3.1.2直线与椭圆的位置关系（第2课时）（知识梳理+例题+变式+练习）（解析版）

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3.1.2.2直线与椭圆的位置关系
要点　直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：联立消去y得一个关于x的一元二次方程
位置关系 解的个数 Δ的取值
相交 两解 Δ>0
相切 一解 Δ=0
相离 无解 Δ<0
【方法技巧】
设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b为常数)与椭圆＋＝1(a>b>0)相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则线段AB叫做直线l被椭圆截得的弦，线段AB的长度叫做弦长，此时有以下弦长公式成立：
|AB|＝·，或|AB|＝·.
推导如下：
由两点间的距离公式，得|AB|＝，将y1＝kx1＋b，y2＝kx2＋b代入上式，得|AB|＝＝＝|x1－x2|，而|x1－x2|＝，所以|AB|＝·，
同理可得|AB|＝|y1－y2|＝·
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)直线y＝x＋1与椭圆＋＝1的位置关系是相交．(　　)
(2)椭圆上一动点与焦点的距离最大值为a＋c，最小值为a－c.(　　)
(3)过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为.(　　)
(4)直线与椭圆的位置关系有相交、相切、相离三种情况．(　　)
【答案】（1）√（2）√（3）√（4）√
2．直线y＝x＋1与椭圆x2＋＝1的位置关系是(　　)
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【答案】C
【解析】联立消去y，得3x2＋2x－1＝0，
Δ＝22＋12＝16>0，∴直线与椭圆相交．故选C
3．直线x＋2y＝m与椭圆＋y2＝1只有一个交点，则m的值为(　　)
A．2 B．± C．±2 D．±2
【答案】C
【解析】由消去y并整理得2x2－2mx＋m2－4＝0.
由Δ＝4m2－8(m2－4)＝0，得m2＝8.∴m＝±2.故选C.
4．若点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是________．
【答案】(－，)
【解析】∵点A在椭圆内部，∴＋<1，∴a2<2，∴－题型一　直线与椭圆的位置关系
1．已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交
【答案】C
【解析】把x＋y－3＝0代入＋y2＝1，得＋(3－x)2＝1，即5x2－24x＋32＝0.∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0，∴直线与椭圆相离．
2．直线y＝kx－k＋1(k∈R)与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是________.
【答案】
【解析】直线y＝k(x－1)＋1恒过定点P(1,1)，直线与椭圆总有公共点等价于点P(1,1)在椭圆内或在椭圆上．所以＋≤1，即m≥，又0【方法技巧】
直线与椭圆的位置关系判断
判断直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用．
题型二　直线与椭圆的相交弦问题
探究1 求弦长
【例1】过椭圆＋＝1的右焦点且倾斜角为45°的弦AB的长为(　　)
A．5 B．6 C. D．7
【答案】C
【解析】椭圆的右焦点为(4,0)，直线的斜率k＝1，所以直线AB的方程为
y＝x－4，由得34x2－200x＋175＝0，故x1＋x2＝，x1x2＝，则|AB|＝·＝.
探究2 由已知弦长求参数
【例2】已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)，O为坐标原点，P为椭圆上任意一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且a，b,1依次成等比数列，其离心率为，过点M(0,1)的动直线l与椭圆相交于A、B两点．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)当|AB|＝时，求直线l的方程：
【解析】 (1)由题意知，解得所以椭圆的标准方程为＋＝1；
(2)当直线l的斜率不存在时，|AB|＝2，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋1，
联立，得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0，其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)＝8(4k2＋1)>0，
设A、B坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－(*)，
所以|AB|＝＝·＝，
整理得4k4－5k2＋1＝0，解得k2＝1或k2＝，
所以k＝±1或k＝±，综上，直线l的方程为y＝±x＋1或y＝±x＋1.
【方法技巧】
直线与椭圆相交弦长的求法
1．直接利用两点间距离公式：当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长．
2．弦长公式：当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式．
设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则有|AB|＝＝
＝·＝
＝·(k为直线斜率)．
【变式训练】
1. (多选)已知直线y＝3x＋2被椭圆＋＝1(a>b>0)截得的弦长为8，下列直线中被椭圆截得的弦长也为8的是(　　)
A．y＝3x－2 B．y＝3x＋1 C．y＝－3x－2 D．y＝－3x
【答案】AC
【解析】作出椭圆和有关直线(图略)，由于椭圆关于坐标轴、坐标原点对称，而AC中的直线与直线y＝3x＋2或关于原点对称或关于坐标轴对称，所以它们被椭圆截得的弦长相等，且可从图中看出BD中的直线被椭圆截得的弦长都大于8，故选AC.
2. 椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆与直线x＋2y＋8＝0相交于P，Q，且|PQ|＝，求椭圆方程．
【解析】∵e＝，∴b2＝a2.∴椭圆方程为x2＋4y2＝a2.
与x＋2y＋8＝0联立消去y，得2x2＋16x＋64－a2＝0，
由Δ>0得a2>32，由弦长公式得10＝×[64－2(64－a2)]．
∴a2＝36，b2＝9.∴椭圆方程为＋＝1.
题型三　中点弦问题
【例3】过椭圆＋＝1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分，求此弦所在的直线方程．
【分析】法一：联立方程，消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解．
法二：点差法，设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用弦长公式求解．
【解析】法一：由题意，易知直线的斜率必存在．
设所求直线方程为y－1＝k(x－2)．代入椭圆
方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.
又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1，x2是方程的两个根，于是x1＋x2＝.
又M为AB的中点，∴＝＝2，解得k＝－.
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
法二：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．又M(2,1)为AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
又A，B两点在椭圆上，则x＋4y＝16，x＋4y＝16.两式相减得(x－x)＋4(y－y)＝0.
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.∴＝－＝－，即kAB＝－.又直线AB过点M(2,1)，故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
【方法技巧】
解决椭圆中点弦问题的两种方法
1．根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
2．点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则由①—②，得(x－x)＋(y－y)＝0，变形得＝－·＝－·，即kAB＝－
【变式训练】
1.已知椭圆＋＝1的弦AB的中点为(－1，－1)，则弦AB的长为(　　)
A. B. C. D.
【答案】A　
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为点A，B在椭圆上，所以　②—①，得＝－·，又∵弦AB的中点为(－1，－1)，所以直线AB的斜率为－，所以直线方程为y＝－(x＋1)－1，联立椭圆方程消去y得到3x2＋6x＋1＝0，根据弦长公式得|AB|＝.故选A.
2.已知点P(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，求直线l的方程．
【解析】解法一　由题意易知直线l的斜率必存在，设直线l的方程为y－2＝k(x－4)，
而椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36＝0.将直线方程代入椭圆的方程有
(4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0.∴x1＋x2＝＝8，∴k＝－.
∴直线l的方程为y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0.
解法二　设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴
两式相减，有(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，∴＝－，
即k＝－.∴直线l的方程为x＋2y－8＝0.
易错辨析　忽略直线与椭圆相交时Δ>0这一条件致误
【例4】　已知椭圆C的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，是否存在实数m，使直线l与椭圆C有两个不同的交点M，N，且|AM|＝|AN|，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）依题意，设椭圆的方程为＋y2＝1(a>1)，右焦点为(c,0)，则由点到直线的距离公式得＝3，
∴c＝，∴a2＝b2＋c2＝3.
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由消去y并整理得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，
∴x1＋x2＝－m，x1x2＝，
∴y1＋y2＝x1＋m＋x2＋m＝－m＋2m＝.
由题意知Δ>0，即(6m)2－4×4×(3m2－3)>0，解得－2∵|AM|＝|AN|，
∴＝，整理得(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1－y2)(y1＋y2＋2)＝0，
∴－m(x1－x2)＋＋2(y1－y2)＝0，
∴(＋2) [x1＋m－(x2＋m)]＝m(x1－x2)，即(＋2) (x1－x2)＝m(x1－x2)，
又x1≠x2，∴m＝＋2，解得m＝2.
∵m＝2不满足－2∴满足条件的m的值不存在．
【易错提醒】
易错原因 纠错心得
解本题时易忽略参数m的取值范围而得到错误答案m＝2.由题意知直线与椭圆有两个交点，则联立方程后所得到的一元二次方程根的判别式Δ应大于0. 解决直线与椭圆有交点的问题时，将直线方程代入椭圆方程得到关于x(或y)的一元二次方程，一定要先考虑判别式Δ≥0(若有两个交点，则Δ>0；若相切，则Δ＝0).
1．（2019·四川省绵阳南山中学高二月考）已知直线l过点(3，－1)，且椭圆C：＋＝1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为(　　)
A．1　　　　　　　　　 B．1或2
C．2 D．0
【答案】C　
【解析】因为直线过定点(3，－1)且＋＜1，
所以点(3，－1)在椭圆的内部，故直线l与椭圆有2个公共点．
2．（2021·浙江高二开学考试）若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是(　　)
A. B．－
C．± D．±
【答案】C　
【解析】把y＝kx＋2代入＋＝1，得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，由题意知Δ＝0，∴k2＝，∴k＝±.
3．（2021·广东深圳中学高二期中）过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】B　
【解析】易求直线AB的方程为y＝(x＋)．
由消去y并整理，得7x2＋12x＋8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
由弦长公式，得|AB|＝·|x1－x2|＝× ＝.
4．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二期末）已知F是椭圆＋＝1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF的面积最大值为(　　)
A．6 B．15
C．20 D．12
【答案】D　
【解析】由题意知，S△ABF＝|OF|·|y1－y2|≤|OF|·2b＝12.
5．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点是M(－4,1)，则椭圆的离心率是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】C　
【解析】设直线x－y＋5＝0与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2，直线AB的斜率k＝＝1.
由
得＋＝0，
∴＝－×＝1，∴＝，
故椭圆的离心率e＝＝＝.故选C.
6．（2021·云南省昆明市第十二中学高二期中）已知椭圆＋＝1，过椭圆的右焦点F且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，则|AB|＝________.
【答案】　
【解析】易求得a＝5，b＝4，所以|AB|＝＝＝.
7．（2021·云南省个旧市第一高级中学高二）某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F为焦点的椭圆(地球看作是球体)，测得近地点A距离地面m km，远地点B距离地面n km，地球半径为R km，关于这个椭圆有下列说法：
①焦距为n－m；
②短轴长为；
③离心率e＝.
其中正确说法的序号为________．
【答案】①③
【解析】由题意，得n＋R＝a＋c，m＋R＝a－c，可解得2c＝n－m，a＝，∴2b＝2＝2，e＝，故①③正确，②不正确．
8．（2021·厦门市湖滨中学高二）（2021·全国高二）如图所示，椭圆：()的左右焦点分别为、，上顶点为，离心率为，点为第一象限内椭圆上的一点，若，则直线的斜率为______
【答案】
【解析】，即，设，则，
设直线的斜率为()，
则直线的方程为，即，
又，则，
即，则，
解得(舍去)或，
又，则，
解得，则
9．（2021·湖南高二）已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．
【解析】把直线方程y＝x＋m代入椭圆方程4x2＋y2＝1，得4x2＋(x＋m)2＝1，即5x2＋2mx＋m2－1＝0.(*)
则Δ＝(2m)2－4×5×(m2－1)＝－16m2＋20＞0，
解得－＜m＜.
设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1，x2，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
根据弦长公式，得
·＝，解得m＝0.
因此，所求直线的方程为y＝x.
10. （2021·河南高二期末）如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
（2）若＝2，求椭圆方程.
【解析】 (1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形．所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.
所以a＝c，e＝＝.
(2)由题知A(0，b)，F2(1,0)，设B(x，y)，
由＝2，解得x＝，y＝－.代入＋＝1，得＋＝1，即＋＝1，解得a2＝3，b2＝2，
所以椭圆方程为＋＝1.
11．（2021·江西临川一中高二期末）若点(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则的最小值为(　　)
A．1 B．－1
C．－ D．以上都不对
【答案】C　
【解析】设＝k，则y＝k(x－2)．
由消去y，整理得
(k2＋4)x2－4k2x＋4(k2－1)＝0，
Δ＝16k4－4×4(k2－1)(k2＋4)＝0，
解得k＝±，∴kmin＝－.选C.
12.（多选）（2021·福建高二期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线与椭圆相交于点、，则（ ）
A．椭圆的离心率为
B．存在，使为直角三角形
C．存在，使的周长最大
D．当时，四边形面积最大
【答案】BD　
【解析】如图所示：
对于，由椭圆方程可得，，，则，椭圆的离心率为，故错误；
对于，当时，可以得出，
若取时，得，
根据椭圆的对称性，存在使为直角三角形，故正确；
对于，由椭圆的定义得，的周长
，
，，当过点时取等号，
，即直线过椭圆的右焦点时，的周长最大，
此时直线的方程为，但是，
不存在，使的周长最大，故错误；
对于，一定，根据椭圆的对称性可知，当时，最大，四边形面积最大，故正确．
故选．
13．（2021·上海市延安中学高二）已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3,0)，||＝1，且·＝0，则||的最小值是________．
【答案】　
【解析】易知点A(3,0)是椭圆的右焦点．
∵·＝0，∴⊥.
∴||2＝||2－||2＝||2－1，
∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，
故||min＝2，∴||min＝.
14．（2021·四川省泸县第二中学高二期中）在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－)，(0，)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)设直线y＝kx＋1与C交于A，B两点，k为何值时⊥？此时|AB|的值是多少．
【解析】(1)设P(x，y)，由椭圆的定义知，点P的轨迹C是以(0，－)，(0，)为焦点，长半轴长为2的椭圆，它的短半轴长b＝＝1.
故曲线C的方程为＋x2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立
消去y，并整理，得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0.
由根与系数的关系得
x1＋x2＝－，x1x2＝－.
若⊥，则x1x2＋y1y2＝0.
因为y1y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)
＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，
所以x1x2＋y1y2＝－－－＋1
＝－＝0，所以k＝±.
当k＝±时，x1＋x2＝ ，x1x2＝－.
所以|AB|＝·
＝ ＝.
15．（2021·安徽定远二中高二月考）有一椭圆形溜冰场，长轴长是100 m，短轴长是60 m．现要在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形，且使这个矩形的面积最大，试确定这个矩形的顶点的位置．这时矩形的周长是多少？　
【解析】分别以椭圆的长轴、短轴所在的直线为x轴、y轴，以长轴的中点为坐标原点O，建立如图的平面直角坐标系xOy.设矩形ABCD的各顶点都在椭圆上．
易知矩形ABCD关于原点O及x轴，y轴对称．已知椭圆的长轴长2a＝100 m，矩轴长2b＝60 m，则a＝50 m，b＝30 m，所以椭圆的方程为＋＝1.
设点A的坐标为(x0，y0)，x0＞0，y0＞0，
则＋＝1，即y＝(502－x)．
根据矩形ABCD的对称性，可知它的面积S＝4x0y0.
∵xy＝x·(502－x)
＝，
∴当x＝时，xy取得最大值，此时S也取得最大值．
这时x0＝25，y0＝15.
矩形ABCD的周长为4(x0＋y0)＝4×(25＋15)＝160(m)．
因此，在椭圆形溜冰场的两侧分别画一条与短轴平行且与短轴相距25 m的直线，这两条直线与椭圆的交点就是所划定的矩形的顶点，这个矩形的周长为160 m.
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