2021-2022学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册4.3指数函数与对数函数的关系同步练习（Word含答案解析）

北京·高一·同步练习
指数函数与对数函数的关系
一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)
1．若函数的反函数是，，，则等于（ ）
A．a B． C． D．
2．下列说法中,正确的是
A．对任意,都有
B．=是上的增函数
C．若且,则
D．在同一坐标系中,与的图象关于直线对称.
3．设函数，若，则实数的值为（ ）
A． B． C．或 D．
4．已知函数的图象如下图所示，函数的图象与的图象关于直线对称，则函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，若，则（ ）
A． B． C． D．1
6．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
7．某引进的外来水生植物在水面的蔓延速度极快，对当地的生态造成极大的破坏.某科研部门在水域中投放一定面积的该植物研究发现，该植物在水面的覆盖面积y（单位：）与经过的时间t（单位：月.）的关系为，则该植物在水域中的面积达到刚开始投放时的1000倍需要的时间（单位：月）为（　　）
参考数据：.
A．20 B．22 C．24 D．26
8．设函数若 ，则的取值范围是（ ）
A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．(0，2)
C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．(－1，3)
9．设、、均为实数，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数与函数的图像关于对称，且，有如下五个命题，正确的个数为（ ）
①函数的定义域为；
②函数是偶函数
③若，则的取值范围是
④对于任意的，都有
⑤对于函数定义域中任意的两个不同实数，，总满足．
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)
11．已知函数的反函数为，则___________.
12．设函数，若则=______.
13．设方程的解为，的解为，则_____________.
14．已知函数（的反函数是），对于函数，当时，最大值与最小值的差是，求则的值为___________．
15．时，恒成立，则的取值范围是_________________________
三、解答题(共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)
16．已知函数（，且）.
（1）若函数的反函数是其本身，求实数的值；
（2）当时，求函数的值域.
17．设同时满足条件和对任意，都有成立.
（1）求的解析式；
（2）设函数的定义域为，且在定义域内.若函数的图象与的图象关于直线对称，求.
18．设，且)，其图象经过点，又的图象与的图象关于直线对称.
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的值；
（3）若在区间上的值域为，且，求的值.
19．已知函数与的图象关于对称
（1）若函数的值域为R，求实数k的取值范围；
（2）若且，求的最小值.
20．已知函数.
（1）解关于的方程；
（2）设函数，若在上的最小值为，求的值.
21．设为给定的实常数，若函数在其定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“函数”．
（1）若函数为“函数”，求实数的值；
（2）若函数为“函数”，求实数的取值范围；
（3）已知()为“函数”，设.若对任意的，当时，都有成立，求实数的最大值．
试卷第4页，共4页
试卷第9页，共9页
参考答案
1．A
【分析】
根据互为反函数的两个函数图象关于对称，可得点在函数的图象上即可求解.
【详解】
因为，所以点在的图象上，
因为互为反函数的两个函数图象关于对称，
所以点在函数的图象上，
所以，
故选：A.
2．D
【解析】
令,则,排除A;=是上的减函数,排除B;当时,成立,当时,不成立,排除C.选D.
3．B
【分析】
根据分段函数分成两个方程组求解，最后求两者并集.
【详解】
因为，
所以或
所以或
故选：B.
【点睛】
本题考查根据分段函数的函数值求自变量，属综合基础题.
4．C
【分析】
先根据图象求得的解析式，再根据关于直线对称的函数互为反函数求解即可
【详解】
由图象可得，，故，又函数的图象与的图象关于直线对称，故与互为反函数，故
故选：C
【点睛】
本题主要考查了根据图象求对数函数的解析式、对数函数的反函数等，属于基础题
5．B
【分析】
根据分段函数的对应法则，分成两类，解出适合题意的，进而可得结果.
【详解】
∵，
∴当时，，解得（舍去）；
当时，，解得即，
∴，
故选：B
6．C
【分析】
由确定出1【详解】
因则，a>1，此时，则有a<2，即1又，而，即，b<1，
所以.
故选：C
7．C
【分析】
首先求刚开始投放的面积，再根据公式求解的值.
【详解】
刚投放时的面积为，
设经过t个月该植物在水域中的面积是刚开始投放时的1000倍，
则，.
故选：C
8．C
【分析】
由分段函数，讨论时，当时，运用指数不等式和对数不等式的解法，可得所求范围．
【详解】
解：函数，若，
可得当时，，解得；
当时，，解得．
则的取值范围是．
故选：．
9．A
【分析】
在坐标系中作出函数，，，的图象，将、、分别视为函数与、、交点的横坐标，利用数形结合思想可得出这三个实数的大小关系.
【详解】
作函数，，，的大致图象，如图所示，由三个等式可知，三个交点的横坐标从左向右依次为、、，所以．
故选A．
【点睛】
本题考查方程根的大小比较，利用数形结合思想转化为函数交点横坐标的大小关系是解题的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
10．C
【分析】
①首先求，根据求函数的定义域，②利用偶函数的定义判断函数是否是偶函数，③利用，去绝对值，求得，再利用基本不等式求的取值范围；④利用函数的解析式，代入证明等式；⑤利用复合函数的单调性，判断函数是否是增函数.
【详解】
由条件可知，，
①，所以函数的定义域为，故①正确；
②，函数是奇函数，故②不正确；
③，则，，
，当时等号成立，，等号不能取得，的取值范围是，故③不正确；
④，
，所以，故④正确；
⑤，在上单调递减，根据复合函数的单调性可知在上单调递减，而表示函数单调递增，故⑤不正确.
故选：C
【点睛】
关键点点睛：本题的第一个关键是正确求出函数，这样为后面的性质判断提供基础，后面再判断函数性质时，对于③，根据的性质，正确去掉绝对值是关键.
11．1
【分析】
根据函数与其反函数之间的关系进行求解即可.
【详解】
，所以，
故答案为：
12．或2
【分析】
根据分段函数的对应法则，分类求解即可.
【详解】
（1）当时，，解得，
若，则，解得，
若，则，解得
（2）当时，，解得，（舍去）
综上：或
故答案为：或2
13．.
【分析】
由反函数对称性质即可求解.
【详解】
由的解为，得，
同理的解为，得，
又函数与函数互为反函数，图象关于直线对称，
且与互相垂直，且交点为，
则函数与函数的交点，函数与函数的交点，关于直线对称，
即与关于点对称，
即，
故答案为：.
14．
【解析】
的反函数为，∴．
∵，∴在上单调递增．
∴．∴．
15．
【分析】
对于任意，总有恒成立，则在时的图象恒在的上方．在同一坐标系中分别画出指数函数和对数函数图象，据此可求得a的取值范围．
【详解】
当时，函数的图象如下图所示：
因为对于任意，总有恒成立，
则的图象恒在的上方
因为与的图象相交于 时
代入对数函数，求得
所以此时a的取值范围为
【点睛】
本题考查了指数函数与对数函数的综合应用，根据函数图像及交点求得参数值，进而求得取值范围，属于难题．
16．（1）2；（2）.
【分析】
（1）先求出反函数的解析式，利用反函数和原函数的解析式相同，求出的值；
（2）当时，先求函数的定义域，化简函数的解析式，利用基本不等式，即可求解.
【详解】
（1）令，
；
（2）当时，由题意可得，
函数的定义域为，
函数
，
而，当且仅当时，等号成立，
，
，
函数的值域是.
【点睛】
本题考查求函数的反函数的方法，对数式的运算性质，以及基本不等式的应用，属于中档题.
17．（1）；（2）.
【分析】
（1）由求出的值，由可求得的值，进而可得的解析式；
（2），根据单调性求出的值域即为的定义域，设点是函数的图象上任意一点，点在函数的图象上，代入解析式，进而可得.
【详解】
（1）由，得，
由，得，
即对任意恒成立，
因为，所以，可得：，
所以.
（2）由题意知，当时，，
因为在上单调递增，所以，
设点是函数的图象上任意一点，它关于直线对称的点为，依题意知点应该在函数的图象上，
即，所以，
即.
18．（1）；（2）；（3）.
【分析】
(1)根据函数且)图象经过点可求的解析式；
(2)由得，，两式相乘可得结果；
(3)根据的图象与的图象关于直线对称可得，.
再根据题目条件结合为增函数列等式求解.
【详解】
(1)因为，且的图象经过点，
所以，所以，所以.
(2)因为，所以，
所以10，所以，所以.
(3)因为的图象与的图象关于直线对称，
所以，且为增函数，
所以在区间上的值域为，
因为，所以，所以，
所以.
19．（1）；（2）最小值为4.
【分析】
（1）先求解出的解析式，然后根据的值域为列出关于的不等式，由此求解出的取值范围；
（2）根据已知条件先求解出的关系，然后根据对勾函数的单调性求解出的最小值.
【详解】
（1）因为与的图象关于对称，
所以由题意得，
因为的值域为R，
所以的值域要包含所有正数，
当时满足条件，
当时，若的值域要包含所有正数，
则，即，所以，
即实数k的取值范围为.
（2）由，得.
因为，所以，
且，所以，
所以，所以，.
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值为4.
20．（1）；（2）或．
【分析】
（1）利用平方差公式，方程等价于，再解对数方程即可；
（2）对解析式化简，可得，令，则，，转化为关于的二次函数，再根据函数的定义域，讨论对称轴和定义域的关系，求函数的最小值，即可求得的值．
【详解】
解：（1）∵．
∴由方程可得，
∴，∴，
∴方程的解集为；
（2）∵，
∴函数
，
令，则，
所以，，
①当时，在上的最小值为，即，解答或（舍）；
②当时，在上的最小值为，即，解答或（舍）；
③当时，在上的最小值为，
综上，的值为或．
【点睛】
关键点点睛：在解决第二问时对原函数化简，然后再在采用换元法将原问题转化为关于的二次函数在特定区间上的最值问题，这是解决该问题的关键点和突破点.
21．（1）；（2）；（3）1.
【分析】
（1）由题意可得，根据解析式即可求解.
（2）由题意可得，根据解析式整理可得，讨论或，使方程有根即可求解.
（3）根据函数，求出，，设，从而可得，得出，构造函数，使其在区间上单调递增即可.
【详解】
解：（1）由为“函数”，得
即，解得，故实数的值为；
（2）由函数为“G(1)函数”可知，存在实数，
使得，，
即；
由，得， 整理得.
① 当时，，符合题意；
② 当时，由，即，
解得且；
综上，实数的取值范围是；
（3）由为“函数”，得，
即，从而，，
不妨设，则由，即，
得，
令，则在区间上单调递增，
又，
如图，可知，故实数的最大值为1.
【点睛】
关键点点睛：本题考查了函数的新定义，解题的关键是理解函数为“函数”的定义，对于（3）将问题转化为在区间上单调递增，考查了分析能力、转化能力.
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