第三章 圆锥曲线 章末检测（含解析）
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| 名称 | 第三章 圆锥曲线 章末检测（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 508.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-22 07:59:32 | ||
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文档简介
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章末检测（三） 圆锥曲线方程
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2021·山东莱州一中高二单元测试）抛物线y2＝4x的焦点坐标是( )
A. B．(0,1) C．(1,0) D
【答案】C
【解析】抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为，则在抛物线y2＝4x中，2p＝4，解得 p＝2，
则焦点坐标为(1,0)，故选C.
2．（2021·上海市松江二中高二期中）已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是( )
A．2 B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题可知y＝x与y＝－x互相垂直，可得－·＝－1，则a＝b.由离心率的计算公式，可得e2＝＝＝2，e＝.
（2021 黑龙江省大庆市高二期中）阿基米德（公元前287年公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的方程为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由题意可得，，即，，解得：，，
所以椭圆的方程为：，故选：．
4．（2021·盐城市大丰区新丰中学高二期中）设P是双曲线－＝1(a>0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|＝( )
A．1或5 B．6
C．7 D．8
【答案】C
【解析】双曲线－＝1的一条渐近线方程为3x－2y＝0，故a＝2.又P是双曲线上一点，故||PF1|－|PF2||＝4，而|PF1|＝3，则|PF2|＝7.
5．（2021·江苏省苏州中学园区校高二开学考试）已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过点C(－4,0)作抛物线的两条切线CA，CB，A，B为切点，若直线AB经过抛物线y2＝2px的焦点，△CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝4x B．y2＝－4x
C．y2＝8x D．y2＝－8x
【答案】D
【解析】由抛物线的对称性知A，B，则S△CAB＝×2p＝24，解得p＝4，直线AB的方程为x＝2，所以所求抛物线的标准方程为y2＝－8x.
6．（2021·武汉市钢城第四中学高二月考）探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm，灯深40 cm，则抛物线的标准方程可能是( )
A．y2＝x B．y2＝x
C．x2＝－y D．x2＝－y
【答案】C
【解析】如果设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则抛物线过点(40,30)，从而有302＝2p×40，即2p＝，所以所求抛物线方程为y2＝x.虽然选项中没有y2＝x，但C中的2p＝符合题意．
7. （2021·忻州市第二中学校高二月考）我们把由半椭圆＋＝1(x≥0)与半椭圆＋＝1(x<0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2＝b2＋c2，a>b>c>0)，如图所示，其中点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点．若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为( )
A.，1 B.，1
C．5,3 D．5,4
【答案】A
【解析】∵|OF2|＝＝，|OF0|＝c＝|OF2|＝，∴b＝1，∴a2＝b2＋c2＝1＋＝，得a＝.
8．（2021·永昌县第四中学高二期末）设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点，则双曲线C的离心率e的取值范围为( )
A. B．(，＋∞)
C. D.∪(，＋∞)
【答案】D
【解析】由消去y并整理得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.由于直线与双曲线相交于两个不同的点，则1－a2≠0 a2≠1，且此时Δ＝4a2(2－a2)>0 a2<2，所以a2∈(0,1)∪(1,2)．另一方面e＝，则a2＝，从而e∈∪(，＋∞)．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．（2021·南昌市第十九中学高二月考）θ是任意实数，则方程x2＋y2sin θ＝4的曲线可能是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
【答案】ABD
【解析】由于θ∈R，对sin θ的值举例代入判断．
sin θ可以等于1，这时曲线表示圆，sin θ可以小于0，这时曲线表示双曲线，sin θ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．
10．（2021·北京清华附中高三开学考试）已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
【答案】BD
【解析】因为椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，所以解得a＝5，b2＝25－16＝9.所以当椭圆焦点在x轴时，椭圆方程为＋＝1；当椭圆焦点在y轴时，椭圆方程为＋＝1.
11．（2021·大埔县虎山中学高二期中）设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则( )
A．|AB|＝12 B．·＝－
C．yAyB＝－3 D．xAxB＝3
【答案】AB
【解析】抛物线C：y2＝3x的焦点为F，所以AB所在的直线方程为y＝.
将y＝代入y2＝3x，
整理得x2－x＋＝0.
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由根与系数的关系得xA＋xB＝，xAxB＝，故D错误，yy＝3xA·3xB＝9xAxB＝，
∴y1y2＝－，故C错误．
·＝xAxB＋yAyB＝－＝－，故B正确．
由抛物线的定义可得|AB|＝xA＋xB＋p＝＋＝12，故选A、B.
12．（2021·浙江效实中学高二期中）设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1，F2.若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( )
A. B．2
C. D.
【答案】AC
【解析】设圆锥曲线的离心率为e，由|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，知①若圆锥曲线为椭圆，则由椭圆的定义，得e＝＝＝；②若圆锥曲线为双曲线，则由双曲线的定义，得e＝＝＝.综上，所求的离心率为或.故选A、C.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．（2021·天津一中高二期末）以双曲线－＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．
【答案】＋＝1
【解析】双曲线焦点(±4,0)，顶点(±2,0)，
故椭圆的焦点为(±2,0)，顶点(±4,0)．
14．（2021·江西南昌二中高二月考）已知二次曲线＋＝1，当m∈[－2，－1]时，该曲线的离心率的取值范围是________．
【答案】
【解析】∵m∈[－2，－1]，
∴曲线方程化为－＝1，曲线为双曲线，
∴e＝.∵m∈[－2，－1]，∴≤e≤.
15．（2021·湖南省沅陵县第一中学高二月考）抛物线y2＝8x的焦点到双曲线－＝1渐近线的距离为________，双曲线右焦点到抛物线准线的距离为________．
【答案】 7
【解析】抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)，双曲线－＝1的一条渐近线方程为y＝x，即3x－4y＝0，则点F(2,0)到渐近线3x－4y＝0的距离为＝.双曲线右焦点的坐标为(5,0)，抛物线的准线方程为x＝－2，所以双曲线右焦点到抛物线准线的距离为7.
16.（2021 河北省张家口市高二期中）如图，在平面直角坐标系中，，是椭圆的短轴端点，是椭圆上异于点，的一动点，设点满足：，，则△与△的面积之比为 ．
【答案】2．
【解析】设，，，，则，
由，得，于是直线的方程为，
同理，直线的方程为，
联立两直线方程，得．
，在椭圆，，
从而，得，．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分（2021·山东省郓城第一中学高二月考）)命题p：方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：方程＋＝1表示双曲线．
(1)若命题p为真命题，求m的取值范围；
(2)若命题q为假命题，求m的取值范围．
【解析】(1)根据题意，得
解得0＜m＜2，
故命题p为真命题时，m的取值范围为(0,2)．
(2)若命题q为真命题，则(m＋1)(m－1)＜0，解得－1＜m＜1，故命题q为假命题时，m的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
18．(本小题满分12分) （2021·五莲县教学研究室高二期中）已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P，求抛物线的方程和双曲线的方程．
【解析】依题意，设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，
∵点P在抛物线上，∴6＝2p×.∴p＝2，
∴所求抛物线的方程为y2＝4x.
∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x＝－1上，
∴c＝1，即a2＋b2＝1，
又点P在双曲线上，∴－＝1，
解方程组
得或(舍去)．
∴所求双曲线的方程为4x2－y2＝1.
19．(本小题满分12分) （2021·江苏宿迁中学高二期中）已知抛物线y2＝2px(p＞0)上点T(3，t)到焦点F的距离为4.
(1)求t，p的值；
(2)如图所示，设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且·＝5(其中O为坐标原点)．求证直线AB必过定点，并求出该定点的坐标．
【解析】(1)由已知得3＋＝4，∴p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x，代入可解得t＝±2.
(2)设直线AB的方程为x＝my＋n，A，B.由得y2－4my－4n＝0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n.由·＝5，得＋y1y2＝5，∴y1y2＝－20或y1y2＝4(舍去)．即－4n＝－20，∴n＝5，∴直线AB过定点(5,0)．
20．(本小题满分12分) （2021·重庆市万州沙河中学高二月考）已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F(1,0)，抛物线E：x2＝2py的焦点为M.
(1)若过点M的直线l与抛物线C有且只有一个交点，求直线l的方程；
(2)若直线MF与抛物线C交于A，B两点，求△OAB的面积．
【解析】(1)因为抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F(1,0)，抛物线E：x2＝2py的焦点为M，所以p＝2，M(0，1)．
①当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝0，满足题意．
②当直线l的斜率存在时，设方程为y＝kx＋1，代入y2＝4x，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.当k＝0时，x＝，满足题意，直线l的方程为y＝1；当k≠0时，令Δ＝(2k－4)2－4k2＝0，解得k＝1，所以直线l的方程为y＝x＋1.综上，直线l的方程为x＝0或y＝1或y＝x＋1.
(2)结合(1)知抛物线C的方程为y2＝4x，
直线MF的方程为y＝－x＋1.
联立得y2＋4y－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝－4，y1y2＝－4，所以|y1－y2|＝4，
所以S△OAB＝|OF|·|y1－y2|＝2.
21．(本小题满分12分) （2021·江苏省南通中学高二期中）给定椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．已知椭圆的离心率e＝，其“准圆”的方程为x2＋y2＝4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2，交“准圆”于点M，N.当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程，并证明l1⊥l2.
【解析】(1)由准圆方程为x2＋y2＝4，得a2＋b2＝4，
椭圆的离心率e＝＝＝，解得a＝，b＝1，
∴椭圆的标准方程：＋y2＝1.
(2)∵准圆x2＋y2＝4与y轴正半轴的交点为P(0，2)，
设过点P(0,2)且与椭圆相切的直线为y＝kx＋2，
联立，得整理，得
(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0.
∵直线y＝kx＋2与椭圆相切，
∴Δ＝144k2－4×9(1＋3k2)＝0，解得k＝±1，
∴l1，l2的方程为y＝x＋2，y＝－x＋2.
∵＝1，＝－1，∴·＝－1，则l1⊥l2.
22．(本小题满分12分) （2021·苏州市相城区陆慕高级中学高二月考）已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知定点E(－1,0)，若直线y＝kx＋2(k≠0)与椭圆交于C，D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点，请说明理由．
【解析】(1)直线AB的方程为：bx－ay－ab＝0. 且a2－b2＝c2
依题意解得
∴椭圆方程为＋y2＝1.
(2)假设存在这样的k值，由得
(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0.
∴Δ＝(12k)2－36(1＋3k2)>0.解得k＞1或k＜－1.①
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则②
而y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4.要使以CD为直径的圆过点E(－1,0)，
当且仅当CE⊥DE时成立，则·＝－1.
即y1y2＋(x1＋1)(x2＋1)＝0.
∴(k2＋1)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋5＝0.③
将②式代入③整理解得k＝.经验证k＝使①成立．
综上可知，存在k＝，使得以CD为直径的圆过点E.
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章末检测（三） 圆锥曲线方程
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2021·山东莱州一中高二单元测试）抛物线y2＝4x的焦点坐标是( )
A. B．(0,1) C．(1,0) D
【答案】C
【解析】抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为，则在抛物线y2＝4x中，2p＝4，解得 p＝2，
则焦点坐标为(1,0)，故选C.
2．（2021·上海市松江二中高二期中）已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是( )
A．2 B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题可知y＝x与y＝－x互相垂直，可得－·＝－1，则a＝b.由离心率的计算公式，可得e2＝＝＝2，e＝.
（2021 黑龙江省大庆市高二期中）阿基米德（公元前287年公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的方程为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由题意可得，，即，，解得：，，
所以椭圆的方程为：，故选：．
4．（2021·盐城市大丰区新丰中学高二期中）设P是双曲线－＝1(a>0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|＝( )
A．1或5 B．6
C．7 D．8
【答案】C
【解析】双曲线－＝1的一条渐近线方程为3x－2y＝0，故a＝2.又P是双曲线上一点，故||PF1|－|PF2||＝4，而|PF1|＝3，则|PF2|＝7.
5．（2021·江苏省苏州中学园区校高二开学考试）已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过点C(－4,0)作抛物线的两条切线CA，CB，A，B为切点，若直线AB经过抛物线y2＝2px的焦点，△CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝4x B．y2＝－4x
C．y2＝8x D．y2＝－8x
【答案】D
【解析】由抛物线的对称性知A，B，则S△CAB＝×2p＝24，解得p＝4，直线AB的方程为x＝2，所以所求抛物线的标准方程为y2＝－8x.
6．（2021·武汉市钢城第四中学高二月考）探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm，灯深40 cm，则抛物线的标准方程可能是( )
A．y2＝x B．y2＝x
C．x2＝－y D．x2＝－y
【答案】C
【解析】如果设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则抛物线过点(40,30)，从而有302＝2p×40，即2p＝，所以所求抛物线方程为y2＝x.虽然选项中没有y2＝x，但C中的2p＝符合题意．
7. （2021·忻州市第二中学校高二月考）我们把由半椭圆＋＝1(x≥0)与半椭圆＋＝1(x<0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2＝b2＋c2，a>b>c>0)，如图所示，其中点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点．若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为( )
A.，1 B.，1
C．5,3 D．5,4
【答案】A
【解析】∵|OF2|＝＝，|OF0|＝c＝|OF2|＝，∴b＝1，∴a2＝b2＋c2＝1＋＝，得a＝.
8．（2021·永昌县第四中学高二期末）设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点，则双曲线C的离心率e的取值范围为( )
A. B．(，＋∞)
C. D.∪(，＋∞)
【答案】D
【解析】由消去y并整理得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.由于直线与双曲线相交于两个不同的点，则1－a2≠0 a2≠1，且此时Δ＝4a2(2－a2)>0 a2<2，所以a2∈(0,1)∪(1,2)．另一方面e＝，则a2＝，从而e∈∪(，＋∞)．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．（2021·南昌市第十九中学高二月考）θ是任意实数，则方程x2＋y2sin θ＝4的曲线可能是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
【答案】ABD
【解析】由于θ∈R，对sin θ的值举例代入判断．
sin θ可以等于1，这时曲线表示圆，sin θ可以小于0，这时曲线表示双曲线，sin θ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．
10．（2021·北京清华附中高三开学考试）已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
【答案】BD
【解析】因为椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，所以解得a＝5，b2＝25－16＝9.所以当椭圆焦点在x轴时，椭圆方程为＋＝1；当椭圆焦点在y轴时，椭圆方程为＋＝1.
11．（2021·大埔县虎山中学高二期中）设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则( )
A．|AB|＝12 B．·＝－
C．yAyB＝－3 D．xAxB＝3
【答案】AB
【解析】抛物线C：y2＝3x的焦点为F，所以AB所在的直线方程为y＝.
将y＝代入y2＝3x，
整理得x2－x＋＝0.
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由根与系数的关系得xA＋xB＝，xAxB＝，故D错误，yy＝3xA·3xB＝9xAxB＝，
∴y1y2＝－，故C错误．
·＝xAxB＋yAyB＝－＝－，故B正确．
由抛物线的定义可得|AB|＝xA＋xB＋p＝＋＝12，故选A、B.
12．（2021·浙江效实中学高二期中）设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1，F2.若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( )
A. B．2
C. D.
【答案】AC
【解析】设圆锥曲线的离心率为e，由|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，知①若圆锥曲线为椭圆，则由椭圆的定义，得e＝＝＝；②若圆锥曲线为双曲线，则由双曲线的定义，得e＝＝＝.综上，所求的离心率为或.故选A、C.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．（2021·天津一中高二期末）以双曲线－＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．
【答案】＋＝1
【解析】双曲线焦点(±4,0)，顶点(±2,0)，
故椭圆的焦点为(±2,0)，顶点(±4,0)．
14．（2021·江西南昌二中高二月考）已知二次曲线＋＝1，当m∈[－2，－1]时，该曲线的离心率的取值范围是________．
【答案】
【解析】∵m∈[－2，－1]，
∴曲线方程化为－＝1，曲线为双曲线，
∴e＝.∵m∈[－2，－1]，∴≤e≤.
15．（2021·湖南省沅陵县第一中学高二月考）抛物线y2＝8x的焦点到双曲线－＝1渐近线的距离为________，双曲线右焦点到抛物线准线的距离为________．
【答案】 7
【解析】抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)，双曲线－＝1的一条渐近线方程为y＝x，即3x－4y＝0，则点F(2,0)到渐近线3x－4y＝0的距离为＝.双曲线右焦点的坐标为(5,0)，抛物线的准线方程为x＝－2，所以双曲线右焦点到抛物线准线的距离为7.
16.（2021 河北省张家口市高二期中）如图，在平面直角坐标系中，，是椭圆的短轴端点，是椭圆上异于点，的一动点，设点满足：，，则△与△的面积之比为 ．
【答案】2．
【解析】设，，，，则，
由，得，于是直线的方程为，
同理，直线的方程为，
联立两直线方程，得．
，在椭圆，，
从而，得，．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分（2021·山东省郓城第一中学高二月考）)命题p：方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：方程＋＝1表示双曲线．
(1)若命题p为真命题，求m的取值范围；
(2)若命题q为假命题，求m的取值范围．
【解析】(1)根据题意，得
解得0＜m＜2，
故命题p为真命题时，m的取值范围为(0,2)．
(2)若命题q为真命题，则(m＋1)(m－1)＜0，解得－1＜m＜1，故命题q为假命题时，m的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
18．(本小题满分12分) （2021·五莲县教学研究室高二期中）已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P，求抛物线的方程和双曲线的方程．
【解析】依题意，设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，
∵点P在抛物线上，∴6＝2p×.∴p＝2，
∴所求抛物线的方程为y2＝4x.
∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x＝－1上，
∴c＝1，即a2＋b2＝1，
又点P在双曲线上，∴－＝1，
解方程组
得或(舍去)．
∴所求双曲线的方程为4x2－y2＝1.
19．(本小题满分12分) （2021·江苏宿迁中学高二期中）已知抛物线y2＝2px(p＞0)上点T(3，t)到焦点F的距离为4.
(1)求t，p的值；
(2)如图所示，设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且·＝5(其中O为坐标原点)．求证直线AB必过定点，并求出该定点的坐标．
【解析】(1)由已知得3＋＝4，∴p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x，代入可解得t＝±2.
(2)设直线AB的方程为x＝my＋n，A，B.由得y2－4my－4n＝0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n.由·＝5，得＋y1y2＝5，∴y1y2＝－20或y1y2＝4(舍去)．即－4n＝－20，∴n＝5，∴直线AB过定点(5,0)．
20．(本小题满分12分) （2021·重庆市万州沙河中学高二月考）已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F(1,0)，抛物线E：x2＝2py的焦点为M.
(1)若过点M的直线l与抛物线C有且只有一个交点，求直线l的方程；
(2)若直线MF与抛物线C交于A，B两点，求△OAB的面积．
【解析】(1)因为抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F(1,0)，抛物线E：x2＝2py的焦点为M，所以p＝2，M(0，1)．
①当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝0，满足题意．
②当直线l的斜率存在时，设方程为y＝kx＋1，代入y2＝4x，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.当k＝0时，x＝，满足题意，直线l的方程为y＝1；当k≠0时，令Δ＝(2k－4)2－4k2＝0，解得k＝1，所以直线l的方程为y＝x＋1.综上，直线l的方程为x＝0或y＝1或y＝x＋1.
(2)结合(1)知抛物线C的方程为y2＝4x，
直线MF的方程为y＝－x＋1.
联立得y2＋4y－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝－4，y1y2＝－4，所以|y1－y2|＝4，
所以S△OAB＝|OF|·|y1－y2|＝2.
21．(本小题满分12分) （2021·江苏省南通中学高二期中）给定椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．已知椭圆的离心率e＝，其“准圆”的方程为x2＋y2＝4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2，交“准圆”于点M，N.当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程，并证明l1⊥l2.
【解析】(1)由准圆方程为x2＋y2＝4，得a2＋b2＝4，
椭圆的离心率e＝＝＝，解得a＝，b＝1，
∴椭圆的标准方程：＋y2＝1.
(2)∵准圆x2＋y2＝4与y轴正半轴的交点为P(0，2)，
设过点P(0,2)且与椭圆相切的直线为y＝kx＋2，
联立，得整理，得
(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0.
∵直线y＝kx＋2与椭圆相切，
∴Δ＝144k2－4×9(1＋3k2)＝0，解得k＝±1，
∴l1，l2的方程为y＝x＋2，y＝－x＋2.
∵＝1，＝－1，∴·＝－1，则l1⊥l2.
22．(本小题满分12分) （2021·苏州市相城区陆慕高级中学高二月考）已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知定点E(－1,0)，若直线y＝kx＋2(k≠0)与椭圆交于C，D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点，请说明理由．
【解析】(1)直线AB的方程为：bx－ay－ab＝0. 且a2－b2＝c2
依题意解得
∴椭圆方程为＋y2＝1.
(2)假设存在这样的k值，由得
(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0.
∴Δ＝(12k)2－36(1＋3k2)>0.解得k＞1或k＜－1.①
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则②
而y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4.要使以CD为直径的圆过点E(－1,0)，
当且仅当CE⊥DE时成立，则·＝－1.
即y1y2＋(x1＋1)(x2＋1)＝0.
∴(k2＋1)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋5＝0.③
将②式代入③整理解得k＝.经验证k＝使①成立．
综上可知，存在k＝，使得以CD为直径的圆过点E.
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