2021-2022学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册第四章·指对幂函数章节检测（Word含解析）

北京·高一·同步练习
指对幂函数·章节检测
一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)
1．已知集合，，则集合（ ）
A． B． C． D．
2．函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数f(x)＝，则f＝
A．－ B．
C．－8 D．8
5．若，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．若函数且满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若关于的方程（且）有两个不等实根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．设是定义域为的偶函数，且在单调递增，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
9．函数的定义域为，若满足:①在内是单调函数；②存在区间，使在区间上的值域为，那么就称函数为“减半函数”，若函数是“减半函数”，则的取值范围为
A． B． C． D．
10．若函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，，若函数（）在区间恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．（3,5］ D．（1,5]
二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)
11．__________．
12．已知函数，则_______.
13．定义在R上的偶函数f(x)在[0，+∞）上是增函数，且，则不等式的解集是
14．已知，若方程有四个根且，则的取值范围是______.
15．已知函数（且），若定义域上的区间，使得在上的值域为，则实数a的取值范围为______.
三、解答题(共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)
16．已知函数且.
（1）求函数的定义域.
（2）判断并证明函数的奇偶性.
17．已知函数f(x)＝log2.
（1）若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值；
（2）若函数f(x)的定义域是一切实数，求a的取值范围；
（3）若函数f(x)在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围．
18．已知函数（）.
（1）若函数在区间上的最小值为1，求实数m的值；
（2）若函数，其中为奇函数，为偶函数，不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围.
19．设函数是定义R上的奇函数．
（1）求k的值；
（2）若不等式有解，求实数a的取值范围；
（3）设，求在上的最小值，并指出取得最小值时的x的值．
20．已知函数过定点，函数的定义域为.
（Ⅰ）求定点并证明函数的奇偶性；
（Ⅱ）判断并证明函数在上的单调性；
（Ⅲ）解不等式.
21．已知，.
(1)解不等式；
(2)若函数，其中为奇函数，为偶函数，若不等式对任意的恒成立，求实数t的取值范围.
试卷第2页，共3页
试卷第9页，共9页
参考答案
1．B
【分析】
解一元二次不等式求出集合，再求出集合的补集，根据对数函数的性质求出集合，根据集合的交集运算即可求出结果.
【详解】
因为或；
所以；
所以.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了集合的补集和交集运算以及对数函数的值域，属于基础题.
2．C
【分析】
解不等式组即可求解.
【详解】
要使函数有意义，应满足
，即，解得：，
所以函数的定义域为，
故选：C
3．B
【分析】
利用函数、、的单调性比较函数值大小，即可知正确选项；
【详解】
由，
1、为递增函数，故，故A错误；
2、在上单调递减，故，故B正确；
3、，故C错误；
4、在上单调递增，故，故D错误；
故选：B
【点睛】
本题考查了利用函数的单调性比较大小，注意各对应函数在区间中的单调性，结合已知参数的关系比较函数值大小；
4．D
【分析】
先求出，再求即可得所求的函数值.
【详解】
，
，故选D．
5．A
【分析】
根据题意，以及指数和对数的函数的单调性，来确定a，b，c的大小关系.
【详解】
解：是增函数
，
是增函数.
，
又
，
.
【点睛】
本题考查三个数的大小的求法，考查指数函数和对数函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.根据题意，构造合适的对数函数和指数函数，利用指数对数函数的单调性判定的范围是关键.
6．A
【分析】
根据解析式及满足的不等式，可知函数是上的增函数，由分段函数单调性的性质，结合指数函数与一次函数单调性的性质，即可得关于的不等式组，解不等式组即可求得的取值范围.
【详解】
函数满足对任意的实数都有，
所以函数是上的增函数，
则由指数函数与一次函数单调性可知应满足，
解得，
所以数的取值范围为，
故选：A
【点睛】
本题考查根据分段函数单调性求参数的取值范围，在满足各段函数单调性的情况下，还需满足整个定义域内的单调性，属于中档题.
7．D
【分析】
问题转化为函数交点问题，根据的不同取值，结合指数型函数的性质分类讨论求解即可.
【详解】
设，关于的方程（且）有两个不等实根，转化为函数与函数有两个交点，
当时，在同一直角坐标系内，函数与函数的图象如下图所示：
显然函数与函数的图象只有一个交点，不符合题意；
当时，在同一直角坐标系内，函数与函数的图象如下图所示：
函数与函数有两个交点，则有，
故选：D
【点睛】
方法点睛：方程有解问题转化为函数交点问题，利用数形结合思想进行求解.
8．A
【分析】
先将化为同底数的幂，利用指数对数函数的性质比较、、三个数的大小关系，再由函数在区间上的单调性并结合偶函数的性质可得出、、的大小关系.
【详解】
，，
即，
由于函数是偶函数，在区间上单调递增，所以在上单调递减，
由于函数为偶函数，则，即，
故选：A.
【点睛】
本题考查利用函数的单调性比较函数值的大小关系，涉及指数对数的运算和比较大小，考查推理能力，属于中等题.关键是转化为上的单调性再比较.
9．D
【详解】
由题意，是单调递增的，
所以，即有两个不同的实根，则，令，则在有两个实根，则．
故选D．
点睛：本题考查函数单调性的应用，已知零点个数求参数题型．首先考查复合函数的单调性，复合函数具有“同增异减”的性质，所以本题函数为增函数，转化得到有两个不同的实根，通过换元、分参，求出参数范围．
10．C
【分析】
求得当时，函数，根据，得到函数的周期为2，把函数在区间恰有3个不同的零点，转化为即函数与的图象在区间上有3个不同的交点，结合对数函数的性质，即可求解.
【详解】
由题意，函数是定义在上的偶函数，当时，，
则当时，则，函数，
又由对任意，都有，则，即周期为2，
又由函数（）在区间恰有3个不同的零点，
即函数与的图象在区间上有3个不同的交点，
又由，
则满足且，解得，
即实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中根据函数的奇偶性得到函数的解析式，以及求得函数的周期，再集合两个函数的图象的性质列出不等式是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
11．6
【分析】
先计算,再计算第一部分，利用对数的概念计算第二部分，然后得到答案.
【详解】
，
故答案为：6.
【点睛】
本题考查指数幂，和对数的求值，注意正确使用指数幂的运算法则.
12．
【分析】
根据分段函数的定义域区间分别求出、的值，代入目标式中求值即可
【详解】
．
故答案为：－1
【点睛】
本题考查了指数、对数的运算，注意指数的性质，及对数运算性质的应用
13．
【详解】
根据题意，由于定义在R上的偶函数f(x)在[0，+∞）上是增函数，
则说明x<0是减函数，同时，
那么可知,
解得x的取值范围，
故答案为.
14．
【分析】
作出函数的图象，结合图象得出，，得到，结合指数函数的性质，即可求解.
【详解】
由题意，作出函数的图象，如图所示，
因为方程有四个根且，
由图象可知，，可得，
则，
设，所以，
因为，所以，所以，
所以，即，
即的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中作出函数的图象，结合图象和指数函数的性质求解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力.
15．
【分析】
根据对数函数定义域要求可求得定义域，根据定义域和值域的区间端点值大小关系可确定，从而确定是方程的两根，由此将问题转化为方程在有两个不等实根的问题，由此构造不等式求得结果.
【详解】
定义域为
且
在上单调递增 在上单调递减
，
且是方程的两根
即
在上有两个不等实根
即在上有两个不等实根
，解得： 的取值范围为
故答案为：
【点睛】
本题考查根据函数定义域和值域求解参数范围的问题，涉及到函数单调性的应用、对数方程的求解、一元二次方程在区间内有实根的问题；关键是能够根据函数定义域和值域确定函数的单调性，利用单调性确定是方程的两根，将问题转化为一元二次方程在区间内有实根问题的求解.
16．（1）（2）函数是奇函数，证明见解析
【分析】
（1）根据对数函数的定义域，结合不等式的解法，可得结果.
（2）根据函数奇偶性的判断方法，求得与之间的关系，可得结果.
【详解】
解：（1）要使式子有意义，则
解得
函数的定义域为
（2）函数是奇函数.
证明:由（1）知定义城为
所以
则
即
函数是奇函数，
【点睛】
本题考查函数定义域以及判断函数的奇偶性，奇偶性的判断：①定义域关于原点对称②若，则为奇函数；若，则为偶函数，属基础题.
17．（1）a＝0；（2）a≥0；（3）－【分析】
（1）由解得，然后检验函数是奇函数即可；
（2）由真数恒大于0即恒成立可得；
（3）由函数单调性得，解之可得．
【详解】
（1）若函数f(x)是R上的奇函数，
则f(0)＝0，解得a＝0.
当a＝0时，f(x)＝－x＝－f(－x)是R上的奇函数，
所以a＝0为所求．
（2）若函数f(x)的定义域是一切实数，则＋a>0恒成立，即a>－恒成立，由于－∈(－∞，0)，
故只要a≥0即可．
（3）由已知，得函数f(x)是减函数，故f(x)在区间[0，1]上的最大值是f(0)＝log2(1＋a)，
最小值是f（1）＝log2.
由题设，得log2(1＋a)－log2≥2 ，解得－【点睛】
本题考查对数函数的性质，掌握对数型复合函数的奇偶性、单调性的研究方法是解题关键．
18．（1）；（2）
【分析】
（1）令，将函数化为二次函数，通过讨论二次函数对称轴的不同位置得到函数的单调性，从而利用最小值构造方程求得的值；
（2）由与，结合奇偶函数可构造方程组求得与解析式；采用分离变量的方式将不等式化为，令，根据对号函数的性质可求得的最小值为，从而得到，进而得到的取值范围.
【详解】
（1）由题意得：
令
在上的最小值为
①当，即时，在上单调递减
解得：（舍）
②当，即时，在上单调递增
解得：
③当，即时，在上单调递减，在上单调递增
，解得：（舍）或（舍）
综上所述：
（2）
当时，，即
令，则
令，，则在上单调递减，在上单调递增
，解得：
即实数的取值范围为
【点睛】
本题考查根据函数的最值求解参数值、恒成立问题的求解等问题，涉及到一元二次函数最值的讨论、构造方程组法求解函数解析式、函数奇偶性的应用和最值的求解等知识；本题中恒成立问题的求解关键是能够通过构造方程组和奇偶性相结合求得函数解析式，进而利用分离变量的方式将问题转化为变量与函数最值之间的大小关系.
19．（1）1；（2）；（3）最小值为，此时.
【分析】
（1）根据题意可得，即可求得k值，经检验，符合题意；
（2）有解，等价为，利用二次函数图象与性质，即可求得答案；
（3）由题意，令，可得t的范围，整理可得，，利用二次函数的性质，即可求得答案.
【详解】
（1）因为是定义域为R上的奇函数，
所以，所以，解得，
所以，
当时，，
所以为奇函数，故；
（2）有解，所以有解，
所以只需，
因为（时，等号成立），
所以；
（3）因为，所以，
可令，可得函数t在递增，即，
则，可得函数，，
由为开口向上，对称轴为的抛物线，
所以时，取得最小值，
此时，解得，
所以在上的最小值为，此时．
【点睛】
解题的关键熟练掌握二次函数的图象与性质，并灵活应用，处理存在性问题时，若，只需，若，只需，处理恒成立问题时，若，只需，若，只需，考查分析理解，计算化简的能力属中档题.
20．（Ⅰ）定点为，奇函数，证明见解析；（Ⅱ）在上单调递增，证明见解析；（Ⅲ）.
【分析】
（Ⅰ）根据解析式可求得定点为，即可得的解析式，根据奇函数的定义，即可得证；
（Ⅱ）利用定义法即可证明的单调性；
（Ⅲ）根据的单调性和奇偶性，化简整理，可得，根据函数的定义域，列出不等式组，即可求得答案.
【详解】
（Ⅰ）函数过定点，定点为，
，定义域为，
.
函数为奇函数.
（Ⅱ）在上单调递增.
证明：任取，且，
则.
，，
，，
，即，
函数在区间上是增函数.
（Ⅲ），即，
函数为奇函数
在上为单调递增函数，
， ，解得：.
故不等式的解集为：
【点睛】
解题的关键是熟练掌握函数奇偶性、单调性的定义，并灵活应用，在处理单调性、奇偶性综合问题时，需要注意函数所有的自变量都要在定义域内，方可求得正确答案.
21．(1)；(2).
【分析】
(1)设，不等式，转化为，结合一元二次不等式的解法，即可求得不等式的解集；
(2)由题设条件，列出方程组，求得、的解析式把不等式对任意的恒成立，转化为对任意的恒成立，再利用分离参数法和对勾函数的性质，即可求解.
【详解】
(1)由题意，设，因为不等式，
可得，即，解得，即，解得，
所以不等式的解集为.
(2)由题意，函数，其中为奇函数，为偶函数，
可得，即，
解得，
则不等式对任意的恒成立，
即为对任意的恒成立，
对任意的恒成立，
令，可得，
所以，即对任意的恒成立，
因为在递减，在递增，
所以当时，有最大值，
所以实数t的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查了函数基本性质的综合应用，以及不等式的恒成立问题的求解，其中解答中合理利用利用换元法和分离参数法，以及熟练应用函数的基本性质是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
北京·高一·