述的几个变换过程，可以得到一个图形沿x轴左、右平移，它们的纵坐标，横坐标各有什么变化
它们的纵坐标都_________，横坐标_______。向右平移几个单位，横坐标就_______几个单位；向左平移几个单位，横坐标就_______几个单位。
4．若把这个三角形沿y轴上、下平移呢
它们的纵坐标都_________，横坐标_______。向上平移几个单位，纵坐标就_______几个单位；向下平移几个单位，纵坐标就_______几个单位。
思考：△AOB关于x轴的轴对称图形△OA′B，对应顶点的坐标有什么变化呢
关于x轴对称，由于O、B在对称轴上，其坐标不变，那么点 A与对称点A′关于x轴对称，它们的横坐标______，纵坐标___________，这就得出关于x轴对称的对称点的坐标的特点是：横坐标______，纵坐标__________。
△AOB关于y轴的轴对称图形△AlOBl，对应顶点的坐标有什么变化
得出关于x轴或y轴成对称的对应点的坐标的关系：
关于x轴对称的对称点的横坐标_______，纵坐标_____________。
关于y轴对称的对称点的纵坐标_______，横坐标_____________。
课本91面图18．5.7，△AOB的各顶点坐标是什么 0(0，0)，A(2，4)，B(4，0)，缩小后得到的△COD，各顶点的坐标是什么呢 O(0，0)，C(1，2)，D(2，0)，比较各对应顶点的坐标有什么呢 它们的横纵坐标都按比例缩小，这种变化与它们的相似比有什么关系呢
三、探究合作展示：
线段AB的两端点A(1，3)，B(2，－5)。
(1)把线段AB向左平移2个单位，则点A、B的坐标为：A＿＿B＿＿。
(2)线段AB关于x轴对称的线段A′B′,则其坐标为：A′＿，B′＿。
(3)把线段AB向上平移2个单位得线段A1Bl，AlBl关于y轴对称的线段A2B2，那么点A2的坐标为＿＿＿，点B2的坐标为＿＿＿。
（第1题）
四、巩固训练：
1．将图中的△ABC作下列变换，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化．
（1） 沿y轴正向平移2个单位；
（2） 关于y轴对称；
（3） 以点B为位似中心，放大到2倍．
2、如上图（中），在平面直角坐标系中，请按下列要求分别作出△ABC变换后的图形（图中每个小正方形的边长为个单位），并写出变换后△ABC各顶点的坐标.
（1）向右平移个单位；（2）关于轴对称.
3、将点A (3 , l)绕原点O按顺时针方向旋转900到点B，则点B的坐标是 .
4、如图，将边长为1的正三角形沿轴正方向连续翻转2008次，点依次落在点的位置，则点的横坐标为 ．
5、如图，的顶点的坐标为（4，0），把沿轴向右平移得到如果那么的长为 ．
6、如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点P处开始依次关于点A、B、C作循环对称跳动，即第一次跳到点P关于点A的对称点M处，接着跳到点M关于点B的对称点N处，第三次再跳到点N关于C的对称点处，…．如此下去。
（1）在图中画出点M、N，并写出点M、N的坐标：_____________
（2）求经过第2008次跳动之后，棋子落点与点P的距离。
A’
B’
C’
D’
A
B
C
D
A.
图1
图18.4.3
P
学习目标:1.理解和掌握相似图形的概念
2理解和掌握成比例线段的概念，理解比例的基本性质
学习过程:
一、创设情境，引入新课
相似图形的概念及其辨别
在色彩斑斓的世界中，我们接触过很多图形，有规则的，也有不规则的，有大小一样的，也有不一样的，有形状相同的，也有不相同的。本节我们走近形状相同的图形。
阅读课本42――43页，得到相似图形的概念是
1．完成课本44页所有练习
2．下列说法正确的是( )
(1)所有的圆都是形状相同的图形 (2)所有的正方形都是形状相同的图形
(3)所有的等腰三角形都是形状相同的图形 (4)所有的矩形都是形状相同的图形
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
3．下列说法正确的是( )
A 所有的平行四边形都是相似图形 B 所有的菱形都是相似图形
C 所由的等腰梯形都是相似图形 D 所有的全等三角形都是相似图形
4. 到目前为止，我们已接触过很多图形，有规则的，也有不规则的；有形状相同的，也有形状不相同的，形状相同的图形称为 ，能够互相重合的图形称为 ,全等的图形一定是 ，但相似的图形 全等.
5. 下图中的三组图形，看起来每组中的两个有点相像，但它们______(是，不是)相似形.
二．合作交流，探究新知
探究(一)、成比例线段的意义
1．完成课本45页试一试：从而概括得出成比例线段的定义
即（或a∶b＝c∶d）
2．判断是否成比例线段
阅读课本45页例1，注意解题格式
温馨提示：成比例线段是有顺序的，如线段 a、b、c、d 是成比例线段，则有（或a∶b＝c∶d）；线段a、d、b、c是成比例线段，则有（或a∶d＝b∶c）
例1:判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：
（1）a＝4，b＝6，c＝5，d＝10；
（2）a＝2，b＝，c＝，d＝．
例2：已知四条线段a=2cm,b=30m,c=6cm,d=10m,判断它们是否成比例线段？
探究(二)、比例的基本性质
思考得到结论1．如果那么ad=bc
2．如果ad=bc (a,b,c,d都不等于0)那么
思考：请试着证明这两个结论。这两个命题间有什么关系？
练习：（1）、如果，那么b叫做a、c的比例中项，也可以写成 。
（2）、已知：线段a、b、c满足关系式，且b＝4，那么ac＝______．
例3：证明：（1）如果，那么；
（2）如果，那么
三.、应用新知，体验成功
1．已知两条线段a=2m,b=80cm,则a:b=
2、已知a=3cm,b=2cm,若b是a和c的比例中项，则b＝ (提示：如果，则b是a和c的比例中项)
3、.已知4x-3y=0.则
4、已知a:b:c=2:3:5, 且a+b+c=5.m+n=2 求的值
四、达标测试，巩固提高
1、延长线段AB到C，使BC=2AB,则AC：BC= ；BC：AB=
2、已知A,B两地的实际距离是60km,图上的距离是A’B’=6cm.则这幅地图的比例尺是
3、已知：四条线段a=0.5m, b=25cm, c=0.2m ,d=10cm.这四条线段______(是否)成比例.
4、已知：，则=_____
5、已知，且3a-2b+c=3.则a=___,b=____,c=_____,2a+4b-3c=
6、已知：（x、y、z均不为零），则__________.
7. 已知，那么、各等于多少？
8、已知 ，求的值．
9、已知（b±d≠0），求证：．
２４.２ 相似图形的性质
学习目标：
1. 通过具体操作感知两个相似图形之间存在的边角关系
2. 掌握相似多边形的两个特征：对应边成比例，对应角相等
3. 掌握识别两个多边形相似的方法是对应角相等，对应边成比例
学习过程:
一 、创设情境、引入新课
课前热身
分组活动：课本第47页中“做一做”。在两张相似的图形中，你能猜测出AB、A/B/、BC、B/C/的长度吗？用尺子动手测量并交流。你会计算两条线段的比吗？请计算
，两条线段的比值有什么关系？
2、猜一猜：是否所有的相似图形都具有这样的特点？
二、 合作交流，解读探究
1、（任务一）：探究相似多边形的性质（互动合作）
观察课本中第48页中图24.2.3的两个四边形是相似的
（1）量一量：AB=_______，BC=_______，CD=_______，DA=_______， =_______， _______，=_______， =_______，∠A=_______，∠B=_______，∠C=_______，∠D =_______。
（2）算一算
，，，。
（3）议一议：通过计算，当这两个四边形相似时，对应边与对应角有怎样的关系？
（4）做一做：课本P48的两个相似的五边形，是否也具有上述一样的结果呢？
（5）说一说：两个相似的多边形具有怎样的特征：相似图形的对应角 ，对应边成 。
★例题学习：
请先遮住例题的解答自已做一遍，然后对照教材的解答过程检查和评析自己的解答。并回答（1）对例题的学习你觉得边和角需要注意什么呢？
（2）仿照例题解答下题。
如图四边形ABCD与四边形是相似的，且⊥，根据图中的条件，求出未知的边 BC、及角∝。
★学法指导：
（1）利用相似的多边形的特征求边和角时，关键是找对对应 和对应 。
（2）一般的，相等的角是对应角，对应角所夹的边是对应边；对应边所夹的角是对应角。
（3）我们在平日的学习中就要养成把对应顶点写在对应的位置上。
2、（任务二）：探究识别两个多边形相似的方法：
反过来，我们要识别两个多边形是否相似，可用什么方法呢？
概括：
例1 矩形ABCD与矩形中，AB=1.5cm，BC=4.5cm，=0.8cm，=2.4cm，这两个矩形相似吗？为什么？
三 、应用新知，体验成功：课本50页1---5题
四、 拓展思考、挑战自我、：
1、任意画两个三角形，它们一定相似吗？两个等腰三角形相似吗？画画看。
两个等边三角形一定相似吗？
2、所有的菱形都相似吗？所有矩形呢？所有正方形呢？
五、达标测试，巩固提高：
1．如图，正方形的边长a = 10，菱形的边长b = 5，它们相似吗？请说明理由。
2、△ABC 的边长为、、2，的边长分别是1和，如果两个三角形相似，求△的第三边长。
3、□ABCD与□中，AB=3，BC=5，∠B=40°，A′B′=6，要使□ABCD与
□相似，则B′C′=_______，∠B′=_______.
4、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB上的一点，EF∥BC，并且EF将梯形ABCD分成的两个梯形AEFD、EBCF相似，若AD=4，BC=9，求AE∶EB.
5、如果一个矩形对折后所得矩形与原矩形相似，则此矩形的长边与短边的比是( )
A.2∶1 B.4∶1 C.∶1 D.1∶
24.3.1 相似三角形
学习目标：1、知道相似三角形的概念；会根据概念判断两个三角形相似。
2、能说出相似三角形的相似比，由相似比求出未知的边长。
学习过程
一、创设情景，引入新课
填空：1、相似多边形的性质是 。
2、相似三角形的判定方法是 。
二、合作交流，解读探究
任务一、自学导航：自学课本53页，回答下列问题：
（1）你能说出相似三角形的定义吗？
（2）相似用符号 来表示，读作 。
（3）在△ABC与△A′B′C′中，若满足 ,则△ABC与△A′B′C′相似，记作： 读作： ____(对应顶点要写在对应的位置上)
（4）什么叫做相似比？（或相似系数）温馨提示：相似比是有顺序的。
如果记＝k，那么____就表示△ABC与△A′B′C′的相似比.
（5）ΔA B C和ΔA′B′C′的相似比为2，则ΔA′B′C′和ΔA B C的相似比是多少？
（6）当相似比为1时，两三角形有何关系？
相似三角形中，对应线段的比都等于_______
任务二、典型例题
例题1、如果图中△ADE∽△ABC，
DE=2，BC=4，则△ADE与△ABC的相似比是多少？
△ABC与△ADE的相似比是多少？点D、E分别是AB、AC的中点吗？为什么？
例题2：上图中，若DE∥BC，AD=2cm，BD=3cm，BC=4cm.求DE的长.
三、应用新知，体验成功
1、完成课本53页练习1、2、3题。
2、已知△ADE∽△ABC，下列比例式正确的是：( )
A： B：
C： D：
3 、在休闲广场的一角，有一块呈三角形的草坪，其中最大边的长是30米。在图纸上这个草坪的三边长分别是3厘米、4厘米、5厘米，求该草坪的面积。
四、达标测试：
1、若△ADE∽△ABC，且=2，则△ADE与△ABC相似比是 ，△ABC与△ADE的相似比是 。
2、△ABC∽△A1B1C1，相似比为，△A1B1C1∽△A2B2C2，相似比为，则△ABC∽△A2B2C2，其相似比为____________.
3、△ABC的三边长分别为、、2，△A′B′C′的最长边是，且△ABC∽△A′B′C′，求△A′B′C′的另两边长。
4、如图，点D、E分别是AB、AC上两点，且AD＝4，BD＝2，AC＝8，若△ADE∽△ACB，求AE的长。
5、在下面的两组图形中，各有两个相似三角形，试确定x，y，m，n的值.
6、(2009年甘肃定西)如上图，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m，则旗杆的高为（ ）
A．12m B．10m C．8m D．7m
24.3.2相似三角形的判定（第一课时）
学习目标：
经历探索相似三角形的判定方法1，培养同学们自主探索、归纳、验证的能力。
能运用此方法直接判定两个三角形相似。
发展同学们合情推理与数学说理能力。
学习过程：
一、创设情境，引入新课：
问题：如果两个三角形的对应边 ，对应角 ，那么这两个三角形相似。结合我们学习全等三角形的判定，是否存在判定两个三角形相似的简便方法呢？如果有，包括哪几种情况？写下来：
二、合作交流，探究新知：
探索相似三角形的判定方法1
（1）请同学们观察你与同伴的直角三角尺，同样角度的三角尺是否相似？你能提出什么猜想？
（2）完成课本55页“试一试”。(提示:在测量过程中要尽可能减少误差)
（3）由此我们发现：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么 。
（4）如果两个三角形的两对角分别对应相等，这两个三角形是否相似？为什么？
归纳：由此我们得到判定两个三角形相似的方法1：
。
（5）独立思考：如果两个三角形仅有一对角对应相等，它们是否一定相似？举反例说明。
三：应用新知，体验成功：
1、试一试：阅读课本56页例1和例2（要求：不看解答过程，先独立思考并书写证明过程，然后对照课本完善证明过程。）
（温馨提示：注意方法的运用及证明格式）
2、想一想：例2中若点D是AB的中点，则点E是AC的中点吗？为什么 若DE平行于BC，而EF不平行于AB，是否还有同样的结论？（ 小组内讨论交流，然后请各组讲解不同的解题思路）
3、练一练：（要求：每个学生先独立完成，然后小组内相互检查纠正错误，弄清错误原因，将共同的错误展示，并说说如何避免类似的错误）
（1）如图，已知∠BAD=∠CAE, ∠B=∠D，求证：△ABC∽△ADE。
（2）找出右上图中所有的相似三角形。
（3）有一个锐角相等的两个直角三角形相似。( )有一个角相等的两个等腰三角形相似。( )
4、课堂练习：课本57页练习1、2
四、达标测试，巩固提高：
1、(1)如图，AB与CD相交于点O，AC与BD不平行，当_________=__________或 ___________=____________时，△ AOC∽△DOB；
(2)如图，AD与BC相交于点O，AB∥CD，则__________∽___________．
2、如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，则∠B=_________，∠A=________，因此△ABC∽_________∽___________．
3、如图，点D、E在△ABC的边AB、AC上．
(1)若∠1=∠2，则_________∽__________； (2)若∠2=∠B，则_________∽_________．
4、如图，已知AE与CD交于点B，AC∥DE，求证：△ABC∽△EBD。
5、如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠ABC的平分线交AC于D，
证明：△ABC∽△BDC.
24.3.2相似三角形的判定（第二课时）
学习目标：
1、经历三角形相似的判定方法“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”和“三边对应成比例的两个三角形相似”的探索过程，能运用上述判定方法判定两个三角形相似。
2、培养合情推理与数学说理能力。
学习过程：
一、 创设情境、引入新课
1、要判断两个三角形相似你有几种方法？
有两种方法（1）是根据定义；（2）是有两个角对应相等的两个三角形相似。
二、 合作交流，解读探究
探 索： 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似吗？
总结另一种判断相似的方法：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．
符号语言：
∵，
∴△ABC ∽△.
★例题学习：判断图18.3.7中△AEB和△FEC是否相似？
证明：
注意：自己的书写，体现思考问题的逻辑性。
练习：下列各组条件中，不能确定△ABC∽△的是 .
⑴∠A＝∠A′＝80°，∠B＝40°，∠C′＝60°；
⑵∠A＝∠A′，AB＝12，AC＝15，A′B′＝16，A′C′＝20；
⑶∠A＝∠A′，AB＝15，BC＝10，A′B′＝18，B′C′＝12.
小常识：相似中最常见的基本图形，1：“母子型”或“A型”；:2：“兄弟型”或“X型”。
（任务二）探索三边对应成比例的两个三角形是否相似。
完成课本58页下面的做一做，并将你发现的结论写在下面： 。
例题学习：请先遮住例4的解答自已做一遍，然后对照教材的解答过程检查和评析自己的解答。（注意：在求对应边之比时，要按先后顺序。）
如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．
※学法指导：证明两个三角形相似，应先分析欲证的两个三角形已经具备了哪些条件，还缺什么条件。具体分析如下：已有一对对应角相等，可再找另一角相等或夹已知角的两边对应成比例；已有两边对应成比例，可再找这两边的夹角对应相等或第三边的比值与前两对应边之比相等；对于特殊的三角形，我们可根据其特点寻找独特的方法。
三 、应用新知，体验成功：
如图，正方形ABCD中，E是BC上一点，且BE=3EC
F是CD的中点，试说明△ADF∽△FCE。
四、 达标测试，巩固提高：
1、在△ABC中，AB:BC:CA=2:3:4，在△A1B1C1中，A1B1=1，C1A1=2，当B1C1=______时，△ABC∽△A1B1C1。
2.如下图左一，若，则∠BAD＝∠ ，______∽________。
3、如上图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端分别在CB、CD上滑动，那么当CM=________时，△ADE与△MNC相似.
4、如上图右一，△PCD是等边三角形，且C、D在线段AB上，（1）当AC、CD、DB满足什么条件时，△ACP∽△PDB？（2）当以上两三角形相似时，求∠APB的度数。
5、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ）
6、如图，E是四边形ABCD的对角线上一点，且，∠1＝∠2.
试说明：∠ABC＝∠AED.
7、如图，AD·AB＝AF·AC.试说明：△DEB∽△FEC.
24.3.3相似三角形的性质
学习目标：
经历探索相似三角形性质的过程。
能运用性质进行有关的计算。
学会合情推理和数学说理。
学习过程：
一、温故知新，引入新课
识别两个三角形相似的简便（判定）方法有哪些？
二、合作交流，解读探究
1、想一想：我们知道相似的两个三角形，它们的对应边成比例，对应角相等。如果两个三角形相似，那么对应边上的高有什么关系呢？
２、两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，还可以得到许多有用的结果．例如，在图18.3.9中，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，其中AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，那么AD、 A′D′之间有什么关系？
解：∵AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高
∴∠ADB=∠A′D′B′
∵△ABC∽△A′B′C′
∴∠B＝∠B′
∴_________∽_________( )
∴
归纳：相似三角形对应高的比等于 。
3、议一议：同学们用上面类似的方法，得出：在上面的例题中，若AD、分别是△ABC、△对应边BC、边上的中线，AD、的关系怎样呢？是角平分线呢？分别写出各自的推理过程。
4、做一做课本６１页“思考”中的两个问题，想一想：两个相似三角形的周长之比是什么？
三、挑战自我，再探新知
１、做一做课本60页填空：
从上面的结果，我们提出怎样的猜想 当相似比为k时，面积比又是多少？
归纳：由此我们得到:相似三角形的面积比等于 。
例：已知：△ABC∽△,且相似比为k, AD、分别是△ABC、△对应边BC、边上的高，求证：=
证明：
四、应用新知，体验成功
课本61页练习
五、达标测试、 巩固提高
1.如果两个相似三角形的相似比为1：4，则这两个相似三角形对应高的比为 ，对应角平分线的比为 ，对应角中线的比为 ，周长之比为 ，面积之比为 。
2.如图：D是△ABC的边AB上一点，过D作DE∥BC交AC于E，已知AD：BD=3：2，则Ｓ△ＡＢＣ ：Ｓ四边形ＢＣＥＤ＝
3.已知：在△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30㎝,AD=10㎝,求矩形EFGH的面积。
4、∽相似比为，若
的面积18,那么
的面积是_________.
5、两个相似三角形的相似比为2∶3，它们周长的差是25，那么较大三角形的周长是________，这两个三角形的面积比为________；把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的0.5倍，那么边长应缩小到原来的________倍。
6、如右图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O， 则等于（ ）
A． B． C． D．
7、如下图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高.（1）则图中有几对相似三角形;
（2）若AD=9 cm,CD=6 cm,求BD;（3）若AB=25 cm,BC=15 cm,求BD.
8、如图，在△ABC中EF∥BC且EF=
BC=2 cm，△AEF的周长为10 cm，求梯形BCFE的周长.
24.3.4相似三角形的应用（1）
学习目标：
1、认识现实生活中物体的相似，能利用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题。
2、通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，培养分析问题、解决问题的能力．
学习过程：
创设情景，引入新课
1、说一说相似三角形的判定方法有哪些，相似三角形的性质有哪些？
2、大家都知道矗立在城中的科技大楼是我们这里比较高的楼，那么科技大楼有多高呢？
我们如何用一些简单的方法去测量出科技大楼的高度呢？
二 合作交流，解读探究
导入新课：阅读课本62页例6完成下列任务：
例6中当金字塔的高度不能直接测量时，本题中构造了_______和_______相似，且_______、 ________、_________是已知或能测量的。
说一说测量金字塔高度的方案并加以证明。
【学法指导】同一时刻太阳光是平行直线，从而得到角相等，得到相似三角形。
例7中河的宽度也是无法直接测量的，本题中构造了_________和________相似，且_______、 __________、__________是已知或能测量的。
说一说测量河的宽度的方案并加以证明。
三、应用新知，体验成功
以上两例题向我们提供了利用相似三角形进行测量的方法。相似三角形的知识在实际应用中非常广泛，主要是运用相似三角形的有关性质来测量计算一些不易直接测量的物体的高度和宽度，解题时应先分析问题中哪些是相似图形，哪些是相等的角，哪些是成比例线段，已知的是哪些条件，要求的是什么，然后利用所学的相似三角形的知识把已知与未知联系起来，建立数学模型并解决。常见的相似模型有：
阅读例8 并说明它是如何利用相似三角形的性质来证明线段成比例的？
【学法指导】要将乘积式变为比例式。
现在同学们应该知道该怎么样去计算科技大楼的高度了吧？
【方法归纳】测高的方法： 测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻物高与影长的比例”的原理解决。 测距的方法： 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解
课堂练习:：课本63页1，2题
四 达标测试，巩固提高
1、某一时刻树的影长为8米,同一时刻身高为1.5米的人的影长为3米,则树高为
2、如图，某测量人员与标杆顶端F、电视塔顶端在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.6米，标杆FC=3.2米，且BC=1米，CD=5米，求电视塔的高度ED.
3、如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度（ ）
A．增大1.5米 B. 减小1.5米 C. 增大3.5米 D. 减小3.5米
4、如上图（右）马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目．跷跷板支柱AB的高度为1.2米．
（1）若吊环高度为2米，支点A为跷跷板PQ的中点，狮子能否将公鸡送到吊环上？为什么？
（2）若吊环高度为3.6米，在不改变其他条件的前提下移动支柱，当支点A移到跷跷板PQ的什么位置时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上？
5、小强用这样的方法来测量学校教学楼的高度：如图，在地面上方一面镜子，（镜子的高度不计），他刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，他请同学协助量了镜子与教学楼的距离EA=21米，以及他与镜子的距离CE=2.5米，已知他的眼睛距离地面的高度DC=1.6米，请你帮助小强计算出教学楼的高度。（根据光的反射定律：反射角等于入射角）
24.3.4相似三角形的应用（2）
学习目标：
1、认识现实生活中物体的相似，能利用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题。
2、通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，培养分析问题、解决问题的能力．
一、温故知新：
1、第一节我们学习了利用相似三角形的知识来计算那些不能直接测量到的物体的高度和宽度，认识到数学知识在实践中是应用广泛的，那么这节课，我们接着来学相似三角形的另一个应用：等分线段。
2、请同学们画出过直线外一点C且平行于直线AB的直线CD。
二.、新知自学：
将某件物品等分是生活中经常会遇到的事情．例如将一根绳子平均分成五段，从数学上看，就是将一条线段五等分．
你知道下面这个简单的方法吗？如图1，将这条线段画在你的练习本上，使它恰好跨过六条横线．现在，你看到这条线段被分成了相等的五小段．
如果你没有练习本，那也没有关系．让我们按照上面的想法，用三角尺完成等分线段这件事情．
图1
图2
图2
如图2，过线段AB的一个端点A任意画一条射线AP，在AP上依次取五段相等的线段、、、、，连结，再过、、、分别画的平行线，这些平行线就恰好将线段AB平均分成五等分．
你想知道其中的原因吗？想想相似图形的特征与性质，你就会明白了．
现在，你会画了吗？想想，要把线段AB分成2：3的两部分，能画吗？
巩固练习：利用刚才学的方法把线段AB七等分。
三、探究合作展示：
1．已知一根3米的标杆垂直于地面，同时测得其影长为1．8米，小明为了测量自己的身高，请同学量得自己的影长为1．06米，则小明的身高为_________米．
2．如图，小明在测量学校旗杆高度时，将3米长标杆插在离旗杆8米的地方，已知旗杆高度为6米，小明眼部以下距地面1．5米，这时小明应站在离旗杆_________米处，可以看到标杆顶端与旗杆顶端重合．
3．如图，铁道口的栏杆短臂长1米，长臂长16米，当短臂的端点下降0．5米时，长臂端点应升高_________米．
4．小华做小孔成像实验(如图所示)，已知蜡烛与成像板之间的距离为15cm，则蜡烛与成像板之间的小孔纸板应放在离蜡烛________cm的地方时，蜡烛焰AB是像A′B′的一半．
5．如图所示，有一池塘，要测量两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C连结AC并延长到D，使CD=CA，连结BC并延长到E．使CE=CB，连结ED，如果量出DE的长为25 m，那么池塘宽AB为_________m．
6．如图，△ABC中，DE∥BC，BC＝6，梯形DBCE面积是△ADE面积的 3倍，求DE的长．
7、如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CE⊥AB，垂足为E，BG⊥AP，垂足为G，求证：CE=PE·DE．
8、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BG⊥AC交CD于点E，垂足是G，求证：BC=CECD．
24.4中位线（第一课时）
学习目标：
１、经历三角形中位线的性质定理形成过程，掌握定理，并能利用它们解决简单的问题。
２、通过命题的教学了解常用的辅助线的作法,并能灵活运用它们解题。
3、通过学习，进一步培养自主探究和合作交流的学习习惯
学习过程：
一、课题导入
1、什么是三角形的中线？
2、在§24．3中，我们曾解决过如下的问题：如图24．4．1，
△ABC中，DE∥BC，则 。
由此可以进一步推知，当点D是AB的中点时，点E也是AC的中点。
现在换一个角度考虑，
如果点D、E原来就是AB与AC的中点，那么是否可以推出DE∥BC呢？
DE与BC之间存在什么样的数量关系呢？
探索新知：
1、猜想
从画出的图形看，可以猜想：① ；② 。
2、动手做一做，动脑想一想：
画出右面三角形中的一条中位线；量一量这条中位线第三边有怎样的数
量和位置关系？
3、验证猜想：
已知：如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，
求证：DE∥BC,DE=
4、①你能否写出三角形中位线定理：
②三角形的中位线有几条？与三角形的中线的区别是什么？三角形的一条中位线与第三边上的中线有什么关系？
③等边三角形ABC的中位线DE=3cm,则△ABC的周长等于________cm。
④已知三角形各边长分别是6cm,8cm,10cm,则连接各边中点所成三角形的周长为________cm.。
三、建立模型，解决问题
已知正方形的边长为2cm,求各边中点围成的四边形周长_________；
已知矩形长8cm,宽6cm,求各边中点围成的四边形周长_________；
菱形告诉对角线长为10cm，14cm,会求各边中点围成的四边形周长吗？
再观察下图，一般四边形ABCD,点E、F、G、H分别是AB、
BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形。
任意画一个三角形，做出三边上的中线，
观察三条中线是否相交于一点？
若这三条中线相交于一点，这一点与一边中点的连线的长与对应中线的比是多少
得出如下性质：
三角形三条边上的中线交于________点，这个点就是三角形的_____，_____与一边中点的连线是对应中线长的______。
四、巩固提高
1、顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得的图形是_____.
2、顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点所得的图形是_____.
3、如下图左二，D、E、F分别为△ABC三边上的中点，G为AE的中点，BE与DF、DG分别交于P、Q两点，则PQ∶BE＝ .
4、如下图左一，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，又AB＝DC，下列结论：①EFGH为矩形；②FH平分EG于T；③EG⊥FH；④HF平分∠EHG.其中正确的是（ ）
A、①和② B、②和③ C、①②④ D、②③④
EMBED PBrush
EMBED PBrush
5、如上图左三，已知△ABC的周长为1，连结△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，依此类推，第2008个三角形的周长为（ ）
A、
B、
C、
D、
6、如上图右一，在△ABC中，D、E、F分别是各边的中点，AH是BC边上的高．
(1)试判断四边形DHEF是什么样的四边形，并证明之；
(2)①当AB、AC之间满足什么关系时，四边形DHCF是平行四边形 并请证明之；②四边形DHCF能否为矩形或菱形 (直接写出结论．不要证明)
24.4中位线 （第二课时）
学习目标：
1、在经历观察、操作、探索三角形中位线及重心的基础上，进一步掌握梯形中位线的定义和推理过程。
2、通过梯形中位线定理的推理证明，渗透数学中的转化思想，培养自主探究、猜想、推理论证的能力，并能应用定理解决问题。
学习过程：
一、复习旧知，引入新知：
1、三角形的中位线定理的内容是什么？三角形的重心定理的内容是什么？
2、在△ABC中，D、E分别是AC、BC、AB的中点，已知AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，则DE= cm，△DEF的周长为 cm。
3、梯形中常见的辅助线有哪些？试举例说明。
二、讨论交流，探究新知
1、仿照三角形的中位线定义写出梯形的中位线定义。
2、在课本后的方格纸上任意画一个梯形（四个顶点均在格点上），找出两腰的中点，连接两点，用刻度尺测量梯形上底、下底与两腰中点连线的长度，并思考三者之间有何关系并加以归纳（包括数量关系和位置关系）。（个体思考探究）
3、试着说出梯形中位线定理的题设和结论，并根据题设和结论画出图形，写出该定理的已知和求证，并思考如何用理论证明。（个体思考后小组交流）
学法指导：转化的思想是一种重要的数学思想，化未知为已知，化难为易是我们解决新问题和难题时必备的一种思路，所以当你遇到新的问题和难题时，不要害怕，要积极的去思考如何转化为我们已学过的知识解决。想一想，你学过哪些与中位线有关的内容。
小组交流：如何证明梯形中位线定理？并根据不同的证明方法归纳梯形辅助线的添加方法。
4、如图1，梯形ABCD的面积可以表示为S梯形ABCD= ，现在你学习了梯形的中位线，不知道你能否把这一公式进行变形？变形后的几何意义又是怎样的？
三、应用新知，体验成功
教材P70练习1、2、3
四、达标测试，巩固提高
1、★如果梯形的上底长4cm，中位线长5cm，则梯形下底长为 cm。
2、★★已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC=6，BD=8，则梯形中位线长为 。
3、一张等腰三角形纸片，底边长l5cm，底边上的高长22．5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( ) A．第4张 B．第5张 C.第6张 D．第7张
4、★★★等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长8cm，求它的高。
5、如图所示的梯形梯子，AA′∥EE′，AB＝BC＝CD＝DE，A′B′＝B′C′＝C′D′＝D′E′，AA′＝0．5m，EE′＝0．8m．求BB′、CC′、DD′的长．
6、四边形ABCD中，AC=6，BD=8，且AC⊥BD．顺次连结四边形ABCD各边中点，得到四边形ABCD；再顺次连结四边形ABCD各边中点，得到四边形ABCD；……如此进行下去得到四边形ABCD
(1)求证：四边形ABCD是矩形(2)写出四边形ABCD和ABCD的面积；
(3)写出四边形ABCD的面积；(4)求四边形ABCD的周长．
24.5画相似图形
学习目标：
了解图形的位似，能利用位似的方法，将一个图形放大和缩小。
能根据要求做出简单的平面图形的位似图形，掌握画位似图形的三种方法。
经历观察、操作认识图形的相似变换，探索它的基本特征，学会在实践中发现规律。
学习过程：
一 创设情景，引入新课
想一想：你会在格点图或方格图中，画出一个和已知图形相似，且与其相似比为2:1的图形吗？如果没有了方格纸或格点图，你还能不能正确的画出符合条件的相似图形呢？
二 合作交流，解读探究
下面介绍一种特殊的画相似多边形的方法．
现在要把多边形ABCDE放大到1.5倍，即新图与原图的相似比为1.5．我们可以按下列步骤画出图：
1. 任取一点O；
2. 以点O为端点作射线OA、OB、OC、…；
3. 分别在射线OA、OB、OC、… 上，取点A′、B′、 C′、…，使OA′∶OA＝OB′∶OB＝OC′∶OC＝…＝1.5；
4. 连结A′B′、B′C′、…，得到所要画的多边形A′B′C′D′E′．
归纳总结1：位似图形的定义
如果两个图形不仅 ，而且各对对应点的连线都 ，像这样的相似叫 ，这点叫做 。注意：位似图形 是相似图形，而相似图形 是位似图形（填写“一定”或“不一定”）
利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小．
要画四边形ABCD的位似图形，还可以任取一点O，如图18.4.2，作直线OA、OB、OC、OD在点O的另一侧取点A′、B′、C′、D′，使OA′:OA＝OB′∶OB＝O C′∶OC＝OD′∶OD＝2，也可以得到放大到2倍的四边形A′B′C′D′．
实际上，如图18.4.3所示，如果把位似中心取在多边形内，那么也可以把一
个多边形放大或缩小，而且较为简便．
三 应用新知，体验成功
1、试一试：我们利用位似的方法可以把一个多边形放大或缩小。用位似法把已知四边形ABCD缩小一半。完成作图后与小组交流作图的步骤，各组选一名代表发言，并观察位似中心的选取是否一致？位似中心的选取会有几种情况？
2、想一想 你会确定位似图形的位似中心吗
3、练一练 独立完成课本72页习题24.5，小组内相互检查作图情况。
四 达标测试，巩固提高
1、下列说法正确的是（ ）
A．两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定全等；
B．两个图形如果是位似图形，那么这两个图形不一定相似；
C、两个图形如果是相似图形，那么这两个图形一定位似；
D、两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定相似。
2、如果四边形ABCD的位似图形为四边形 A′B′C′D′,且O为位似中心，则下列说法中，正确的是（ ）
A、O一定在四边形ABCD外 C、若OA:O A′=1:2,则可得到放大两倍的位似形
B、O不能在四边形ABCD上 D、O在四边形ABCD外时，只能得到放大的位似形
3、将一个多边形放大为原来的3倍，则放大后的图形可作出_______个，其原因是________
4、把甲图放大1.5倍后得到乙图，再把乙图缩小2倍得丙图，则甲图与丙图的相似比为___
5、如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（ ）
A． B． C． D．
6、如图所示，请你找出这对位似图形的位似中心点O的位置。
7、请用位似的方法把图18—73放大1倍，要求位似中心在AB边上．
8、一条河的两岸有一段是平行的，在河的这一岸每隔5米有一棵树，在河的对岸每隔50米有一根电线杆，在这岸离开岸边25米处看对岸，看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河宽.
24.6.1 用坐标确定位置
学习目标：学会用坐标确定位置。
一、温故知新：
1．什么是平面直角坐标系 建立了平面直角坐标系后，平面的点可以用什么来描述
2．画一个直角坐标系，并描出点A(1，2)，B(－3， 5)，C(4，5)，D(0，3)的位置。
二、新知自学：
在地图上，应用直角坐标系确定一些建筑物的位置，用坐标来表示，就能比较容易地找出目的地。
试一试：图24．6．2是某乡镇的示意图．试建立直角坐标系，用坐标表示各地的位置：
在方格图中，选定一个确定的点为坐标原点，横线所在直线为x轴，建立直角坐标系，如以王马村希望小学为原点，则各点位置的坐标是：希望小学的坐标( )、大山镇是( )、＿＿＿乡(2，5)、小学是 （ ）、爱心中学( )、马村是( )、映月湖为( )，同学们互相对照一下，建立的直角坐标系是否相同呢 选定的坐标单位会一样吗 各点的坐标是否一样 有了平面直角坐标系，我们可以毫不费力地在平面上确定一个点的位置，平面直角坐标系中，用一对有顺序关系实数来描述一个点的位置，在现实生活中，我们能看到许多这种方法的应用：如用经度和纬度来表示一个地点在地球上的位置、电影院的座号用几排几座来表示，国际象棋中竖条用字母表示，横条用数字表示等。
除了用坐标形式表示物体的位置之外，我们还经常用到的还有用一个方向的角度和距离来表示一个点的位置。
如小明去某地考察环境污染问题，并且他事先知道，“悠悠日用化工品厂”在他现在所在地的北偏东30度的方向，距离此地3千米的地方，根据这个角度和距离，我们可以画出这个工厂与现在所处位置的图形。
三、探究合作展示、
已知下列点的坐标，在平面直角坐标系中正确标出这些点并且依次把它们连结起来，观察得到的图形，你觉得它像什么？
（0，2），（0，0），（1，3），（2，3），（3，2），（3，0），（1，－1），（2，－1），（1，－3），（0，－1），（－1，－3），（－2，－1），（－1，－1），（－3，0），
（－3，2），（－2，3），（－1，3），（0，0）．
四、巩固训练、
1、如图，已知棋子“车”用（－2，3）表示，棋子“马”用（1，3）表示，则棋子“炮”可以表示为的（ ）
A．（3，2） B．（3，1）
C．（2，2） D．（－2，2）
2、面直角坐标系中的点P关于轴的对称点在第四象限，则的取值范围在数轴上可表示为（ ）
3、如图，我们给中国象棋棋盘建立一个平面直角坐标系（每个小正方形的边长均为1），根据象棋中“马”走“日”的规定，若“马”的位置在图中的点P．
⑴写出下一步“马”可能到达的点的坐标
；
⑵顺次连接⑴中的所有点，得到的图形是
图形（填“中心对称”、“旋转对称”、“轴对称”）；
⑶指出⑴中关于点P成中心对称的点 ．
4、如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似形，点F的坐标为（1，1），点C的坐标为（4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是 ．
5、在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形，在如图5×5的方格中，作格点△ABC和△OAB相似(相似比不为1)，则点C的坐标是____________.
24.6.2 图形的变换与坐标
学习目标：能根据图形的变换得到坐标的变换。
一、温故知新：
1．△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AC＝5，建立直角坐标系，写出各顶点的坐标。
2．你能画与△ABC成轴对称的三角形吗 请画一个以直线BG为对称轴的三角形。
二、新知自学：
如果以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，建立直角坐标系，上述(1)的各顶点坐标为多少
1．把三角形向右边移动3个单位，问：
(1)这时三角形的位置发生了什么变化
(2)这时三角形的三个顶点的坐标有什么变化，写出它们这个位置时的三个顶点坐标。
(3)比较相应顶点的坐标，它们之间存在什么相同之处
相应顶点的横坐标都增加了____个单位，而纵坐标都________。
2．把三角形向左平移4个单位后，以同样的问题回答。
发现相应顶点横坐标________________，纵坐标___________。
3．把三角形再变换一个位置后，向左、右两边平移，观察各对应顶点的坐标的变化。
问：由上述的几个变换过程，可以得到一个图形沿x轴左、右平移，它们的纵坐标，横坐标各有什么变化
它们的纵坐标都_________，横坐标_______。向右平移几个单位，横坐标就_______几个单位；向左平移几个单位，横坐标就_______几个单位。
4．若把这个三角形沿y轴上、下平移呢
它们的纵坐标都_________，横坐标_______。向上平移几个单位，纵坐标就_______几个单位；向下平移几个单位，纵坐标就_______几个单位。
思考：△AOB关于x轴的轴对称图形△OA′B，对应顶点的坐标有什么变化呢
关于x轴对称，由于O、B在对称轴上，其坐标不变，那么点 A与对称点A′关于x轴对称，它们的横坐标______，纵坐标___________，这就得出关于x轴对称的对称点的坐标的特点是：横坐标______，纵坐标__________。
△AOB关于y轴的轴对称图形△AlOBl，对应顶点的坐标有什么变化
得出关于x轴或y轴成对称的对应点的坐标的关系：
关于x轴对称的对称点的横坐标_______，纵坐标_____________。
关于y轴对称的对称点的纵坐标_______，横坐标_____________。
课本91面图18．5.7，△AOB的各顶点坐标是什么 0(0，0)，A(2，4)，B(4，0)，缩小后得到的△COD，各顶点的坐标是什么呢 O(0，0)，C(1，2)，D(2，0)，比较各对应顶点的坐标有什么呢 它们的横纵坐标都按比例缩小，这种变化与它们的相似比有什么关系呢
三、探究合作展示：
线段AB的两端点A(1，3)，B(2，－5)。
(1)把线段AB向左平移2个单位，则点A、B的坐标为：A＿＿B＿＿。
(2)线段AB关于x轴对称的线段A′B′,则其坐标为：A′＿，B′＿。
(3)把线段AB向上平移2个单位得线段A1Bl，AlBl关于y轴对称的线段A2B2，那么点A2的坐标为＿＿＿，点B2的坐标为＿＿＿。
（第1题）
四、巩固训练：
1．将图中的△ABC作下列变换，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化．
（1） 沿y轴正向平移2个单位；
（2） 关于y轴对称；
（3） 以点B为位似中心，放大到2倍．
2、如上图（中），在平面直角坐标系中，请按下列要求分别作出△ABC变换后的图形（图中每个小正方形的边长为个单位），并写出变换后△ABC各顶点的坐标.
（1）向右平移个单位；（2）关于轴对称.
3、将点A (3 , l)绕原点O按顺时针方向旋转900到点B，则点B的坐标是 .
4、如图，将边长为1的正三角形沿轴正方向连续翻转2008次，点依次落在点的位置，则点的横坐标为 ．
5、如图，的顶点的坐标为（4，0），把沿轴向右平移得到如果那么的长为 ．
6、如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点P处开始依次关于点A、B、C作循环对称跳动，即第一次跳到点P关于点A的对称点M处，接着跳到点M关于点B的对称点N处，第三次再跳到点N关于C的对称点处，…．如此下去。
（1）在图中画出点M、N，并写出点M、N的坐标：_____________
（2）求经过第2008次跳动之后，棋子落点与点P的距离。
A’
B’
C’
D’
A
B
C
D
A.
图1
图18.4.3
P