2021-2022学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册4.2对数与对数函数同步练习（Word含答案解析）

北京·高一·同步练习
对数与对数函数
一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)
1．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．设，则（ ）
A．a4．已知m，n∈R，函数f(x)＝m＋lognx的图象如图，则m，n的取值范围分别是（ ）
A．m>0，0C．m>0，n>1 D．m<0，n>1
5．关于函数的单调性的说法正确的是（ ）
A．在R上是增函数 B．在R上是减函数
C．在区间上是增函数 D．在区间上是减函数
6．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
7．已知是定义在上的偶函数，在上是减函数，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知是上的减函数，那么a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至5000，则大约增加了（ ）（附：）
A． B． C． D．
二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)
11．函数f(x)＝的定义域为______．
12．函数y＝loga(x＋1)－2(a>0且a≠1)的图象恒过点________．
13．已知，若，则实数______.
14．若函数在区上单调递减，则实数的取值范围是______．
15．司机酒后驾驶危害他人的安全，一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.9，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，小时后体内的酒精含量为___________；他至少经过___________小时，才能开车？（精确到1小时，参考数据：）
三、解答题(共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)
16．计算：
（1）；
（2）．
17．已知函数．
（1）求的定义域；
（2）判断的奇偶性并予以证明；
（3）求不等式的解集．
18．已知是偶函数，是奇函数.
（1）求，的值；
（2）判断的单调性（不要求证明）；
（3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
19．已知函数为偶函数.
（1）求的值；
（2）设函数，是否存在实数，使得函数在区间上的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
20．已知函数，.
（1）判断的奇偶性和单调性；
（2）若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围.
21．已知，函数.
（1）若，求实数的值；
（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围.
（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.
试卷第2页，共3页
试卷第9页，共9页
参考答案
1．B
【分析】
由对数真数大于0可得．
【详解】
由题意，，
即，
解得，
即函数定义域为．
故选：B
2．C
【分析】
由对数恒等式求解即可
【详解】
对于A：由对数恒等式可知：错误，故A错误；
对于B：由对数恒等式可知：，故B错误；
对于C：由对数恒等式可知：，故C正确；
对于D：由对数恒等式可知：，故D错误；
故选：C
3．C
【分析】
根据指数函数和对数函数的单调性，利用中间值1和2比较大小．
【详解】
解：∵，∴，
又，
，
∴，
故选：C．
4．C
【分析】
与对数函数的图象与性质比较可得．
【详解】
解析：由题中图象知函数为增函数，故n>1．
又当x＝1时，f(x)＝m>0，故m>0．
故选：C．
5．D
【分析】
先求出函数的定义域，再设，则，然后利用复合函数单调性的判断方法进行判断即可
【详解】
由函数的解析式知定义域为，
设，在上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，
由复合函数的单调性可知在上是减函数，
故选：D.
6．D
【分析】
首先解对数不等式，再判断充分、必要条件.
【详解】
，，
，解得或.
所以“”是“”的既不充分又不必要条件.
故选：D
7．D
【分析】
根据函数的奇偶性与单调性将函数不等式转化为，再根据对数函数的性质计算可得；
【详解】
解：因为是定义在上的偶函数，在上是减函数，所以在上是增函数，又，所以，所以当时，则等价于，即，解得，所以原不等式的解集为，
故选：D
8．D
【分析】
分别讨论和时，利用对数函数的单调性以及解分式不等式，即可求解.
【详解】
当时，不等式即，可得，解得：；
当时，不等式即，即，所以，
解得：或（舍），所以，
综上所述：不等式的解集为，
故选：D.
9．A
【分析】
由为上的减函数，知递减，递减，且，从而得，解出即可．
【详解】
解：因为为上的减函数，
所以有，
解得，
故选：A.
10．B
【分析】
根据题意，计算出的值即可
【详解】
当时，，当时，，
因为
所以将信噪比从1000提升至5000，则大约增加了23%，
故选：B.
11．(0，]
【分析】
由被开方数大于或等于0，结合对数函数性质可得．
【详解】
解析：由1－2log5x≥0，得log5x≤，
故0故答案为：．
12．(0，－2)
【分析】
由对数函数的图象所过定点求解．
【详解】
解：依题意，，即x＝0时，y＝loga(0＋1)－2＝0－2＝－2，故图象恒过定点(0，－2)．
故答案为：(0，－2)
13．或
【分析】
先求得，然后对进行分类讨论，进而求得的值.
【详解】
因为，所以，
当，即时，，解得，
当，即时，，解得，
故的值为或.
故答案为：或
14．
【分析】
令，根据二次函数和对数函数的单调性，再利用复数函数的单调性计算可得；
【详解】
解：令，对称轴为，开口向上；
因为时，在上单调递减，则在单调递增，所以，即，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
15． 9
【分析】
由题意得出小时后体内的酒精含量，结合对数的运算解不等式即可.
【详解】
由题意可知，小时后体内的酒精含量为
由得，两边取对数得，即
由得出至少经过小时，才能开车.
故答案为：；9
16．（1）；（2）0.
【分析】
（1）根式化为指数运算，以及结合分式指数幂的运算法则，即可求解；
（2）根据对数运算法则，即可化简求值.
【详解】
（1）原式．
（2）原式
．
17．（1）；（2）奇函数；证明见解析；（3）．
【分析】
（1）利用对数的性质可得，解不等式即可得函数的定义域.
（2）根据奇偶性的定义证明的奇偶性即可.
（3）由的解析式判断单调性，利用对数函数的单调性解不等式即可.
【详解】
（1）要使有意义，则，解得：．
∴的定义域为.
（2）为奇函数，证明如下：
由（1）知： 且，
∴为奇函数，得证．
（3）∵在内是增函数，由，
∴，解得，
∴不等式的解集是.
18．（1），；（2）单调递增；（3）.
【分析】
（1）利用求得的值.利用是定义在上的奇函数，求得的值.
（2）根据的解析式判断出的单调性.
（3）化简不等式，分离常数，通过构造函数法求得的取值范围.
【详解】
（1）∵是偶函数，
∴，即，
则，
，
则，即，解得.
若是奇函数.则，即，
解得；
（2）∵，∴，则单调递增；
（3）由（2）知单调递增；
则不等式在上恒成立，
等价为在上恒成立，
即在上恒成立，
则，
设，
∵在上单调递增，
∴，
则，
则实数的取值范围是.
【点睛】
求解不等式恒成立问题，可采用分离常数法，通过构造函数来求得的取值范围.
19．（1）；（2）存在，.
【分析】
（1）根据题意得出，代入函数解析式，从而求出的值；
（2）根据（1）得出，利用换元得出二次函数，讨论对称轴与区间的关系即可求出的值.
【详解】
（1）由题意知函数的定义域为，
因为为偶函数，所以对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
所以，解得.
（2）由（1）知所以，
令，则，其对称轴为，
①当，即时，在上单调递减，
所以，
由，
解得，此时不满足，此时不存在符合题意的值；
②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
由，解得或，又，所以；
③当，即时，在上单调递增，
所以，
由，解得，不满足，此时不存在符合题意的值.
综上所述，存在，使得函数在区间上的最小值为.
20．（1）函数是奇函数，在上单调递增；（2）.
【分析】
（1）结合对数的真数大于零求得的定义域，由判断出为奇函数，结合函数的单调性的知识来判断出的单调性.
（2）将问题转化为，先求得，然后对进行分类讨论，由列不等式来求得的取值范围.
【详解】
（1）要使有意义，只需，解得，
所以的定义域为，关于原点对称.
又因为，
所以函数是奇函数.
因为在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在上单调递增.
（2）对任意，存在，使得不等式成立，
等价于，
由（1）知在上单调递增，则在上单调递增，
，
函数的对称轴为，
当时，，则，
解得，所以，
当时，，则，解得，所以，
综上可知，实数的取值范围是.
21．（1）；（2）或或；（3）.
【分析】
（1）化简即得解；
（2）化简得，再讨论解集中恰好有一个元素，得到的取值范围；
（3）由题得，即，设，再对分类讨论，结合基本不等式得解.
【详解】
解：（1），
∴，∴，
解得
（2）由得.
即，
即，①
则，
即，②，
当时，方程②的解为，代入①，成立；
当时，方程②的解为，代入①，成立；
当且时，方程②的解为或，
若是方程①的解，则，即，
若是方程①的解，则，即，
则要使方程①有且仅有一个解，则.
综上，若方程的解集中恰好有一个元素，则的取值范围是或或.
（3）函数在区间上单调递减，
由题意得，
即，
即，即
设，则，，
当时，，
当时，，
∵在上递减，
∴，∴，
∴实数的取值范围是.
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