人教版数学八年级上册11.3.2多边形内角和(共21张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级上册11.3.2多边形内角和(共21张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-22 09:42:58 | ||
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文档简介
(共21张PPT)
1
第十一章 三角形
11.3 多边形及其内角和
11.3.2 多边形的内角和
法国的建筑事务所atelierd将协调坚固的蜂窝与人类天马行空的想象力结合，创造了这个“abeilles bee pavilion”.
导入新课
情景引入
思考：你知道正六边形的内角和是多少吗？
视频：多边形的内角和
问题2 你知道长方形和正方形的内角和是多少 度？
问题1 三角形内角和是多少度？
三角形内角和 是180°.
都是360°.
问题3 猜想任意四边形的内角和是多少度？
讲授新课
多边形的内角和
一
猜想：四边形ABCD的内角和是360°.
问题4 你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？
猜想与证明
方法1：如图，连接AC,
所以四边形被分为两个三角形，
所以四边形ABCD内角和为
180°×2=360°.
A
B
C
D
A
B
C
D
E
方法2：如图，在CD边上任取一点E，连接AE,DE，
所以该四边形被分成三个三角形，
所以四边形ABCD的内角和为
180°×3-(∠AEB+∠AED+∠CED)=180°×3-180°=360°.
方法3：如图，在四边形ABCD内部取一点E，
连接AE,BE,CE,DE，
把四边形分成四个三角形：△ABE,△ADE,△CDE,△CBE.
所以四边形ABCD内角和为：
180°×4-(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)
=180°×4-360°=360°.
A
B
C
D
E
A
B
C
D
P
方法4：如图，在四边形外任取一点P,连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.
所以四边形ABCD内角和为180°×3－180 °= 360°.
这四种方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，转化到已经学了的三角形内角和求解.
结论： 四边形的内角和为360°.
例1：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由.
解：
如图，四边形ABCD中，∠A+ ∠C =180°.
∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2) ×180 °= 360 °，
因为
∠B＋∠D= 360°－（∠A＋∠C）
= 360°－ 180° =180°.
所以
A
B
C
D
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.
典例精析
【变式题】如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，若BE∥DF，求证：△DCF为直角三角形．
证明：∵在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠CDF+∠EBF=90°，
∵BE∥DF，∴∠EBF=∠CFD，
∴∠CDF+∠CFD=90°，
故△DCF为直角三角形．
运用了整体思想
A
C
D
E
B
A
B
C
D
E
F
问题5 你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方
法求五边形和六边形内角和吗
内角和为180°×3 = 540°.
内角和为180°×4 = 720°.
n 边形
六边形
五边形
四边形
三角形
多边形内角和
分割出三角形的个数
从多边形的一顶点引出的对角线条数
图形
边数
······
0
n -3
1
2
3
1
2
3
4
n -2
（ n -2 ）·180
1×180 =180
2×180 =360
3×180 =540
4×180 =720
······
······
······
······
由特殊到一般
分割
多边形
三角形
分割点与多边形的位置关系
顶点
边上
内部
外部
转化思想
总结归纳
多边形的内角和公式
n边形内角和等于(n-2)×180 °.
例2 一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？
解：设这个多边形边数为n，则
（n-2） 180=360+720，
解得n=8，
∵这个多边形的每个内角都相等，
（8-2）×180°=1080°，
∴它每一个内角的度数为1080°÷8=135°．
典例精析
例3 如图，在五边形ABCDE中，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，求∠P的度数．
解析：根据五边形的内角和等于540°，由∠C,∠D,
∠E的度数可求∠EAB+∠ABC的度数，再根据角平
分线的定义可得∠PAB与∠PBA的角度和，进一步求
得∠P的度数．
可运用了整体思想
解：∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=540°，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，
∴∠EAB+∠ABC=540°-∠C-∠D-∠E=230°.
∵AP平分∠EAB,
∴∠PAB＝ ∠EAB，
同理可得∠ABP＝ ∠ABC，
∵∠P+∠PAB+∠PBA=180°，
∴∠P=180°-∠PAB-∠PBA
=180° (∠EAB+∠ABC)=180° ×230°=65°．
2
4
1
3
2
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用形状、大小完全相同的任意四边形可拼成一块无空隙的地板，你知道这是为什么吗？
你知道吗？
课堂小结
本节课学习了哪些主要内容？
我们是怎样得到多边形内角和公式的？
在探究多边形内角和公式的过程中，连接对角线起到了什么作用？
当堂练习
1.一个多边形的各个内角都等于108°，它是_____边形.
2.一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的
每一个内角等于______．
120°
正五
3.求下列图形中x的值
∟
(1)
∟
(2)
(3)
C
A
B
D
E
(4)
AB∥CD
课后作业
练习册多边形内角和本节习题
1
第十一章 三角形
11.3 多边形及其内角和
11.3.2 多边形的内角和
法国的建筑事务所atelierd将协调坚固的蜂窝与人类天马行空的想象力结合，创造了这个“abeilles bee pavilion”.
导入新课
情景引入
思考：你知道正六边形的内角和是多少吗？
视频：多边形的内角和
问题2 你知道长方形和正方形的内角和是多少 度？
问题1 三角形内角和是多少度？
三角形内角和 是180°.
都是360°.
问题3 猜想任意四边形的内角和是多少度？
讲授新课
多边形的内角和
一
猜想：四边形ABCD的内角和是360°.
问题4 你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？
猜想与证明
方法1：如图，连接AC,
所以四边形被分为两个三角形，
所以四边形ABCD内角和为
180°×2=360°.
A
B
C
D
A
B
C
D
E
方法2：如图，在CD边上任取一点E，连接AE,DE，
所以该四边形被分成三个三角形，
所以四边形ABCD的内角和为
180°×3-(∠AEB+∠AED+∠CED)=180°×3-180°=360°.
方法3：如图，在四边形ABCD内部取一点E，
连接AE,BE,CE,DE，
把四边形分成四个三角形：△ABE,△ADE,△CDE,△CBE.
所以四边形ABCD内角和为：
180°×4-(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)
=180°×4-360°=360°.
A
B
C
D
E
A
B
C
D
P
方法4：如图，在四边形外任取一点P,连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.
所以四边形ABCD内角和为180°×3－180 °= 360°.
这四种方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，转化到已经学了的三角形内角和求解.
结论： 四边形的内角和为360°.
例1：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由.
解：
如图，四边形ABCD中，∠A+ ∠C =180°.
∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2) ×180 °= 360 °，
因为
∠B＋∠D= 360°－（∠A＋∠C）
= 360°－ 180° =180°.
所以
A
B
C
D
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.
典例精析
【变式题】如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，若BE∥DF，求证：△DCF为直角三角形．
证明：∵在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠CDF+∠EBF=90°，
∵BE∥DF，∴∠EBF=∠CFD，
∴∠CDF+∠CFD=90°，
故△DCF为直角三角形．
运用了整体思想
A
C
D
E
B
A
B
C
D
E
F
问题5 你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方
法求五边形和六边形内角和吗
内角和为180°×3 = 540°.
内角和为180°×4 = 720°.
n 边形
六边形
五边形
四边形
三角形
多边形内角和
分割出三角形的个数
从多边形的一顶点引出的对角线条数
图形
边数
······
0
n -3
1
2
3
1
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3
4
n -2
（ n -2 ）·180
1×180 =180
2×180 =360
3×180 =540
4×180 =720
······
······
······
······
由特殊到一般
分割
多边形
三角形
分割点与多边形的位置关系
顶点
边上
内部
外部
转化思想
总结归纳
多边形的内角和公式
n边形内角和等于(n-2)×180 °.
例2 一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？
解：设这个多边形边数为n，则
（n-2） 180=360+720，
解得n=8，
∵这个多边形的每个内角都相等，
（8-2）×180°=1080°，
∴它每一个内角的度数为1080°÷8=135°．
典例精析
例3 如图，在五边形ABCDE中，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，求∠P的度数．
解析：根据五边形的内角和等于540°，由∠C,∠D,
∠E的度数可求∠EAB+∠ABC的度数，再根据角平
分线的定义可得∠PAB与∠PBA的角度和，进一步求
得∠P的度数．
可运用了整体思想
解：∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=540°，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，
∴∠EAB+∠ABC=540°-∠C-∠D-∠E=230°.
∵AP平分∠EAB,
∴∠PAB＝ ∠EAB，
同理可得∠ABP＝ ∠ABC，
∵∠P+∠PAB+∠PBA=180°，
∴∠P=180°-∠PAB-∠PBA
=180° (∠EAB+∠ABC)=180° ×230°=65°．
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3
用形状、大小完全相同的任意四边形可拼成一块无空隙的地板，你知道这是为什么吗？
你知道吗？
课堂小结
本节课学习了哪些主要内容？
我们是怎样得到多边形内角和公式的？
在探究多边形内角和公式的过程中，连接对角线起到了什么作用？
当堂练习
1.一个多边形的各个内角都等于108°，它是_____边形.
2.一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的
每一个内角等于______．
120°
正五
3.求下列图形中x的值
∟
(1)
∟
(2)
(3)
C
A
B
D
E
(4)
AB∥CD
课后作业
练习册多边形内角和本节习题