2021-2022学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册4.4幂函数 同步练习（Word含答案解析）

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幂函数
一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)
1．下列函数为幂函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图表示的时四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图像，则幂函数的图像可能是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
3．已知幂函数（）在时是增函数，在时是减函数，则n的值是（ ）
A．正奇数 B．负奇数 C．正偶数 D．负偶数
4．幂函数的图象经过点，则（ ）
A．8 B．-8 C． D．
5．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的为（ ）
A．y＝x－4 B．y＝x－1
C．y＝x2 D．y＝x
6．已知幂函数y＝f(x)经过点(3，)，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
7．设，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．在同一坐标系内，函数和的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知幂函数的图象经过点，且，则的取值范围为( )
A． B．
C． D．
10．已知，M＝aa，N＝ab，P＝ba，则M，N，P的大小关系正确的为（ ）
A．N＜M＜P B．P＜M＜N C．M＜P＜N D．P＜N＜M
二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)
11．已知，若函数在上递减且为偶函数，则_______
12．函数是幂函数，且在上是减函数，则实数__________.
13．函数（，且）的图象所经过的定点在幂函数上，则_____________.
14．已知幂函数过定点，且满足，则的范围为________．
15．若幂函数的图象过点，则函数的最大值为___________.
三、解答题(共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)
16．已知函数是图象经过点的幂函数，函数是定义域为的奇函数，且当时，.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求当时函数的解析式，并在给定的坐标系中画出（）的图象
（Ⅲ）写出函数（）的单调区间.
17．幂函数过点，且函数，必过点.
（1）求，；
（2）计算.
18．已知幂函数(，)在区间上单调递减.
（1）求的解析式；
（2）当时，恒成立，求的取值范围.
19．已知幂函数在上为增函数.
（1）求实数的值，并写出相应的函数的解析式；
（2）若（且），是否存在实数使在区间上的最大值为2，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
20．已知幂函数是偶函数，且在上单调递增.
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围：
（3）若实数满足，求的最小值.
21．已知幂函数在上单调递减.
（1）求的值并写出的解析式；
（2）试判断是否存在，使得函数在上的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
试卷第4页，共4页
试卷第9页，共9页
参考答案
1．D
【分析】
根据幂函数的定义逐项分析即可求解.
【详解】
幂函数是形如的函数，
故ABC不符合，D符合，
故选：D
2．D
【分析】
根据幂函数的图象与性质，得到为增函数，且增加的速度越来越缓慢，结合给定的图象，即可求解.
【详解】
根据幂函数的图象与性质，可得幂函数为增函数，且增加的速度越来越缓慢，
结合给定的图象，只有④符合.
故选：D.
3．C
【分析】
由已知得到幂函数为偶函数，即可得到答案；
【详解】
偶函数在轴左右两侧的单调性相反，
幂函数（）为偶函数，
n的值正偶数，
故选：C
4．B
【分析】
求出幂函数，将代入即可求解.
【详解】
设，则，解得，
所以，所以.
故选：B
5．A
【分析】
根据幂函数的奇偶性和单调性逐一判断可得选项.
【详解】
函数y＝x－4为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；
函数y＝x－1为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；
函数y＝x2为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增；
函数y＝x为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增．
故选：A.
6．D
【分析】
利用幂函数的定义求得指数的值，得到幂函数的解析式，进而结合幂函数的图象判定单调性和奇偶性
【详解】
设幂函数的解析式为，
将点的坐标代入解析式得，解得，
∴，函数的定义域为,是非奇非偶函数，且在上是增函数，
故选：D.
7．B
【分析】
由题意利用指数函数 幂函数的单调性，得出结论．
【详解】
解：∵，
函数是减函数，，∴，∴.
又函数是R上的增函数，，∴，即，
综上可得，，
故选：B.
8．C
【分析】
根据幂函数的图象与性质，分和讨论，利用单调性和截距，由排除法，即可得到答案.
【详解】
由题意，若时，函数在递增，此时递增，
若时，函数在递减，递减，
所以当时，和单调性相同，故排除选项A，B，
选项D中：由图象可知，此时与轴交点为，
所以交于轴正半轴，可排除D，
故选：C.
9．C
【分析】
首先根据已知条件求出的解析式，再根据的单调性和奇偶性求解即可.
【详解】
由题意可知，，解得，，
故，易知，为偶函数且在上单调递减，
又因为，
所以，解得，或.
故的取值范围为.
故选：C.
10．A
【分析】
利用指数函数以及幂函数的单调性比较大小即可.
【详解】
因为函数在上单调递减，，所以
因为函数在上单调递增，，所以
即，
故选：A
11．
【分析】
利用幂函数的单调性、奇偶性与参数之间的关系可得出的值.
【详解】
若函数在上递减，则.
当时，函数为偶函数，合乎题意；
当时，函数为奇函数，不合乎题意.
综上所述，.
故答案为：.
12．2
【分析】
根据函数为幂函数求参数m，讨论所求得的m判断函数是否在上是减函数，即可确定m值.
【详解】
由题设，，即，解得或，
当时，，此时函数在上递增，不合题意；
当时，，此时函数在上递减，符合题设.
综上，.
故答案为：2
13．
【分析】
利用为幂函数，解得，再利用的图象经过的定点为，求解
【详解】
由于为幂函数，则，解得，
函数，当时，，
故的图象经过的定点为，所以，即，解得.
14．
【分析】
根据幂函数所过的点求出解析式，利用奇偶性和单调性去掉转化为关于的不等式即可求解.
【详解】
设幂函数，其图象过点，
所以，即，解得：，所以，
因为，
所以为奇函数，且在和上单调递减，
所以可化为，
可得，解得：，
所以的范围为，
故答案为：．
15．##
【分析】
先设，根据题意得到，进而，利用换元法结合二次函数的性质即可求解.
【详解】
设幂函数，
因为幂函数的图象经过点，
所以，因此,
所以，
所以，令，则，，
∴时，.
故答案为：##
16．（1）；（2）当时，；在上的图象见解析；（3）的单调递增区间为和，递减区间为
【分析】
（1）设出幂函数的解析式，把点代入即可求出函数解析式；
（2）利用奇函数的性质可以直接写出当时，的解析式，并画出图像；
（3）利用的图象写出单调区间即可
【详解】
（1）设，
则
（2），
当时
设则，
是上的奇函数
即当时，
图象如下图所示：
（3）由在上的图象可知：
的单调递增区间为和，递减区间为
17．（1），；（2）1.
【分析】
（1）根据幂函数、指数函数的知识求得.
（2）利用对数运算化简求得所求表达式的值.
【详解】
（1）依题意，
过定点，所以.
（2）
.
18．（1）；（2）.
【分析】
(1)利用幂函数的定义及性质结合已知条件列式计算即得；
(2)构造函数，再求出函数在指定区间上的最小值即可得解.
【详解】
（1）因幂函数在区间上单调递减，所以，解得
又，，则，此时，，即，
所以的解析式是；
（2）由(1)得，于是得不等式在上恒成立，
令，由(当且仅当，即时等号成立)，即，
所以实数的取值范围是.
19．（1）或，；（2）存在，.
【分析】
（1）根据幂函数在的单调性即可计算出实数的值.
（2）利用复合函数法单调性即可计算出实数的值.
【详解】
解：（1） 已知幂函数在上为增函数，
故，解得.
∵，∴或.
当或时，满足题意.
∴.
（2），令，由得：，
∵在上有定义，∴且.
在上为增函数.
当时，.
，
∵，∴.
当时，.
，
∵，∴此种情况不存在，
综上，存在实数，使在区间上的最大值为2.
20．（1）；（2）；（3）2．
【分析】
（1）由幂函数定义得值，由单调性得的范围，结合奇偶性得值．
（2）利用偶函数和单调性解不等式；
（3）由（1）得，用“1”的代换凑配出定值，由基本不等式得最小值．
【详解】
（1）是幂函数，则，，又是偶函数，所以是偶数，
在上单调递增，则，，所以或2．
所以；
（2）由（1）偶函数在上递增，
．
所以的范围是．
（3）由（1），，，
，当且仅当，即时等号成立．
所以的最小值是2．
21．（1），；（2）存在，.
【分析】
（1）根据幂函数的定义及单调性，令幂的系数为1及指数为负，列出方程求出的值，将的值代入即可；
（2）求出的解析式，按照与的大小关系进行分类讨论，利用的单调性列出方程组，求解即可.
【详解】
（1）（1）因为幂函数在上单调递减，
所以解得：或(舍去)，
所以；
（2）由（1）可得，，所以，
假设存在，使得在上的值域为，
①当时，，此时在上单调递减，不符合题意；
②当时，，显然不成立；
③当时，，在和上单调递增，
故，解得.
综上所述，存在使得在上的值域为.
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