2021—2022学年人教版八年级数学上册 13.1.2 线段的垂直平分线的性质 课件(共33张PPT)
文档属性
| 名称 | 2021—2022学年人教版八年级数学上册 13.1.2 线段的垂直平分线的性质 课件(共33张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 862.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-21 17:08:01 | ||
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文档简介
(共33张PPT)
第十三章 轴对称
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
【学习目标】
1、掌握线段的垂直平分线的概念及性质。
2、会利用线段垂直平分线的性质及判定解决有关问题。
3、能用尺规作已知线段的垂直平分线．
【课前预习】
1．已知下列说法，其中结论正确的个数是（ ）
①等腰三角形一边上的高就是这条边上的中线；②等腰三角形的对称轴就是底边上的中线；③若一条直线上的一点P到线段两端的距离相等，则这条直线是这条线段的垂直平分线；④若两个直角三角形的一条直角边和斜边分别对应相等，则这两个直角三角形全等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列说法错误的是（ ）
A．三角形的三条高的交点一定在三角形内部B．三角形的三条中线的交点一定在三角形内部C．三角形的三条角平分线的交点一定在三角形内部D．三角形的三条边的垂直平分线的交点可能在三角形内部，也可能在三角形外部
3．直线l是线段AB的垂直平分线，点M，N是直线l上的两个点，若∠NBA=15°，∠MBA=45°，则∠MAN等于（ ）
A．15° B．30° C．60° D．30°或60°
4．下列结论正确的个数有（ ）
①有两边和一角对应相等的两个三角形全等；②三角形三边的垂直平分线相交于一点；③有两边及夹角对应相等的两个三角形全等；④三角形三个内角的角平分线有可能相交于三角形的外部．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．已知△ABC，找一个点P使PA=PB=PC，则这个点应该是这个三角形（ ）
A．三边中线的交点B．三内角平分线的交点C．三条高线的交点D．三边中垂线的交点
【课前预习】答案
1．A
2．A
3．D
4．C
5．D
如果一个平面图形沿一条直线 ，直线两旁的部分能够 ，这个图形就叫做轴对称图形.
折痕所在的这条直线叫做_________.
对称轴
折叠
互相重合
复习回顾
把一个图形沿着某一条直线 ,如果它能够
,那么就说这两个图形关于这条直
线（成轴）对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做 .
A′
A
B
C
B′
C′
折叠
与另一个图形重合
对称点
你能用不同的方法验证这一结论吗？
探索并证明线段垂直平分线的性质
如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是
l 上的点，请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距
离之间的数量关系．
相等．
A
B
l
P1
P2
P3
请在图中的直线l 上任取一点，那么这一点与线段
AB 两个端点的距离相等吗？
线段垂直平分线上的点与这条
线段两个端点的距离相等．
A
B
l
P1
P2
P3
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点
P 在l 上．
求证：PA =PB．
证明：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距
离相等．”
A
B
P
C
l
证明：∵ l⊥AB，
∴ ∠PCA =∠PCB．
又 AC =CB，PC =PC，
∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．
∴ PA =PB．
A
B
P
C
l
线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
用几何语言表示为：
∵ CA =CB，l⊥AB 或 ∵点P在线段AB的垂直平分线上
∴ PA =PB． ∴PA =PB．
A
B
P
C
l
解： AB =AC =CE , AB +BD =DE .
∵ AD⊥BC，BD =DC
∴ AB =AC
∵ 点C 在AE 的垂直平分线上
∴ AC =CE．
∴ AB =AC =CE
例题
例1 如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？
A
B
C
D
E
∵ AB =CE，BD =DC
∴ AB +BD =CD +CE 即 AB +BD =DE ．
例2 如图，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长.
A
B
C
E
D
探索并证明线段垂直平分线的判定
反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的
垂直平分线上呢？
点P 在线段AB 的垂直平分线上．
已知：如图，PA =PB．
求证：点P 在线段AB 的垂直平
分线上．
P
A
B
C
证明：过点P 作线段AB 的垂线PC，
垂足为C．则∠PCA =∠PCB =90°．
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
∵ PA =PB，PC =PC，
∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．
∴ AC =BC．
又 PC⊥AB，
∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上．
线段垂直平分线的判定
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
用数学符号表示为：
∵ PA =PB，
∴ 点P 在AB 的垂直平分线上．
P
A
B
C
这些点能组成什么几何图形？
你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？
能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？
在线段AB 的垂直平分线l 上的
点与A，B 的距离都相等；反过来，
与A，B 的距离相等的点都在直线l
上，所以直线l 可以看成与两点A、
B 的距离相等的所有点的集合．
A
B
P
C
l
解：直线AM 是线段BC 的垂直平分线.
∵ AB =AC，
∴ 点A 在BC 的垂直平分线上．
∵ MB =MC，
∴ 点M 在BC 的垂直平分线上
∴ 直线AM 是线段BC 的垂直
平分线．
例3 如图，AB =AC，MB =MC．直线AM 是线段BC 的垂直平分线吗？
A
B
C
D
M
例1 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
已知：直线AB和AB外一点C（如图）.
求作：AB的垂线，使它经过点C.
探索经过已知直线外一点作这条直线的垂线
A
B
C
作法：（1）任意取一点K ，使点K和点C 在AB 的两旁.
（3）分别以点D和点E为圆心，大
于 DE的长为半径作弧，两弧
相交于点F .
（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E .
（4）作直线CF.
直线CF 就是所求作的垂线.
C
A
B
D
E
F
K
如果两个图形成轴对称，怎样作出图形的对称轴？
如果两个图形成轴对称，其对称轴是任何一组对应点所连线段的垂直平分线．因此，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．
如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站，使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？
A
B
线段垂直平分线的画法
不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？
有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如何验证呢？
A
B
C
A ′
B ′
C ′
尺规作图
如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
A
B
分析：我们只要连接点A和点B,作出线段AB的垂直平分线，就可得到点A和点B的对称轴.为此作出到点A,B的距离相等的两点，即线段AB的垂直平分线上的两点，从而作出线段AB的垂直平分线.
如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
A
B
C
D
作法：
（1）分别以点A，B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧交于C，D两点.
（2）作直线CD.
CD即为所求.
特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图，我们也可以用这种方法确定线段的中点.
例 如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站.使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？
A
B
分析：增设的公共汽车站要满足到两个小区的路程一样长，应在线段AB的垂直平分线上，又要在公路边上，所以找到AB垂直平分线与公路的交点便是.
公共汽车站
课堂小结
线段的垂直平分的性质和判定
性质
到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
内容
判定
内容
作用
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
作用
见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂直平分线上
线段的垂直
平分线的
有关作图
尺规作图
作对称轴的常见方法
属于基本作图之一，必须熟熟练掌握
(1)将图形对折；
(2)用尺规作图；
(3)用刻度尺先取一对对称点连线的中点，然后作垂线
【课后练习】
1．下列定理中，没有逆定理的是（ ）
A．同角的余角相等 B．等腰三角形两个底角相等C．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 D．两直线平行，同旁内角互补
2．下列说法错误的是（ ）
A．E,D是线段AB的垂直平分线上的两点，则AD=BD，AE=BEB．若AD=BD，AE=BE，则直线DE是线段AB的垂直平分线C．若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上D．若PA=PB，则过点P的直线是线段AB的垂直平分线
3．下列说法中，不正确的有（ ）
①不在角的平分线上的点到这个角的两边的距离不相等；②三角形两内角的平分线的交点到各边的距离相等；③到三角形三边距离相等的点有1个④线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等，⑤到三角形三个顶点距离相等的点有1个
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．下列命题是假命题的是（ ）
A．三角形的外角和是360° B．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等C．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 D．有两边和一个角对应相等的两个三角形全等
5．在下列命题中，真命题是（ ）
A．同位角相等 B．到线段距离相等的点在线段垂直平分线上\C．三角形的外角和是360° D．角平分线上的点到角的两边相等
6．∠AOB内部有一点P，OP=5，点P关于OA的对称点为M，点P关于OB的对称点为N，若∠AOB=45°，则△MON的面积为_______．
7．在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝2，AB边的垂直平分线交AB于D，交直线BC于点E，若CE＝1，则线段DC的长为__．
8．已知，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交直线BC于点D．当∠BAC＝40°时，则∠CAD的度数为_____．
9．已知点P在线段AB的垂直平分线上，连接PA、PB，若PA=3，则PB=____．
10．O点是△ABC的边AB、AC的垂直平分线的交点，P点是∠ABC、∠ACB的平分线的交点，若3∠BOC＝2∠BPC，则∠BAC＝__．
【课后练习】答案
1．A 2．D 3．C 4．D 5．C
6．
7．1或
8．30°
9．3
10．36°或()°
第十三章 轴对称
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
【学习目标】
1、掌握线段的垂直平分线的概念及性质。
2、会利用线段垂直平分线的性质及判定解决有关问题。
3、能用尺规作已知线段的垂直平分线．
【课前预习】
1．已知下列说法，其中结论正确的个数是（ ）
①等腰三角形一边上的高就是这条边上的中线；②等腰三角形的对称轴就是底边上的中线；③若一条直线上的一点P到线段两端的距离相等，则这条直线是这条线段的垂直平分线；④若两个直角三角形的一条直角边和斜边分别对应相等，则这两个直角三角形全等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列说法错误的是（ ）
A．三角形的三条高的交点一定在三角形内部B．三角形的三条中线的交点一定在三角形内部C．三角形的三条角平分线的交点一定在三角形内部D．三角形的三条边的垂直平分线的交点可能在三角形内部，也可能在三角形外部
3．直线l是线段AB的垂直平分线，点M，N是直线l上的两个点，若∠NBA=15°，∠MBA=45°，则∠MAN等于（ ）
A．15° B．30° C．60° D．30°或60°
4．下列结论正确的个数有（ ）
①有两边和一角对应相等的两个三角形全等；②三角形三边的垂直平分线相交于一点；③有两边及夹角对应相等的两个三角形全等；④三角形三个内角的角平分线有可能相交于三角形的外部．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．已知△ABC，找一个点P使PA=PB=PC，则这个点应该是这个三角形（ ）
A．三边中线的交点B．三内角平分线的交点C．三条高线的交点D．三边中垂线的交点
【课前预习】答案
1．A
2．A
3．D
4．C
5．D
如果一个平面图形沿一条直线 ，直线两旁的部分能够 ，这个图形就叫做轴对称图形.
折痕所在的这条直线叫做_________.
对称轴
折叠
互相重合
复习回顾
把一个图形沿着某一条直线 ,如果它能够
,那么就说这两个图形关于这条直
线（成轴）对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做 .
A′
A
B
C
B′
C′
折叠
与另一个图形重合
对称点
你能用不同的方法验证这一结论吗？
探索并证明线段垂直平分线的性质
如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是
l 上的点，请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距
离之间的数量关系．
相等．
A
B
l
P1
P2
P3
请在图中的直线l 上任取一点，那么这一点与线段
AB 两个端点的距离相等吗？
线段垂直平分线上的点与这条
线段两个端点的距离相等．
A
B
l
P1
P2
P3
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点
P 在l 上．
求证：PA =PB．
证明：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距
离相等．”
A
B
P
C
l
证明：∵ l⊥AB，
∴ ∠PCA =∠PCB．
又 AC =CB，PC =PC，
∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．
∴ PA =PB．
A
B
P
C
l
线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
用几何语言表示为：
∵ CA =CB，l⊥AB 或 ∵点P在线段AB的垂直平分线上
∴ PA =PB． ∴PA =PB．
A
B
P
C
l
解： AB =AC =CE , AB +BD =DE .
∵ AD⊥BC，BD =DC
∴ AB =AC
∵ 点C 在AE 的垂直平分线上
∴ AC =CE．
∴ AB =AC =CE
例题
例1 如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？
A
B
C
D
E
∵ AB =CE，BD =DC
∴ AB +BD =CD +CE 即 AB +BD =DE ．
例2 如图，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长.
A
B
C
E
D
探索并证明线段垂直平分线的判定
反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的
垂直平分线上呢？
点P 在线段AB 的垂直平分线上．
已知：如图，PA =PB．
求证：点P 在线段AB 的垂直平
分线上．
P
A
B
C
证明：过点P 作线段AB 的垂线PC，
垂足为C．则∠PCA =∠PCB =90°．
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
∵ PA =PB，PC =PC，
∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．
∴ AC =BC．
又 PC⊥AB，
∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上．
线段垂直平分线的判定
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
用数学符号表示为：
∵ PA =PB，
∴ 点P 在AB 的垂直平分线上．
P
A
B
C
这些点能组成什么几何图形？
你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？
能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？
在线段AB 的垂直平分线l 上的
点与A，B 的距离都相等；反过来，
与A，B 的距离相等的点都在直线l
上，所以直线l 可以看成与两点A、
B 的距离相等的所有点的集合．
A
B
P
C
l
解：直线AM 是线段BC 的垂直平分线.
∵ AB =AC，
∴ 点A 在BC 的垂直平分线上．
∵ MB =MC，
∴ 点M 在BC 的垂直平分线上
∴ 直线AM 是线段BC 的垂直
平分线．
例3 如图，AB =AC，MB =MC．直线AM 是线段BC 的垂直平分线吗？
A
B
C
D
M
例1 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
已知：直线AB和AB外一点C（如图）.
求作：AB的垂线，使它经过点C.
探索经过已知直线外一点作这条直线的垂线
A
B
C
作法：（1）任意取一点K ，使点K和点C 在AB 的两旁.
（3）分别以点D和点E为圆心，大
于 DE的长为半径作弧，两弧
相交于点F .
（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E .
（4）作直线CF.
直线CF 就是所求作的垂线.
C
A
B
D
E
F
K
如果两个图形成轴对称，怎样作出图形的对称轴？
如果两个图形成轴对称，其对称轴是任何一组对应点所连线段的垂直平分线．因此，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．
如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站，使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？
A
B
线段垂直平分线的画法
不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？
有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如何验证呢？
A
B
C
A ′
B ′
C ′
尺规作图
如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
A
B
分析：我们只要连接点A和点B,作出线段AB的垂直平分线，就可得到点A和点B的对称轴.为此作出到点A,B的距离相等的两点，即线段AB的垂直平分线上的两点，从而作出线段AB的垂直平分线.
如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
A
B
C
D
作法：
（1）分别以点A，B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧交于C，D两点.
（2）作直线CD.
CD即为所求.
特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图，我们也可以用这种方法确定线段的中点.
例 如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站.使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？
A
B
分析：增设的公共汽车站要满足到两个小区的路程一样长，应在线段AB的垂直平分线上，又要在公路边上，所以找到AB垂直平分线与公路的交点便是.
公共汽车站
课堂小结
线段的垂直平分的性质和判定
性质
到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
内容
判定
内容
作用
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
作用
见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂直平分线上
线段的垂直
平分线的
有关作图
尺规作图
作对称轴的常见方法
属于基本作图之一，必须熟熟练掌握
(1)将图形对折；
(2)用尺规作图；
(3)用刻度尺先取一对对称点连线的中点，然后作垂线
【课后练习】
1．下列定理中，没有逆定理的是（ ）
A．同角的余角相等 B．等腰三角形两个底角相等C．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 D．两直线平行，同旁内角互补
2．下列说法错误的是（ ）
A．E,D是线段AB的垂直平分线上的两点，则AD=BD，AE=BEB．若AD=BD，AE=BE，则直线DE是线段AB的垂直平分线C．若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上D．若PA=PB，则过点P的直线是线段AB的垂直平分线
3．下列说法中，不正确的有（ ）
①不在角的平分线上的点到这个角的两边的距离不相等；②三角形两内角的平分线的交点到各边的距离相等；③到三角形三边距离相等的点有1个④线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等，⑤到三角形三个顶点距离相等的点有1个
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．下列命题是假命题的是（ ）
A．三角形的外角和是360° B．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等C．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 D．有两边和一个角对应相等的两个三角形全等
5．在下列命题中，真命题是（ ）
A．同位角相等 B．到线段距离相等的点在线段垂直平分线上\C．三角形的外角和是360° D．角平分线上的点到角的两边相等
6．∠AOB内部有一点P，OP=5，点P关于OA的对称点为M，点P关于OB的对称点为N，若∠AOB=45°，则△MON的面积为_______．
7．在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝2，AB边的垂直平分线交AB于D，交直线BC于点E，若CE＝1，则线段DC的长为__．
8．已知，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交直线BC于点D．当∠BAC＝40°时，则∠CAD的度数为_____．
9．已知点P在线段AB的垂直平分线上，连接PA、PB，若PA=3，则PB=____．
10．O点是△ABC的边AB、AC的垂直平分线的交点，P点是∠ABC、∠ACB的平分线的交点，若3∠BOC＝2∠BPC，则∠BAC＝__．
【课后练习】答案
1．A 2．D 3．C 4．D 5．C
6．
7．1或
8．30°
9．3
10．36°或()°