2021-2022学年数学人教A版（2019）必修第一册3.4 函数的应用（一） 同步练习（Word含答案解析）

3.4函数的应用
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一、单选题
1．若函数 f(x)与函数 g(x) 的图像有且只有一个交点，则必有(　　)
A．函数 y＝f(x)有且只有一个零点
B．函数 y＝g(x)有且只有一个零点
C．函数 y＝f(x)＋g(x)有且只有一个零点
D．函数 y＝f(x)－g(x)有且只有一个零点
2．已知某商品的进货成本为10（元/件），经过长时间调研，发现售价x（元）与月销售量y（件）满足函数关系式．为了获得最大利润，商品售价应为（ ）
A．80元 B．60元 C．50元 D．40元
3．把长为6厘米的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形面积之和的最小值是
A． B． C． D．
4．函数y＝f(x)是定义在R上的连续不断的一条曲线，满足f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，其中aA．2 B．至少2个
C．奇数 D．偶数
5．一等腰三角形的周长是，底边是关于腰长的函数，它的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
6．已知某炮弹飞行高度h（单位：m）与时间x（单位：s）之间的函数关系式为，则炮弹飞行高度高于的时间长为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．某天，张敏在下班回家的路上，开始和同事边走边讨论问题，走得比较慢；然后他们索性停下来将问题彻底解决；最后他快速地回到了家.下列图像中与这一过程吻合得最好的是
A． B．
C． D．
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二、多选题
9．某工厂八年来某种产品总产量（即前年年产量之和）与时间（年）的函数关系如图，下列几种说法中正确的是（ ）
A．前三年中，总产量的增长速度越来越慢
B．前三年中，年产量的增长速度越来越慢
C．第三年后，这种产品停止生产
D．第三年后，年产量保持不变
10．某杂志以每册元的价格发行时，发行量为万册.经过调查，若单册价格每提高元，则发行量就减少册.要该杂志销售收入不少于万元，每册杂志可以定价为（ ）
A．元 B．元
C．元 D．元
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三、填空题
11．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的利润与营运年数为二次函数关系（如图），则客车有营运利润的时间不超过________年．
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四、解答题
12．某公司生产某种电子产品的固定成本为2万元，每生产一台该产品需增加投入100元，已知总收入R（单位：元）关于月产量x（单位：台）满足函数：
（1）将利润（单位：元）表示成月产量x的函数
（2）当月产量x为何值时，公司所获利润最大，最大利润是多少？（利润+总成本=总收入）
13．某水厂的蓄水池中有吨水，每天零点开始由池中放水向居民供水，同时以每小时吨的速度向池中注水，若小时内向居民供水总量为，则每天何时蓄水池中的存水量最少.
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
依题意可知只有一个解，由此得出选项.
【详解】
依题意可知只有一个解，那么函数有且只有一个零点，故选选项.
【点睛】
本小题主要考查函数零点问题，两个函数图像只有一个交点，等价于这两个函数的差构成的函数只有一个零点，属于基础题.
2．D
【分析】
依题意可得利润函数，进而可得结果.
【详解】
由题意可知，利润，
令，则．当且仅当即（元） 时利润最大．
故选：D.
3．D
【分析】
设其中一个正三角形的边长为，另一个正三角形的边长为，根据三角形的面积公式，得出这两个正三角形的面积和为，转化为求二次函数的最小值.
【详解】
设其中一个正三角形的边长为，面积之和为
则另一个正三角形的边长为，
，当时，取最小值为.
故选:D.
【点睛】
本题考查函数应用问题，建立函数模型是解题的关键，还要注意定义域范围，也考查了二次函数的性质，属于中档题.
4．B
【解析】
【分析】
根据函数零点的存在性判断方法，结合题意即可判断出零点个数．
【详解】
因为函数是定义在R上的连续不断的一条曲线，由，知在上至少有1个零点，由知y＝f(x)在上至少有1个零点，所以在上至少有2个零点．
【点睛】
本题主要考查了函数零点的存在性判断方法，结合区间判断零点的大小，是基础题．
5．D
【分析】
根据已知条件可得出函数解析式，结合三角形三边关系可得出的取值范围.
【详解】
依题意得，所以，
由三边形三边关系可得，即，解得.
因此，函数解析式为.
故选：D.
6．A
【分析】
令解不等式可得答案.
【详解】
根据题意可得，解得，
则炮弹飞行高度高于的时间长为（s）.
故选：A.
7．A
【分析】
对分情况讨论，分段求出的取值范围，最后再求并集即可．
【详解】
解：①当时，，
，
解得：，
，
②当时，，
，
解得：，
，
综上所述，实数的取值范围是：，．
故选：．
8．D
【分析】
由题意，得到最先由远及近匀速，然后停止，最后快速，结合选项，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，开始和同事边走边讨论问题，走得比较慢；然后停下来将问题彻底解决，最后他快速地回到了家，可得最先由远及近匀速，然后停止，最后快速，只有选项D符合.
故选D.
【点睛】
本题主要考查了函数的实际应用，以及函数的图象的识别问题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
9．AC
【分析】
根据函数图像依次分析各选项即可得答案.
【详解】
由题中函数图像可知，在区间上，图像是凸起上升的，表明总产量的增长速度越来越慢，A正确，
由总产量增长越来越慢知，年产量逐年减小，因此B错误，
在上，图像是水平直线，表明总产量保持不变，即年产量为，因此C正确，D错误.
故选：AC
10．BC
【分析】
设每册杂志定价为元，根据题意由，解得的范围，可得答案.
【详解】
依题意可知，要使该杂志销售收入不少于万元，只能提高销售价，
设每册杂志定价为元，则发行量为万册，
则该杂志销售收入为万元，
所以，化简得，解得，
故选：BC
【点睛】
关键点点睛：理解题意并求出每册杂志定价为元时的发行量是解题关键.
11．7
【分析】
确定函数解析式，解不等式，即可得到结论．
【详解】
设二次函数y=a(x-6)2+11，
又过点(4，7)，
所以a=-1，即y=-(x-6)2+11.
解y≥0，得6-≤x≤6+，
所以有营运利润的时间为2.
又6<2<7，所以有营运利润的时间不超过7年.
故答案为：7
12．（1）；
（2）当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000.
【分析】
（1）根据题意建立函数关系式，写出分段函数形式；
（2）分别求各段的最大值，即可求出公司利润最大值及取最大值时的产量.
【详解】
（1）由题意可得：
当时，；
当时，；
所以.
（2）当时，，即最大值为25000；
当时，为减函数，所以当时，，故.
即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000.
【点睛】
数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：
(1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；
(2)求解应用性问题时，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题理解自变量的取值范围.
13．时，蓄水池中的存水量最少.
【分析】
设小时后，蓄水池中的存水量为吨，求出关于的函数关系式，利用二次函数的基本性质可求出取最小值时对应的的值.
【详解】
设小时后，蓄水池中的存水量为吨，则，其中，
令，则，
所以，当时，取最小值，此时，（时）.
因此，当时，蓄水池中的存水量最少.
【点睛】
思路点睛：解函数应用题的一般程序：
第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；
第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；
第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；
第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．