2021-2022学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册4.6函数的应用（二）同步练习（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册4.6函数的应用（二）同步练习（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 543.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-23 17:25:08 | ||
图片预览
文档简介
北京·高一·同步练习
函数的应用
一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)
1．随着人们健康水平的不断提高，某种疾病在某地的患病率以每年的比例降低，若要将当前的患病率降低到原来的一半，需要的时间至少是（ ）(，)
A．6年 B．7年 C．8年 D．9年
2．某科技股份有限公司为激励创新，计划逐年增加研发资金投入．若该公司2020年全年投入的研发资金为100万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金开始超过140万元的年份是参考数据：，（ ）
A．2025年 B．2026年 C．2027年 D．2028年
3．人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.我国在2020年进行了第七次人口普查登记，到2021年4月以后才能公布结果.人口增长可以用英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus，1766—1834)提出的模型：，其中t表示经过的时间，表示时的人口数，r表示人口的年平均增长率.以国家统计局发布的2000年第五次人口普查登记(已上报户口)的全国总人口12.43亿人(不包括香港 澳门和台湾地区)和2010年第六次人口普查登记(已上报户口)的全国总人口13.33亿人(不包括香港 澳门和台湾地区)为依据，用马尔萨斯人口增长模型估计我国2020年末(不包括香港 澳门和台湾地区)的全国总人口数约为（ ）(，)
A．14.30亿 B．15.20亿 C．14.62亿 D．15.72亿
4．生物学家为了了解滥用抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗生素的残留量来作出判断．已知水中某生物体内抗生素的残留量（单位：mg）与时间（单位：年）近似满足数学函数关系式，其中为抗生素的残留系数．经测试发现，当时，，则抗生素的残留系数的值约为（ ）
A．10 B． C．100 D．
5．中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的高斯噪声功率，为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至4000，则C大约增加了（ ）(附：)
A．10% B．20% C．30% D．40%
6．在新冠肺炎疫情初期，部分学者利用逻辑斯蒂增长模型预测某地区新冠肺炎患者数量(的单位：天)，逻辑斯蒂增长模型具体为，其中为环境最大容量.当时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）
A．63 B．65 C．66 D．69
7．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵.记鲑鱼的游速为(单位：)，鲑鱼的耗氧量的单位数为.科学研究发现与成正比，且当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900.现有如下说法：
①与的正比例系数为；
②当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为2700；
③当鲑鱼的耗氧量的单位数为100时，游速.
则说法正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．某食品的保鲜时间（单位：h）与储藏温度（单位：）满足函数关系（…为自然对数的底数，为常数）.若该食品在储藏温度为时的保鲜时间是小时，在储藏温度为时的保鲜时间为小时，则该食品在储藏温度为时的保鲜时间是（ ）
A．18h B．27h C．54h D．81h
9．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：
对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是（ ）
A． B． C． D．
10．牛顿冷却定律描述一个事物在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间后的温度满足，其中是环境温度，称为半衰期，现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃．经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时1分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待（ ）（参考数据：，，）
A．4分钟 B．5分钟 C．6分钟 D．7分钟
二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)
11．《中华人民共和国国民经济和社会发展第十一个五年规划纲要》提出，“十一五”期间单位国内生产总值能耗降低.如果这五年平均每年降低的百分率为，那么满足的方程是____________
12．将400个进货单价为80元的商品，按90元一个售出时能全部卖出，已知这种商品每个涨价1元，其销售数就减少了20个，为了获得最大利润，售价应定为每个________元.
13．有关数据显示，2015年我国快递行业产生的包装垃圾约为400万吨.有专家预测，如果不采取措施，快递行业产生的包装垃圾年平均增长率将达到50%.由此可知，如果不采取有效措施，则从___________年(填年份)开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨.(参考数据：，)
14．2004年12月26日，印尼发生强烈地震，继而引发海啸，印尼地震监测机构最初公布的报告称，这次地震的震级为里氏6.8级，但美国地质勘探局测定的地震震级为里氏8.9级，已知里氏震级与地震释放的能量的关系为，那么里氏8.9级的地震释放的能量大约是里氏6.8级地震释放的能量的________倍.（精确到0.1）
15．燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬，研究发现，燕子的飞行速度（单位：）可以表示为（其中是实数，表示燕子的耗氧量的单位数），据统计，燕子在静止的时候其耗氧量为个单位.若燕子为赶路程，飞行的速度不能低于，其耗氧量至少需___________个单位
三、解答题(共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)
16．为落实中央“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2020年在其扶贫基地投入300万元研发资金用于蔬菜的开发与种植，并计划今后10年内在此基础上，每年投入的研发资金数比上一年增长.
（1）以2021年为第1年，分别计算该企业第1年、第2年投入的研发资金数，并写出第年该企业投入的研发资金数（万元）与的函数关系式以及函数的定义域；
（2）该企业从哪年开始，每年投入的研发资金数将超过600万元？
17．用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上.设用单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数，假定函数，是自然对数的底，、、为实数，的定义域为，值域为.
（1）求、、的值；
（2）现有单位量的水，可以清洗1次，也可以把水平均分成2份后清洗2次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由.
18．在不考虑空气阻力的情况下火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）满足（为自然对数的底）.
（1）当燃料质量为火箭（除燃料外）质量的两倍时，求火箭的最大速度（单位：）结果精确到0.1）；
（2）当燃料质量为火箭（除燃料外）质量的多少倍时，火箭的最大速度可以达到（结果精确到0.1）.
19．以下是某地不同身高的未成年男性的体重平均值表.
身高/ 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
体重/ 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 58.05
（1）根据上表中各组对应的数据，能否从我们学过的函数，，中找到一种函数，使它比较近似地反映该地未成年男性体重y关于身高x的函数关系，试写出这个函数的解析式，并求出a，b的值.
（2）若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地某校一男生身高175体重78，他的体重是否正常？
20．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响，在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．某公司为了激励业务员的积极性，对业绩在60万到200万的业务员进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y（单位：万元）随着业绩值x（单位：万元）的增加而增加，但不超过业绩值得5%．
（1）若某业务员的业绩为100万，核定可得4万元奖金，若该公司用函数（k为常数）作为奖励函数模型，则业绩200万元的业务员可以得到多少奖励？（已知，）
（2）若采用函数，求a的范围．
21．节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为，则第次改良后所排放的废气中的污染物数量，可由函数模型给出，其中是指改良工艺的次数.
（1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型；
（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过，试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.（参考数据：取）
试卷第4页，共5页
试卷第8页，共10页
参考答案
1．B
【分析】
首先根据条件列式，再通过两边取对数，计算需要的时间.
【详解】
设至少需要年的时间，则，两边取对数，
即.
故选：B
2．B
【分析】
根据题意构建指数函数模型，利用对数的运算进行计算即可得解.
【详解】
设年后研发资金开始超过140万，
有，
所以，
由，所以，
所以第年研发资金开始超过140万元，
即2026年研发资金开始超过140万元.
故选：B
3．A
【分析】
利用给定公式计算出，然后以2010年底的人口数为基数求t=10时的值即为所求.
【详解】
由马尔萨斯模型，得，即，
所以我国2020年末的全国总人口数(亿).
故选：A.
4．B
【分析】
将，代入给定的函数关系，解指数方程即得.
【详解】
当时，，则，，，即，故.
故选：B
5．B
【分析】
先计算和时的最大数据传输速率和，再计算增大的百分比即可.
【详解】
当时，；
当时，.
所以增大的百分比为：.
故选：B.
6．B
【分析】
由给定模型计算出P(t0)，建立方程，求解即得.
【详解】
由题意知，，即，
所以，解得.
故选：B
7．A
【分析】
列出对Q的函数关系，把的值分别代入计算并判断得解.
【详解】
依题意，设，则有，解得，故①错误；
当时，有，解得，故②错误；
当时，游速，故③错误.
故选：A
8．B
【分析】
利用给定条件列出方程组，求得相关量，再将代入计算即得.
【详解】
依题意，，解得，
所以当时，.
故选：B
9．D
【分析】
作出散点图，结合图形可得出合适的函数模型.
【详解】
在直角坐标系中画出这几对数据的散点图，观察图形的变化趋势，
这几个点在变化趋势上是在第一象限单调递增，
递增的速度比较快，排除B、C两个选项，当时，不符合A选项．
故选：D.
10．C
【分析】
根据已知条件代入公式计算得到，再把该值代入，利用对数的运算即可求得结果.
【详解】
根据题意，，即
设茶水从降至大约用时t分钟，则，
即，即
两边同时取对数：
解得，所以从泡茶开始大约需要等待分钟
故选：C
【点睛】
关键点点睛：本题考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，解题的关键是熟练运用对数的运算公式，考查学生的审题分析能力与运算求解能力，属于基础题.
11．
【分析】
根据指数幂的运算可得出等式.
【详解】
由已知可得，每年的国民生产总值是上一年的，由题意可得.
故答案为：.
12．95
【分析】
根据题意，转化为二次函数求最值.
【详解】
设售价为元，则利润为（元），所以当，即售价为95元时，利润最大.
故答案为：95
13．2021
【分析】
根据条件列指数函数，再解指数不等式得结果.
【详解】
设快递行业产生的包装垃圾为万吨，表示从2015年开始增加的年份数，由题意可得，，得，
两边取对数可得，∴，得，解得，∴从2015+6=2021年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨.
故答案为：2021
14．1412.5
【分析】
把给定的两个震级分别代入公式，列出各自释放的能量表达式，两者相比计算即得.
【详解】
由得，
于是得里氏6.8级地震释放的能量，
得里氏8.9级地震释放的能量，
从而有，
所以里氏8.9级的地震释放的能量大约是里氏6.8级地震释放的能量的1412.5倍.
故答案为：1412.5
15．80
【分析】
根据给定条件求出常数a，再建立不等关系即可得解.
【详解】
依题意，时，，于是得，解得，即，
由得：，即，解得，
所以其耗氧量至少需80个单位.
故答案为：80
16．（1），；（2）从年开始，每年投入的研发资金数将超过600万元.
【分析】
（1）由题设，应用指数函数模型，写出前2年的研发资金，进而确定函数解析式及定义域；
（2）由（1）得，利用指数的性质、对数运算求解集，进而判断从哪年开始研发资金数将超过600万元即可.
【详解】
（1）由题设，第1年研发资金为：万元；第2年研发资金为：万元；
∴第年研发资金：且定义域为；
（2）由（1）知：，即，
∴，故从第8年即年开始，每年投入的研发资金数将超过600万元.
17．（1），，；（2）两种方案残留农药量一样多，理由见解析.
【分析】
（1）由题设有且，即可求、、的值；
（2）根据题意，设未清洗前的农药量为1，分别写出两种清洗方式的最终残留农药量的表达式，即可比较它们残留农药的多少关系.
【详解】
（1）由题意知：且，
∴单调递减且，
由上，，故符合题意，则，
∴，.
（2）由（1）知：设未清洗前的农药量为1，
1、单位量的水清洗1次，残留农药量为，
2、把水平均分成2份后清洗2次，则第1次残留农药量为，第2次残留农药量为，
∴由上知：两种方案残留农药量一样多.
18．（1）；（2）.
【分析】
（1）将化为：，然后将代入中求解即可；
（2）将代入得，然后进行指对互化求解的值.
【详解】
解：因为，所以，
当燃料质量为火箭（除燃料外）质量的两倍时，将代入得：
；
（2）令，即，得，解得.
19．（1），，；（2）这个男生体重偏胖.
【分析】
（1）根据表中的数据描点画出图像，观察这个图像，发现各点的连线是一条向上弯曲的曲线，因此，我们可以考虑用函数来近似拟合，选择表中两点如点，的坐标代入，即可得出答案；
（2）将代入，从而可得出结论.
【详解】
解：（1）根据表中的数据描点画出图像，观察这个图像，发现各点的连线是一条向上弯曲的曲线，因此，可以判断它不能用函数来近似反映.根据这些点的走向趋势，我们可以考虑用函数来近似拟合.
选择表中两点如点，的坐标代入，可得，.
所以该地区未成年男性体重关于身高的函数关系式可以选为；
（2）将代入，得，
计算得，由于，
所以，这个男生体重偏胖.
20．（1）5.3万元；（2）．
【分析】
（1）将题中的条件代入，可以求出具体的函数解析式，即可解决.
（2）根据题意列出关于的不等式，然后把问题转化为研究函数的恒成立问题，进而确定参数的取值范围.
【详解】
（1）对于函数模型（k为常数），
当时，，代入解得，即，
当时，是增函数，
当时，，
所以业绩200万元的业务员可以得到5.3万元奖励．
（2）对于函数模型，
因为函数在递增，所以，即；
又由奖金不超过业绩值得5%，得
恒成立，
即对恒成立．
记，
因为二次函数图象开口向上且，所以函数图象的对称轴，
所以只需，即
解得．
综上可知，实数a的取值范围是：．
21．（1）；（2）至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.
【分析】
（1）由题设可得方程，求出，进而写出函数模型；
（2）由（1）所得模型，结合题设，并应用对数的运算性质求解不等式，即可知要使该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标至少要改良的次数.
【详解】
（1）由题意得：，，
∴当时，，即，解得，
∴，故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为.
（2）由题意得，，整理得：，即，
两边同时取常用对数，得：，整理得：，
将代入，得，又，
∴，
综上，至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.
北京·高一·
函数的应用
一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)
1．随着人们健康水平的不断提高，某种疾病在某地的患病率以每年的比例降低，若要将当前的患病率降低到原来的一半，需要的时间至少是（ ）(，)
A．6年 B．7年 C．8年 D．9年
2．某科技股份有限公司为激励创新，计划逐年增加研发资金投入．若该公司2020年全年投入的研发资金为100万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金开始超过140万元的年份是参考数据：，（ ）
A．2025年 B．2026年 C．2027年 D．2028年
3．人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.我国在2020年进行了第七次人口普查登记，到2021年4月以后才能公布结果.人口增长可以用英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus，1766—1834)提出的模型：，其中t表示经过的时间，表示时的人口数，r表示人口的年平均增长率.以国家统计局发布的2000年第五次人口普查登记(已上报户口)的全国总人口12.43亿人(不包括香港 澳门和台湾地区)和2010年第六次人口普查登记(已上报户口)的全国总人口13.33亿人(不包括香港 澳门和台湾地区)为依据，用马尔萨斯人口增长模型估计我国2020年末(不包括香港 澳门和台湾地区)的全国总人口数约为（ ）(，)
A．14.30亿 B．15.20亿 C．14.62亿 D．15.72亿
4．生物学家为了了解滥用抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗生素的残留量来作出判断．已知水中某生物体内抗生素的残留量（单位：mg）与时间（单位：年）近似满足数学函数关系式，其中为抗生素的残留系数．经测试发现，当时，，则抗生素的残留系数的值约为（ ）
A．10 B． C．100 D．
5．中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的高斯噪声功率，为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至4000，则C大约增加了（ ）(附：)
A．10% B．20% C．30% D．40%
6．在新冠肺炎疫情初期，部分学者利用逻辑斯蒂增长模型预测某地区新冠肺炎患者数量(的单位：天)，逻辑斯蒂增长模型具体为，其中为环境最大容量.当时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）
A．63 B．65 C．66 D．69
7．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵.记鲑鱼的游速为(单位：)，鲑鱼的耗氧量的单位数为.科学研究发现与成正比，且当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900.现有如下说法：
①与的正比例系数为；
②当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为2700；
③当鲑鱼的耗氧量的单位数为100时，游速.
则说法正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．某食品的保鲜时间（单位：h）与储藏温度（单位：）满足函数关系（…为自然对数的底数，为常数）.若该食品在储藏温度为时的保鲜时间是小时，在储藏温度为时的保鲜时间为小时，则该食品在储藏温度为时的保鲜时间是（ ）
A．18h B．27h C．54h D．81h
9．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：
对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是（ ）
A． B． C． D．
10．牛顿冷却定律描述一个事物在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间后的温度满足，其中是环境温度，称为半衰期，现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃．经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时1分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待（ ）（参考数据：，，）
A．4分钟 B．5分钟 C．6分钟 D．7分钟
二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)
11．《中华人民共和国国民经济和社会发展第十一个五年规划纲要》提出，“十一五”期间单位国内生产总值能耗降低.如果这五年平均每年降低的百分率为，那么满足的方程是____________
12．将400个进货单价为80元的商品，按90元一个售出时能全部卖出，已知这种商品每个涨价1元，其销售数就减少了20个，为了获得最大利润，售价应定为每个________元.
13．有关数据显示，2015年我国快递行业产生的包装垃圾约为400万吨.有专家预测，如果不采取措施，快递行业产生的包装垃圾年平均增长率将达到50%.由此可知，如果不采取有效措施，则从___________年(填年份)开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨.(参考数据：，)
14．2004年12月26日，印尼发生强烈地震，继而引发海啸，印尼地震监测机构最初公布的报告称，这次地震的震级为里氏6.8级，但美国地质勘探局测定的地震震级为里氏8.9级，已知里氏震级与地震释放的能量的关系为，那么里氏8.9级的地震释放的能量大约是里氏6.8级地震释放的能量的________倍.（精确到0.1）
15．燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬，研究发现，燕子的飞行速度（单位：）可以表示为（其中是实数，表示燕子的耗氧量的单位数），据统计，燕子在静止的时候其耗氧量为个单位.若燕子为赶路程，飞行的速度不能低于，其耗氧量至少需___________个单位
三、解答题(共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)
16．为落实中央“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2020年在其扶贫基地投入300万元研发资金用于蔬菜的开发与种植，并计划今后10年内在此基础上，每年投入的研发资金数比上一年增长.
（1）以2021年为第1年，分别计算该企业第1年、第2年投入的研发资金数，并写出第年该企业投入的研发资金数（万元）与的函数关系式以及函数的定义域；
（2）该企业从哪年开始，每年投入的研发资金数将超过600万元？
17．用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上.设用单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数，假定函数，是自然对数的底，、、为实数，的定义域为，值域为.
（1）求、、的值；
（2）现有单位量的水，可以清洗1次，也可以把水平均分成2份后清洗2次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由.
18．在不考虑空气阻力的情况下火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）满足（为自然对数的底）.
（1）当燃料质量为火箭（除燃料外）质量的两倍时，求火箭的最大速度（单位：）结果精确到0.1）；
（2）当燃料质量为火箭（除燃料外）质量的多少倍时，火箭的最大速度可以达到（结果精确到0.1）.
19．以下是某地不同身高的未成年男性的体重平均值表.
身高/ 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
体重/ 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 58.05
（1）根据上表中各组对应的数据，能否从我们学过的函数，，中找到一种函数，使它比较近似地反映该地未成年男性体重y关于身高x的函数关系，试写出这个函数的解析式，并求出a，b的值.
（2）若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地某校一男生身高175体重78，他的体重是否正常？
20．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响，在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．某公司为了激励业务员的积极性，对业绩在60万到200万的业务员进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y（单位：万元）随着业绩值x（单位：万元）的增加而增加，但不超过业绩值得5%．
（1）若某业务员的业绩为100万，核定可得4万元奖金，若该公司用函数（k为常数）作为奖励函数模型，则业绩200万元的业务员可以得到多少奖励？（已知，）
（2）若采用函数，求a的范围．
21．节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为，则第次改良后所排放的废气中的污染物数量，可由函数模型给出，其中是指改良工艺的次数.
（1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型；
（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过，试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.（参考数据：取）
试卷第4页，共5页
试卷第8页，共10页
参考答案
1．B
【分析】
首先根据条件列式，再通过两边取对数，计算需要的时间.
【详解】
设至少需要年的时间，则，两边取对数，
即.
故选：B
2．B
【分析】
根据题意构建指数函数模型，利用对数的运算进行计算即可得解.
【详解】
设年后研发资金开始超过140万，
有，
所以，
由，所以，
所以第年研发资金开始超过140万元，
即2026年研发资金开始超过140万元.
故选：B
3．A
【分析】
利用给定公式计算出，然后以2010年底的人口数为基数求t=10时的值即为所求.
【详解】
由马尔萨斯模型，得，即，
所以我国2020年末的全国总人口数(亿).
故选：A.
4．B
【分析】
将，代入给定的函数关系，解指数方程即得.
【详解】
当时，，则，，，即，故.
故选：B
5．B
【分析】
先计算和时的最大数据传输速率和，再计算增大的百分比即可.
【详解】
当时，；
当时，.
所以增大的百分比为：.
故选：B.
6．B
【分析】
由给定模型计算出P(t0)，建立方程，求解即得.
【详解】
由题意知，，即，
所以，解得.
故选：B
7．A
【分析】
列出对Q的函数关系，把的值分别代入计算并判断得解.
【详解】
依题意，设，则有，解得，故①错误；
当时，有，解得，故②错误；
当时，游速，故③错误.
故选：A
8．B
【分析】
利用给定条件列出方程组，求得相关量，再将代入计算即得.
【详解】
依题意，，解得，
所以当时，.
故选：B
9．D
【分析】
作出散点图，结合图形可得出合适的函数模型.
【详解】
在直角坐标系中画出这几对数据的散点图，观察图形的变化趋势，
这几个点在变化趋势上是在第一象限单调递增，
递增的速度比较快，排除B、C两个选项，当时，不符合A选项．
故选：D.
10．C
【分析】
根据已知条件代入公式计算得到，再把该值代入，利用对数的运算即可求得结果.
【详解】
根据题意，，即
设茶水从降至大约用时t分钟，则，
即，即
两边同时取对数：
解得，所以从泡茶开始大约需要等待分钟
故选：C
【点睛】
关键点点睛：本题考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，解题的关键是熟练运用对数的运算公式，考查学生的审题分析能力与运算求解能力，属于基础题.
11．
【分析】
根据指数幂的运算可得出等式.
【详解】
由已知可得，每年的国民生产总值是上一年的，由题意可得.
故答案为：.
12．95
【分析】
根据题意，转化为二次函数求最值.
【详解】
设售价为元，则利润为（元），所以当，即售价为95元时，利润最大.
故答案为：95
13．2021
【分析】
根据条件列指数函数，再解指数不等式得结果.
【详解】
设快递行业产生的包装垃圾为万吨，表示从2015年开始增加的年份数，由题意可得，，得，
两边取对数可得，∴，得，解得，∴从2015+6=2021年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨.
故答案为：2021
14．1412.5
【分析】
把给定的两个震级分别代入公式，列出各自释放的能量表达式，两者相比计算即得.
【详解】
由得，
于是得里氏6.8级地震释放的能量，
得里氏8.9级地震释放的能量，
从而有，
所以里氏8.9级的地震释放的能量大约是里氏6.8级地震释放的能量的1412.5倍.
故答案为：1412.5
15．80
【分析】
根据给定条件求出常数a，再建立不等关系即可得解.
【详解】
依题意，时，，于是得，解得，即，
由得：，即，解得，
所以其耗氧量至少需80个单位.
故答案为：80
16．（1），；（2）从年开始，每年投入的研发资金数将超过600万元.
【分析】
（1）由题设，应用指数函数模型，写出前2年的研发资金，进而确定函数解析式及定义域；
（2）由（1）得，利用指数的性质、对数运算求解集，进而判断从哪年开始研发资金数将超过600万元即可.
【详解】
（1）由题设，第1年研发资金为：万元；第2年研发资金为：万元；
∴第年研发资金：且定义域为；
（2）由（1）知：，即，
∴，故从第8年即年开始，每年投入的研发资金数将超过600万元.
17．（1），，；（2）两种方案残留农药量一样多，理由见解析.
【分析】
（1）由题设有且，即可求、、的值；
（2）根据题意，设未清洗前的农药量为1，分别写出两种清洗方式的最终残留农药量的表达式，即可比较它们残留农药的多少关系.
【详解】
（1）由题意知：且，
∴单调递减且，
由上，，故符合题意，则，
∴，.
（2）由（1）知：设未清洗前的农药量为1，
1、单位量的水清洗1次，残留农药量为，
2、把水平均分成2份后清洗2次，则第1次残留农药量为，第2次残留农药量为，
∴由上知：两种方案残留农药量一样多.
18．（1）；（2）.
【分析】
（1）将化为：，然后将代入中求解即可；
（2）将代入得，然后进行指对互化求解的值.
【详解】
解：因为，所以，
当燃料质量为火箭（除燃料外）质量的两倍时，将代入得：
；
（2）令，即，得，解得.
19．（1），，；（2）这个男生体重偏胖.
【分析】
（1）根据表中的数据描点画出图像，观察这个图像，发现各点的连线是一条向上弯曲的曲线，因此，我们可以考虑用函数来近似拟合，选择表中两点如点，的坐标代入，即可得出答案；
（2）将代入，从而可得出结论.
【详解】
解：（1）根据表中的数据描点画出图像，观察这个图像，发现各点的连线是一条向上弯曲的曲线，因此，可以判断它不能用函数来近似反映.根据这些点的走向趋势，我们可以考虑用函数来近似拟合.
选择表中两点如点，的坐标代入，可得，.
所以该地区未成年男性体重关于身高的函数关系式可以选为；
（2）将代入，得，
计算得，由于，
所以，这个男生体重偏胖.
20．（1）5.3万元；（2）．
【分析】
（1）将题中的条件代入，可以求出具体的函数解析式，即可解决.
（2）根据题意列出关于的不等式，然后把问题转化为研究函数的恒成立问题，进而确定参数的取值范围.
【详解】
（1）对于函数模型（k为常数），
当时，，代入解得，即，
当时，是增函数，
当时，，
所以业绩200万元的业务员可以得到5.3万元奖励．
（2）对于函数模型，
因为函数在递增，所以，即；
又由奖金不超过业绩值得5%，得
恒成立，
即对恒成立．
记，
因为二次函数图象开口向上且，所以函数图象的对称轴，
所以只需，即
解得．
综上可知，实数a的取值范围是：．
21．（1）；（2）至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.
【分析】
（1）由题设可得方程，求出，进而写出函数模型；
（2）由（1）所得模型，结合题设，并应用对数的运算性质求解不等式，即可知要使该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标至少要改良的次数.
【详解】
（1）由题意得：，，
∴当时，，即，解得，
∴，故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为.
（2）由题意得，，整理得：，即，
两边同时取常用对数，得：，整理得：，
将代入，得，又，
∴，
综上，至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.
北京·高一·