第四章 4.1 第2课时
请同学们认真完成练案[2]
A 组·素养自测
一、选择题
1．已知数列{an}中，an＋1＝an＋2＋an，a1＝2，a2＝5，则a6＝( A )
A．－3 B．－4
C．－5 D．2
[解析] 由an＋1＝an＋2＋an得a3＝3，a4＝－2，a5＝－5，a6＝－3．
2．(多选题)如果{an}为递增数列，则{an}的通项公式可以为( AD )
A．an＝2n＋3 B．an＝－n2－3n＋1
C．an＝n D．an＝1＋log2n
[解析] A是n的一次函数，一次项系数为2，所以为递增数列；
B是n的二次函数，二次项系数为－1，且对称轴为n＝－，所以为递减数列；
C是n的指数函数，且底数为，是递减数列；
D是n的对称数函数，且底数为2，是递增数列．
3．在数列{an}中，a1＝，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，则a5等于( B )
A．－ B．
C．－ D．
[解析] ∵a1＝，an＝(－1)n·2an－1，
∴a2＝(－1)2×2×＝，
a3＝(－1)3×2×＝－，
a4＝(－1)4×2×(－)＝－，
a5＝(－1)5×2×(－)＝.
4．数列{an}中，a1＝1，以后各项由公式a1·a2·a3·…·an＝n2给出，则a3＋a5等于( C )
A． B．
C． D．
[解析] ∵a1·a2·a3·…·an＝n2，
∴a1·a2·a3＝9，a1·a2＝4，∴a3＝.
同理a5＝，∴a3＋a5＝＋＝.
5．数列{an}的构成法则如下：a1＝1，如果an－2为自然数且之前未出现过，则用递推公式an＋1＝an－2，否则用递推公式an＋1＝3an，则a6＝( C )
A．－7 B．3
C．15 D．81
[解析] 由a1＝1，a1－2＝－1 N，得a2＝3a1＝3．
又a2－2＝1＝a1，故a3＝3a2＝9．
又a3－2＝7∈N，故a4＝a3－2＝7．
又a4－2＝5∈N，则a5＝a4－2＝5．
又a5－2＝3＝a2，所以a6＝3a5＝15．故选C．
6．数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列中的最大值是( B )
A．107 B．108
C．108 D．109
[解析] 由已知，得an＝－2n2＋29n＋3＝－22＋108，由于n∈N*，故当n取距离最近的正整数7时，an取得最大值108．所以数列{an}中的最大值为a7＝108．
二、填空题
7．已知数列{an}的通项公式an＝3n－1(n∈N*)，通过公式bn＝构造一个新数列{bn}，那么{bn}的前五项为__，，，，__.
[解析] ∵an＝3n－1(n∈N*)，
∴an＋1＝3(n＋1)－1＝3n＋2，
∴bn＝＝.
∴b1＝，b2＝，b3＝，b4＝，b5＝.
8．若数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则a4＝__7__，通项公式an＝____.
[解析] a4＝S4－S3＝16＋1－9－1＝7，
an＝，即an＝.
三、解答题
9．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an.
(1)写出数列{an}的前5项；
(2)猜想数列{an}的通项公式．
[解析] (1)∵a1＝1，an＋1＝an，
∴a2＝×1＝，
a3＝×＝，
a4＝×＝，
a5＝×＝.
(2)猜想：an＝.
10．(2020·上海市上海中学高一期末)已知数列{an}满足a1＝1，其前n项和是Sn，对任意正整数n，Sn＝n2an，求此数列的通项公式．
[解析] ∵Sn＝n2an，∴n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1，化为＝，
∴an＝···…···a1
＝···…···1
＝，
n＝1时也成立，∴an＝.
B 组·素养提升
一、选择题
1．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an－1(n∈N*)，则a1 000＝( A )
A．1 B．1 999
C．1 000 D．－1
[解析] a1＝1，a2＝2×1－1＝1，a3＝2×1－1＝1，a4＝2×1－1＝1，…，可知an＝1(n∈N*)．
2．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N＋)，则a20＝( B )
A．0 B．－
C． D．
[解析] ∵a1＝0，a2＝＝－，a3＝＝，a4＝＝0，….
至此可知：数列{an}的各项的值依次为0，－，，0，－，，0，…，周而复始．
∵20＝3×6＋2，∴a20＝a2＝－.
3．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于( C )
A．－165 B．－33
C．－30 D．－21
[解析] 由已知得a2＝a1＋a1＝2a1＝－6，∴a1＝－3．
∴a10＝2a5＝2(a2＋a3)＝2a2＋2(a1＋a2)＝4a2＋2a1＝4×(－6)＋2×(－3)＝－30．
4．观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样10条直线相交，交点的个数最多的是( B )
A．40个 B．45个
C．50个 D．55个
[解析] 交点个数依次组成数列为1,3,6，即，，，由此猜想an＝，
∴a10＝＝45．
二、填空题
5．已知Sn是数列{an}的前n项和，且满足Sn＝n2＋n(n∈N*)，则S3＝__12__，数列{an}的通项公式an＝__2n__.
[解析] 由Sn＝n2＋n，所以S3＝9＋3＝12．
当n＝1时，a1＝S1＝1＋1＝2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，当n＝1时，得a1＝2成立，所以an＝2n.
6．若数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋13n，关于该数列，有以下四种说法：
(1)该数列有无限多个正数项．
(2)该数列有无限多个负数项．
(3)该数列的最大项就是函数f(x)＝－2x2＋13x的最大值．
(4)－70是该数列中的一项．
其中正确说法的序号为__(2)(4)__.
[解析] 令－2n2＋13n>0，得0
令－2n2＋13n＝－70，得n＝10，或n＝－(舍去)．
即－70是该数列的第10项，所以(4)正确．
三、解答题
7．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n＋1，求{an}的通项公式an.
[解析] 因为数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n＋1，
所以a1＝S1＝2×12－3×1＋1＝0，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n＋1)－[2(n－1)2－3(n－1)＋1]＝4n－5．
n＝1时，4n－5＝－1≠a1，所以{an}的通项公式an＝(n∈N*)．
8．已知数列{an}满足a1＝，n≥2时，anan－1＝an－1－an，求数列{an}的通项公式．
[解析] 因为anan－1＝an－1－an，
所以n≥2时，＝＋＋＋…＋＝2＋1＋1＋…＋＝n＋1．所以＝n＋1，所以当n≥2时，an＝.当n＝1时，a1＝也适合上式，所以an＝(n∈N*)．(共49张PPT)
第四章
数 列
4.1 数列的概念
第2课时 数列的通项公式与递推公式
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
课程目标 学法指导
1．借助教材实例理解递推公式的含义． 2．能根据递推公式确定数列的前几项. 与通项公式类似，递推公式也是给出数列的一种方式.
必备知识·探新知
数列的递推公式
知识点1
数列的表示法 意义 结构
通项公式 an可以用关于____的式子表示 an＝f(n)
递推公式 数列的___________或_______之间的关系可以用一个式子表示 an＝f(an－1)(n>1)
n
相邻两项
多项
知识解读：(1)与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式．
(2)用递推公式给出一个数列，必须给出：
①“基础”——数列{an}的第1项(或前几项)；
②递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an－1(n≥2)(或前几项)间的关系，并且这个关系可以用一个公式来表示．
1．数列前n项和的概念
我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝_________________.
2．前n项和Sn与an的关系
如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式．
显然S1＝a1，而Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥2)，
于是我们有an＝_________________.
数列{an}的前n项和
知识点2
a1＋a2＋…＋an
关键能力·攻重难
(1)数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)，那么a4的值为 ( )
A．4 B．8
C．15 D．31
[解析] 因为数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)，所以a2＝2a1＋1＝2＋1＝3，a3＝2a2＋1＝6＋1＝7，a4＝2a3＋1＝14＋1＝15．
题型探究
题型一 由递推公式写出数列的前几项
典例 1
C
(2)已知数列{an}，a1＝1，a2＝2，an＝an－1＋an－2(n≥3)，则a5＝____.
[解析] 由题知a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝5，a5＝a4＋a3＝8．
8
③因为a1＝3＝1＋2×30，
a2＝7＝1＋2×31，
a3＝19＝1＋2×32，
a4＝55＝1＋2×33，
a5＝163＝1＋2×34，
所以an＝1＋2×3n－1．
[规律方法] 由递推公式写数列的项
(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．
(2)解答这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式．
(3)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．
题型二 由数列的递推公式求通项公式
典例 2
C
C
题型三 由前n项和Sn求通项公式
典例 3
第三步，在第二步求得的an的表达式中取n＝1，判断其值是否等于a1；
第四步，写出数列的通项公式(若第三步中n＝1时，an表达式的值不等于a1，则数列的通项公式一定要分段表示)．
【对点训练】 (2021·广东实验中学段考)已知数列{an}的前n项和为
Sn，且满足log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为_____________.
[分析] 判断数列的单调性，寻求数列的最大项，或假设an是数列的最大项，解不等式(组)．
题型四 数列的单调性
典例 4
89
已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋tn，若数列{an}为递增数列，则t的取值范围是______________.
[错解] [－2，＋∞)
易错警示
典例 5
用函数思想解题时忽略数列的特征而致错
(－3，＋∞)
课堂检测·固双基
1．函数f(x)满足f(1)＝1，f(n＋1)＝f(n)＋3(n∈N*)，则f(n)是 ( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．不能确定
[解析] ∵f(n＋1)－f(n)＝3(n∈N*)，
∴f(2)>f(1)，f(3)>f(2)，f(4)>f(3)，…，
f(n＋1)>f(n)，…，
∴f(n)是递增数列．
A
A
B
4．(2020·四川成都高一期末)已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n－1，则此数列的通项公式为____________.
[解析] 当n＝1时，a1＝S1＝2－1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1．
又21－1＝1，所以an＝2n－1．
an＝2n－1
5．已知数列{an}满足a1＝1，an＋2－an＝6，则a11的值为_____.
[解析] a3＝6＋a1＝7，
a5＝6＋a3＝13，
a7＝6＋a5＝19，
a9＝6＋a7＝25，
a11＝6＋a9＝31．
31
素养作业·提技能第四章 4.1 第1课时
请同学们认真完成练案[1]
A 组·素养自测
一、选择题
1．下面四个结论：
①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3，…，n})上的函数；
②数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；
③数列的项数是无限的；
④数列通项的表示式是唯一的．
其中正确的是( A )
A．①② B．①②③
C．②③ D．①②③④
[解析] 数列的项数可以是有限的也可以是无限的．数列通项的表示式可以不唯一．例如数列1,0，－1,0,1,0，－1,0，…的通项可以是an＝sin，也可以是an＝cos等等．
2．已知数列{an}的通项公式an＝则a2a3的值是( D )
A．70 B．28
C．20 D．16
[解析] a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3－1＝8，a2a3＝16．故选D．
3．(2021·河北武邑中学质检)大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上的第一道数列题．其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，…，则此数列的第20项为( B )
A．212 B．200
C．186 D．162
[解析] 由0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，…，可得偶数项的通项公式为a2n＝2n2，则a20＝2×102＝200，即此数列的第20项为200．
4．(2020·陕西省渭南市期末)在数列1,2，，，，…中，2是这个数列的( C )
A．第16项 B．第24项
C．第26项 D．第28项
[解析] 数列各项可化为，，，，，…，故an＝(n∈N*)．由＝2可得n＝26，即2是这个数列的第26项．
5．已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是( A )
A．递增数列 B．递减数列
C．摆动数列 D．常数列
[解析] an＝＝2－单调递增．故选A．
6．已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋21n，则该数列中的数值最大的项是( A )
A．第5项 B．第6项
C．第4项或第5项 D．第5项或第6项
[解析] an＝－2(n－)2＋，因为n∈N*,5<<6，且a5＝55，a6＝54，所以数值最大的项为第5项．故选A．
二、填空题
7．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋)，则数列{an}的最大项是第__6__项．
[解析] an＝＝(1＋)，
当n＞5时，an＞0，且单调递减；当n≤5时，an＜0，且单调递减，
∴当n＝6时，an最大．
8．已知数列{an}满足a1<0，＝2(n∈N*)，则数列{an}是__递减__数列(填“递增”或“递减”)．
[解析] 由已知a1<0，an＋1＝2an(n∈N*)，得an<0(n∈N*)．又an＋1－an＝2an－an＝an<0，所以{an}是递减数列．
三、解答题
9．写出下列数列的一个通项公式．
(1)－，，－，，…；
(2)2,3,5,9,17,33，…；
(3)，，，，，…；
(4)1，，2，，…；
(5)－，，－，，…；
(6)2,6,12,20,30，….
[解析] (1)符号规律(－1)n，分子都是1，分母是n2＋1，∴an＝(－1)n·.
(2)a1＝2＝1＋1，a2＝3＝2＋1，a3＝5＝22＋1，
a4＝9＝23＋1，a5＝17＝24＋1，a6＝33＝25＋1，
∴an＝2n－1＋1．
(3)a1＝＝，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝，…，
∴an＝.
(4)a1＝1＝，a2＝，a3＝2＝，a4＝，…，
∴an＝.
(5)a1＝－＝－，a2＝＝，a3＝－＝－，a4＝＝，
∴an＝(－1)n·.
(6)a1＝2＝1×2，a2＝6＝2×3，a3＝12＝3×4，a4＝20＝4×5，a5＝30＝5×6，∴an＝n(n＋1)．
10．已知数列an＝试求a1＋a100和a1－a2＋a3－a4＋…＋a99－a100的值．
[解析] ∵a1＝1－1＝0，a100＝100．∴a1＋a100＝100．
又a1＝0，a3＝2，a5＝4，…，a99＝98，
而a2＝2，a4＝4，a6＝6，…，a98＝98，a100＝100，
∴a1－a2＋a3－a4＋…＋a99－a100
＝0－2＋2－4＋4－…＋98－100＝－100．
B 组·素养提升
一、选择题
1．对任意的an∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列满足an＋1>an(n∈N*)，则函数y＝f(x)的图象可能是( A )
[解析] 据题意，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}，满足an＋1>an，即该函数y＝f(x)的图象上任一点(x，y)都满足y>x，结合图象，只有A满足，故选A．
2．数列，－，，－，…的一个通项公式为( D )
A．an＝(－1)n B．an＝(－1)n
C．an＝(－1)n＋1 D．an＝(－1)n＋1
[解析] a1＝排除A、B；a3＝排除C，故选D．
3．(2021·新疆乌鲁木齐一中高一检测)已知数列{an}的通项公式为an＝n2－2n，则15是数列{an}的( C )
A．第3项 B．第4项
C．第5项 D．第6项
[解析] 由n2－2n－15＝0，解得n＝－3或n＝5．
∵n∈N*，∴n＝5．故选C．
4．(2021·上海市杨浦高级中学高一检测)已知数列1,0,1,0，…，可猜想此数列的通项公式是( D )
A．an＝1＋(－1)n－1(n∈N*)
B．an＝[1＋(－1)n](n∈N*)
C．an＝[1＋(－1)n＋1]＋(n－1)(n－2)(n∈N*)
D．an＝(1－cos nπ)(n∈N*)
[解析] 对于A选项，a1＝1＋(－1)0＝2≠1，不合题意；对于B选项，a1＝×(1－1)＝0≠1，不合题意；对于C选项，a3＝×[1＋(－1)4]＋2×1＝3≠1，不合题意；对于D选项，当n为奇数时，cos nπ＝－1，此时an＝×(1＋1)＝1，当n为偶数时，cos nπ＝1，此时an＝×(1－1)＝0，符合题意．故选D．
二、填空题
5．已知数列2a－1，a－3,3a－5为递减数列，则a的取值范围为__(－2,1)__.
[解析] ∵数列：2a－1，a－3,3a－5为递减数列，
∴解得－2∴a的取值范围为(－2,1)．
6．设函数f(x)＝数列{an}满足an＝f(n)，n∈N*，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是__(2,3)__.
[解析] 由题意，得点(n，an)分布在分段函数f(x)＝的图象上，
因此当3－a>0时，a1当a>1时，a8为使数列{an}递增还需a7故实数a满足条件解得2故实数a的取值范围是(2,3)．
三、解答题
7．数列{an}中，an＝.
(1)求数列的第7项；
(2)求证：此数列的各项都在区间(0,1)内；
(3)区间(，)内有无数列的项？若有，有几项？
[解析] (1)a7＝＝.
(2)证明：∵an＝＝1－，
∴0(3)∵<<，∴又n∈N*，
∴n＝1，即在区间(，)内有且只有一项a1．
8．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6．
(1)这个数列的第4项是多少？
(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
(3)该数列从第几项开始各项都是正数？
[解析] (1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6．
(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16(n＝－9舍)，即150是这个数列的第16项．
(3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍)，
∴从第7项起各项都是正数．(共47张PPT)
第四章
数 列
4.1 数列的概念
第1课时 数列的概念与简单表示法
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
课程目标 学法指导
1．通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念、表示方法(列表、图象、通项公式)以及数列的分类． 2．了解数列是一种特殊函数，并能通过函数思想研究数列的性质． 3．理解数列的通项公式的意义，并学会求一些简单数列的通项公式. 1．通过身边的具体案例感受数列的相关概念．
2．通过具体的数列，结合函数的概念理解数列的概念及其函数特征．
3．类比函数的表示方法体会数列的表示方法，理解函数解析式与数列的通项公式的关系.
必备知识·探新知
1．定义：按_____________排列的一列数叫做数列．
2．项：数列中的___________叫做这个数列的项．
3．形式：a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}，其中an是数列的第____项，第1项也叫做首项．
数列的概念
知识点1
确定的顺序
每一个数
n
数列{an}是从_____________(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的__________，记为___________.也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序___________时，对应的一列函数值f(1)，f(2)，…，f(n)，…就是数列_______.另一方面，对于函数y＝f(x)，如果f(n)(n∈N*)有意义，那么f(1)，f(2)，…，f(n)，…构成了一个数列{f(n)}．
数列与函数的关系
知识点2
正整数集N*
第n项an
an＝f(n)
依次取值
{an}
知识解读：(1)以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．
(2)数列是以正整数作为自变量的特殊函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法．
(3)要注意数列的特殊性(离散型)．由于数列的定义域是N*(或它的有限子集{1,2，…，n})，所以数列的值域是一系列孤立的实数组成的集合．
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用___________来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
数列的通项公式
知识点3
一个式子
知识解读：对通项公式的几点说明：
(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2，…，n}为定义域的函数的解析式．
(2)利用一个数列的通项公式能解决以下问题：
①求出该数列的各项；
②判断某个数是否为该数列中的项；
③判断该数列的增减性；
④求该数列的最大项和最小项等．
数列的分类
知识点4
分类标准 名称 含义
按项的 个数 有穷数列 项数_______的数列
无穷数列 项数_______的数列
按项的 变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都_______它的前一项的数列
递减数列 从第2项起，每一项都_______它的前一项的数列
常数列 各项都_______的数列
摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
有限
无限
大于
小于
相等
关键能力·攻重难
(1)(多选题)下列说法正确的是 ( )
A．数列4,7,3,4的首项是4
B．数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3
C．数列1,2,3，…是无穷数列
D．a，－3，－1,1，b,5,7,9,11能构成数列
题型探究
题型一 数列的概念及分类
典例 1
AC
[解析] 根据数列的相关概念，可知数列4,7,3,4的第1项就是首项，即4，故A正确．同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误．由无穷数列的概念可知C正确．当a，b都代表数时，能构成数列，当a，b中至少有一个不代表数时，不能构成数列，因为数列是按确定的顺序排列的一列数，故D错误．
[解析] D是有穷数列，A是递减数列，B是摆动数列，故选C．
C
[规律方法] 解答数列概念题要紧扣相关定义，观察数列的项数特征，确定是有穷数列还是无穷数列，观察项的特点、变化规律确定增减性、周期性，也可以借助函数的单调性判断数列的增减．
【对点训练】 (1)下列有关数列的说法正确的是 ( )
①同一数列的任意两项均不可能相同；
②数列－1,0,1与数列1,0，－1是同一个数列；
③数列中的每一项都与它的序号有关．
A．①② B．①③
C．②③ D．③
[解析] ①是错误的，例如无穷个3构成的常数列3,3,3，…的各项都是3；②是错误的，数列－1,0,1与数列1,0，－1各项的顺序不同，即表示不同的数列；③是正确的，故选D．
D
①
②③④⑤
①②
③
⑤
[解析] ①是有穷递增数列，②是无穷递增数列，③是无穷递减数列，④是无穷数列，也是摆动数列；⑤是无穷数列，也是常数列．
写出下列数列的前5项，并作出它们的图象：
(1)按从小到大的顺序排列的所有素数构成的数列；
(2)an＝－n＋1．
题型二 数列的表示方法
典例 2
[解析] (1)前5项为2,3,5,7,11，函数图象如图(1)所示．
(2)前5项为0，－1，－2，－3，－4，函数图象如图(2)所示．
[规律方法] 数列是特殊的函数，其定义域是正整数集(或其有限子集)，故数列也可以用表格和图象来表示．
【对点训练】 你能用列表法和图象法表示数列2,4,6,8,10吗？
[解析] 列表法：
图象法：
n 1 2 3 4 5
an 2 4 6 8 10
[分析] 观察给出的前几项，归纳、猜想出通项公式．
题型三 根据数列的前n项写出数列的一个通项公式
典例 3
(2)将数列的各项分拆成若干个常见数列的“和”“差”“积”“商”，如分式形式的数列，可将分子、分母分别求通项；
(3)当一个数列各项的符号出现“＋”“－”相间时，应把符号分离列出，可用(－1)n或(－1)n＋1来实现；
(4)当数列的奇偶项分别呈现各自的规律时，可以考虑用分段的形式给出，也可以将给出的各项统一化成某种形式．
已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
(1)写出数列的第4项和第6项；
(2)－49是否为该数列的一项？如果是，是哪一项？68是否为该数列的一项呢？
(3)数列{an}中有多少个负数项？
题型四 数列中的项的求解与判断
典例 4
[分析] (1)分别将n＝4，n＝6代入通项公式，即可求得a4，a6；(2)令an＝－49，an＝68，分别求得n的值，若n∈N*，则是数列的项，否则不是该数列的项；(3)令an<0，求出n的范围，范围内正整数的个数即数列{an}中负数项的个数．
[规律方法] 判断某数是否为数列中的项的方法及步骤
(1)将所给项代入通项公式中．
(2)解关于n的方程．
(3)若n为正整数，说明某数是该数列的项；若n不是正整数，则不是该数列的项．
【对点训练】
(1)已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n，则下列各数中不是数列中的项的是 ( )
A．2 B．40
C．56 D．90
[解析] 由题意令an＝n2－n＝2，可得n＝2(负值舍去)，为正整数，即2是{an}的项；同理令an＝n2－n＝40，可得n不为正整数，即40不是{an}的项；令an＝n2－n＝56，可得n＝8(负值舍去)，为正整数，即56是{an}的项；令an＝n2－n＝90，可得n＝10(负值舍去)，是正整数，即90是{an}的项．故选B．
B
已知数列{an}的通项公式为an＝n－7，则数列{nan}的最小项为第_______项．
易错警示
典例 5
忽视数列中n的取值范围致误
3或4
课堂检测·固双基
C
[解析] ②正确，其余均不对．
A
3．(2021·山东荣成六中高二月考)数列－1,3，－5,7，－9，…的一个通项公式为 ( )
A．an＝2n－1 B．an＝(－1)n(1－2n)
C．an＝(－1)n(2n－1) D．an＝(－1)n＋1(2n－1)
[解析] 选项A、B、D中，a1＝1不满足，排除A、B、D，故选C．
C
C
5．已知数列{an}的通项公式为an＝n(n＋1)，判断419和420是否为数列中的项？若是，是数列中的第几项？
[解析] 令n(n＋1)＝419，
∴n2＋n－419＝0，
此方程无正整数解，故419不是数列中的项．
令n(n＋1)＝420，
∴n2＋n－420＝0，
∴(n－20)(n＋21)＝0，
∵n∈N＋，∴n＝20．
故420是数列中的第20项．
素养作业·提技能