2021-2022学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册第六章平面向量章节检测 （Word含解析）

北京·高一·同步练面向量章节检测
一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)
1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；
②若都是单位向量，则；
③向量与相等．
则所有正确命题的序号是（ ）
A．① B．③
C．①③ D．①②
2．已知点则与同方向的单位向量为
A． B． C． D．
3．如图所示，点O，A，B，C，D均在直线l上，向量为单位向量，则向量，的坐标分别是（ ）
A．3，2 B．2，4 C．4，-2 D．2，-4
4．设O是平行四边形的两条对角线与的交点，有下列向量组：① 与；②与；③与；④与与，其中可作为这个平行四边形所在平面内其他所有向量的基底的是（ ）
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
5．如图所示，已知，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．如图所示，是的中线.是上的一点，且，若，其中，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．设是两个不共线的向量，且与共线，则实数λ＝（ ）
A．－1 B．3 C． D．
8．在中，点是线段上一点，点是线段上一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知A，B，C为三个不共线的点，P为△ABC所在平面内一点，若，则下列结论正确的是（ ）
A．点P在△ABC内部 B．点P在△ABC外部
C．点P在直线AB上 D．点P在直线AC上
10．如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点（点N与点C不重合），设，，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)
11．已知向量，，若，则实数等于_______．
12．已知数轴上两点A，B，，且A，B的中点坐标为-3，则点B的坐标是___________，___________.
13．设，是平面内不共线的向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则____.
14．给出下列四个命题：
①方向相反的两个向量是相反向量；
②若，满足且，同向，则；
③不相等的两个空间向量的模必不相等；
④对于任意向量，，必有.
其中正确命题的序号为________.
15．如图，已知正方形，点E，F分别为线段，上的动点，且，设（x，），则的最大值为______.
三、解答题(共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)
16．如图，已知中，为的中点，，交于点，设，．
（1）用分别表示向量，；
（2）若，求实数t的值．
17．已知，．
（1）当为何值时，与垂直？
（2）若，，且，，三点共线，求的值．
18．已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4).设=，=，=，且=3，=-2.
（1）求3+-3;
（2）求满足=m+n的实数m，n;
（3）求M，N的坐标及的坐标.
19．如图，，点P在由射线，线段及的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且．
（1）求x的取值范围；
（2）当时，求y的取值范围．
20．已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且，，三点共线．
（1）求实数的值；
（2）若，，求的坐标；
（3）已知，在（2）的条件下，若，，，四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标．
21．如图，在中，，，与相交于点M，设，，
（1）试用，表示向量：
（2）在线段上取一点E，在上取一点F，使得过点M，设，
，求证：．
试卷第4页，共4页
试卷第9页，共9页
参考答案
1．A
【分析】
根据零向量和单位向量的概念可以判定①②，注意相等向量不仅要长度相等，方向要相同，可否定③.
【详解】
根据零向量的定义可知①正确；
根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；
向与互为相反向量，故③错误．
故选：.
【点睛】
本题考查零向量和单位向量的概念，相等向量的概念，属概念辨析，正确掌握概念即可.
2．A
【详解】
试题分析：,所以与同方向的单位向量为，故选A.
考点：向量运算及相关概念.
3．D
【分析】
由直线上向量的坐标运算公式求解即可
【详解】
由题意可：
，，
故选：D
4．C
【分析】
根据平面基底的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】
如图所示，由向量和，与均为不共线向量，根据基底向量的定义，可以作为平面的基底，所以①③符合题意；
由向量与和向量与均为共线向量，根据基底向量的定义，可以作为平面的基底，所以②④不符合题意.
故选：C.
5．A
【分析】
以，为基底，根据向量的线性运算求解即可.
【详解】
，
故选：A
6．C
【分析】
根据题意可得是的重心，利用平面向量的线性运算将用和表示，由平面向量基本定理可得和的值，即可求解.
【详解】
因为是的中线，是上的一点，且，
所以是的重心，
则
，
又因为，
所以，，可得，
故选：C.
7．D
【分析】
根据向量共线有存在实数使，即可求λ.
【详解】
由共线，知：，为实数，
∴，即，
故选：D
8．C
【分析】
设，由，结合题干条件和平面向量基本定理，即得解
【详解】
根据题意画出草图，如图：
点是线段上一点，
设，
.
由平面向量基本定理可得解得.
故选：C
9．D
【分析】
由向量的运算可得，进而可得解.
【详解】
∵，
∴，
∴，
即.
故点P在边AC所在的直线上.
故选：D.
10．A
【分析】
由为的重心，可得，结合，，根据三点共线，得到的关系式，即可得到答案
【详解】
延长AG交BC与点H, H为BC中点,
为的重心，
三点共线
,
故选:
11．
【分析】
根据向量共线的坐标运算公式计算即可.
【详解】
因为，所以，解得.
故答案为：
12．-7 8
【分析】
设，根据线段AB的中点坐标为-3，由求解.
【详解】
设，线段AB的中点坐标为：
，解得，
则点B的坐标是，，
故答案为：-7，8
13．
【分析】
求出，利用三点共线，得到，求出λ和k.
【详解】
由题意，，
又，且A、B、D三点共线，
由共线向量定理得，存在实数使得成立，
即，
则，解得.
故答案为：.
14．④
【分析】
根据向量的基本概念对四个选项逐一判断即可.
【详解】
对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错误；
对于②，向量是不能比较大小的，故②错误；
对于③，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故③错误；
只有④正确.
故答案为：④
【点睛】
本题主要考查了向量的相关概念，属于基础题.
15．
【分析】
设边长为1，，建立直角坐标系，求得的坐标，根据题设用表示出，再利用函数的性质，即可求解．
【详解】
建立如图所示的直角坐标系，并设边长为1，，
则，可得，
由，
可得，解得其中，
所以，
令，则，
当且仅当时，即时取等号，
所以的最大值为．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了平面向量的基本定理，向量的坐标运算，以及利用基本不等式求最值的应用，其中解答中将平面向量问题坐标化，通过数形结合求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力．
16．（1），；（2）．
【分析】
（1）根据向量线性运算，结合线段关系，即可用分别表示向量，；
（2）用分别表示向量，，由平面向量共线基本定理，即可求得t的值.
【详解】
（1）由题意，为的中点，，可得，，．
∵，
∴，
∴
（2）∵，
∴
∵，，共线，
由平面向量共线基本定理可知满足，
解得．
【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算，平面向量共线基本定理的应用，属于基础题.
17．（1）；（2）．
【分析】
（1）由向量垂直的数量积为0计算可得；
（2）根据共线向量的坐标表示计算．
【详解】
解（1），．
因为与垂直，所以，即，得．
（2），．
因为，，三点共线，所以，
所以，即，所以．
18．（1）(6，-42)；（2）；（3）M(0，20)，N(9，2)，(9，-18).
【分析】
根据三点的坐标求出、、的坐标.(1)利用平面向量加减、数乘运算的坐标表示计算即可；(2)利用相等向量的坐标表示即可求出参数m、n的值；(3)利用平面向量的坐标表示和相等向量的坐标表示即可求出结果.
【详解】
解：==(5，-5)，==(-6，-3)，==(1，8).
（1）=3(5，-5)+(-6，-3)-3(1，8)=(15-6-3，-15-3-24)=(6，-42).
（2）∵，
∴(5，-5)=m(-6，-3)+n(1，8).
∴
（3）设M(x1，y1)，由=3，
得(x1+3，y1+4)=3(1，8)，∴
∴x1=0，y1=20.∴M(0，20).
同理，设N(x2，y2)，由=-2，
得(x2+3，y2+4)=-2(-6，-3).
∴解得
∴N(9，2).∴=(9，-18).
19．（1） ；（2） ．
【分析】
作出图形，进而结合平面向量基本定理得到答案.
【详解】
（1）如图，作交于E，则．
由P点的位置容易知道，．
因此，，即x的取值范围是．
（2）当时，，所以此时y的取值范围是．
20．（1）（2）（3）.
【分析】
（1）由得，再根据，是平面内两个不共线的非零向量列式可求出结果；
（2）由可求出结果；
（3）设，根据可求出结果.
【详解】
（1）．
因为，，三点共线，
所以存在实数，使得，
即，得．
因为，是平面内两个不共线的非零向量，
所以解得，．
（2）．
（3）因为，，，四点按逆时针顺序构成平行四边形，
所以．
设，则，
因为，
所以解得
即点的坐标为．
21．（1） ；（2） 证明见解析．
【分析】
（1）设，由、、三点共线以及、、三点共线可得出关于与的方程组，解出这两个未知数，即可得出关于、的表达式；
（2）根据条件，结合可建立等式，利用三点共线，可得出结论.
【详解】
（1）解：由A，M，D三点共线可知，存在实数使得
．
由B，M，C三点共线可知，存在实数使得
．
由平面向量基本定理知．
解得，所以．
（2）证明：若，，则．
又因为E，M，F三点共线，所以．
北京·高一·