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＄14.3.2因式分解（平方差公式）
学习目标:
1.掌握平方差公式分解因式的方法，掌握提公因式法、平方差公式分解因式的综合运用。
2.通过平方差公式的逆向变形，进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力，渗透换元思想，发展学生有条理的思考和语言表达能力。
3.知道因式分解的要求：把多项式的每一个因式都分解到不能再分解。
学习重点：
运用平方差公式分解因式。
学习难点：
灵活准确地运用提公因式法和公式法分解因式。
课前预习
1.什么叫因式分解？因式分解与整式乘法有什么关系？
2.判断下列各式是因式分解的是（ ）
A.(x+2)(x-2)= x2 – 4
B. x2 – 4 = (x+2)(x-2)
C. x2 – 4 +3x=(x+2)(x-2)+3x
3.根据因式分解的概念，判断下列由左到右的变形，哪些是因式分解，那些不是？为什么？
①(2x–1)2= 4x2– 4 x+1 ②3x2 + 9xy-3x=3x(x+3y-1) ③x2-9 =(x+3)(x-3)
4.把下列各式进行因式分解
①a3b3–a2b –ab ②3x(a-b)+2y(b-a)
5. 你能把a2-b2进行因式分解吗？
合作交流，探究新知
1.请把下列多项式因式分解，例：ma2- mb2
2.因式分解—平方差公式a2-b2=___ ____
定义：两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积。
平方差公式的特点：
（1）项数：两项。
（2）两项都是整式的平方形式，或都能化成平方形式。
（3）两项符号相反。
(a+b)(a-b)= a2－b2 ( 整式乘法）
a2－b2=(a+b)(a-b) (因式分解)
3.下列多项式能转化成( )2－( )2的形式吗？如果能，请将其转化成( )2－( )2的形式并进行因式分解。
(1) m2 －1 (2) x2 －9 y2 (3) -x2 －9 y2 (4) -x2 +9 y2
(5) 4m2 －25 (6) 4m2 +25
例题分析
例3 分解因式: (1) 4x2 – 9 ; (2) (x+p)2 – (x+q)2.
例4 分解因式: (1)x4—y4; (2) a3b —ab.
夯实基础，巩固提高
1.下列多项式能否用平方差公式来分解因式 为什么
(1) x2+y2 ; (2) x2－y2; (3) －x2+y2; (4) －x2－y2.
2.分解因式:
(1) － 25b2; (2)25x2－4y2;
(3) m2－ 0.01n2 ; (4) －a4 +16.
【达标检测】
3.把下列各式分解因式
- 2+ 2x4 (2) (x+2y)2－(x-3y)2
(3) m2 (16x-y) +n2 (y-16x) (4) 0.09a2－25b2
【能力提高】
4. 观察下列各式:
32－12=8=8×1;
52－32=16=8×2;
72－52=24=8×3;
……
(1)把你发现的规律用含n的等式表示出来。
（2）验证你发现规律的正确性，并用文字归纳出这个规律。
五、课堂小结
回忆本节课的内容，有什么收获？又有什么疑惑呢？
【共勉】
合抱之木，
生于毫末；
九层之台，
起于累土；
千里之行，
始于足下！
-老子
答案
温故而知新：
略
B
不是 是 是
4.
1.
2.（1）解：原式= ()2－(5b)2 =(+5b)(-5b)
（2）解：原式= (5x)2-(2y)2 =(5x+2y)(5x-2y)
（3）解：原式= m2－(0.1n)2=(m+0.1n)(m-0.1n)
（4）解：原式= 42 －(a2)2 =(4+a2)(4-a2)=(4+a2)(2+a)(2-a)
【达标检测】
3.（1）
（2）
（3）
（4）
能力提高
4.（1）
（2）
两个连续奇数的平方差是8的倍数 。
互为逆运算
以例为鉴，你有什么需要注意的 赶快记下来吧！
解：原式=ab(a2 b2 –a-1 )
解：原式=(a-b)(3x-2y)
（1）原式= m2 －12=(m+1)(m-1)
（2）原式= x2 －(3y)2=(x+3y)(x-3y)
（3）不能
（4）原式= (3y)2 －x2=(3y+x)(3y-x)
（5）原式= (2m)2 －52=(2m+5)(2m-5)
（6）不能
解：原式= 2(x4 -1)=2(x2+1 )(x2-1 ) = 2(x2+1)(x+1)(x-1 )
解：原式= (x+2y+x-3y) (x+2y-x +3y)=5y(2x -y)
解：原式= (x+2y+x-3y) (x+2y-x +3y)=5y(2x -y)
解：原式= (0.3a) 2-(5b) 2 =(0.3a+5b)(0.3a-5b)
(2n+1)2-(2n-1) 2 =(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n×2=8n
(2n+1)2-(2n-1) 2=8n（n为正整数）
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14.3.2因式分解（平方差公式）
人教版 八年级上册
1.什么叫因式分解？因式分解与整式乘法有什么关系？
2.判断下列各式是因式分解的是（ ）
A.(x+2)(x-2)= x2 – 4
B. x2 – 4 = (x+2)(x-2)
C. x2 – 4 +3x=(x+2)(x-2)+3x
3.根据因式分解的概念，判断下列由左到右的变形，哪些是因式分解，那些不是？为什么？
B
① (2x –1) 2 = 4x2 – 4 x+1
② 3x2 + 9xy-3x=3x (x+3y-1)
③ x2-9 =(x+3)(x-3)
4.把下列各式进行因式分解
①a3 b3 –a2 b –a b
②3x(a-b)+2y(b-a)
5. 你能把 a2-b2 进行因式分解吗？
(a+b)(a-b) = a2-b2
反之，a2-b2 =(a+b)(a-b)
不是
是
是
解：原式=ab(a2 b2 –a-1 )
解：原式=(a-b)(3x-2y)
请把下列多项式因式分解
例：ma2-mb2
解：原式=m(a2-b2)
=m(a+b)(a-b)
a2－b2 =(a+b)(a－b)
两个数的平方差,等于这两个数的和
与这两个数的差的积.
这种分解因式的方法叫做公式法。
(a+b)(a-b)= a2－b2 ( 整式乘法）
a2－b2=(a+b)(a-b) (因式分解)
项，指数，符号的特点：
（1）项数：两项。
（2）两项都是整式的平方形式，或都能化成平方形式。
（3）两项符号相反。
1.下列多项式能转化成( )2－( )2的形式吗？如果能，
请将其转化成( )2－( )2的形式并进行因式分解。
(1) m2 －1
(2) x2 －9 y2
(3) -x2 －9 y2
(4) -x2 +9 y2
(5) 4m2 －25
(6) 4m2 +25
原式= m2 －12=(m+1)(m-1)
原式= x2 －(3y)2=(x+3y)(x-3y)
原式= (3y)2 －x2=(3y+x)(3y-x)
原式= (2m)2 －52=(2m+5)(2m-5)
不能
不能
例3 分解因式: (1) 4x2 – 9 ;
(2) (x+p)2 – (x+q)2.
分析：在(1)中，4x2 = (2x)2，9=32，4x2－9 = (2x )2 –3 2，
即可用平方差公式分解因式.
在(2)中，把(x+p)和 (x+q)各看成一个整体，设x+p=m，x+q=n，
则原式化为m2－n2.
解：(1)4x2 – 9
= (2x)2 – 32
= (2x+3)(2x – 3).
(x+p)2 – (x+q) 2
= [ (x+p) +(x+q)] [(x+p) –(x+q)]
=(2x+p+q)(p–q).
例4 分解因式:
(1)x4—y4; (2) a3b —ab.
分析:(1)x4－y4写成(x2)2 － (y2)2的形式，这样就可以利用
平方差公式进行因式分解了.
(2)a3b－ab有公因式ab，应先提出公因式,再进一步分解.
解:(1) x4－y4
= (x2+y2)(x2－y2)
= (x2+y2)(x+y)(x－y).
(2) a3b－ab
=ab(a2－ 1)
=ab(a+1)(a－ 1).
分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.
归纳：
（1） 先提公因式（有的话）；
（2） 利用公式（可以的话）；
（3） 分解因式时要分解到不能分解为止.
1.下列多项式能否用平方差公式来分解因式 为什么
(1) x2+y2 ; (2) x2－y2;
(3) －x2+y2; (4) －x2－y2.
2.分解因式:
(1) － 25b2; (2)25x2－4y2;
(3) m2－ 0.01n2 ; (4) －a4 +16.
不能
能
能
不能
解：原式= ( )2－(5b)2 =( +5b)( -5b)
解：原式= (5x)2-(2y)2 =(5x+2y)(5x-2y)
解：原式= m2－(0.1n)2=(m+0.1n)(m-0.1n)
解：原式= 42 －(a2)2 =(4+a2)(4-a2)
=(4+a2)(2+a)(2-a)
课堂练习
3.把下列各式分解因式
- 2+ 2x4
(2) (x+2y)2－(x-3y)2
(3) m2 (16x-y) +n2 (y-16x)
(4) 0.09a2－25b2
解：原式= 2(x4 -1)=2(x2+1 )(x2-1 ) = 2(x2+1)(x+1)(x-1 )
解：原式= (x+2y+x-3y) (x+2y-x +3y)=5y(2x -y)
解：原式= m2 (16x -y) -n2 (16x -y) = (16x -y)(m2-n2 )= (16x -y)(m+n)(m-n)
解：原式= (0.3a) 2-(5b) 2 =(0.3a+5b)(0.3a-5b)
课堂练习
4. 观察下列各式:
32－12=8=8×1;
52－32=16=8×2;
72－52=24=8×3;
……
(1)把你发现的规律用含n的等式表示出来。
（2）验证你发现规律的正确性，并用文字归纳出这个规律。
(2n+1)2-(2n-1) 2=8n（n为正整数）
(2n+1)2-(2n-1) 2 =(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n×2=8n
两个连续奇数的平方差是8的倍数 。
课堂练习
今天你有什么收获
你还有什么疑惑吗
课本P117 第1题和第2题。
合抱之木，
生于毫末；
九层之台，
起于累土；
千里之行，
始于足下！
-老子
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