2021-2022学年数学人教B版（2019）必修第一册3.1函数的概念与性质同步练习（Word含解析）

北京·高一·同步练习
函数的概念与性质
一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)
1．下列各图中，不可能表示函数的图象的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知上函数 ，则“”是“函数为奇函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．下列四组函数中，与表示同一函数是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数是上的减函数，若则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数在上是单调函数，且对任意，都有，则的值等于（ ）
A．3 B．7 C．9 D．11
6．已知偶函数在上单调递增，则（ ）
A． B． C． D．以上都有可能
7．判断下面结论正确的个数是（ ）
①函数的单调递减区间是；
②对于函数，，若，且，则函数在D上是增函数；
③函数是R上的增函数；
④已知，则
A．3 B．2 C．1 D．0
8．若函数，则在上的最大值与最小值之和为（ ）
A． B． C．0 D．
9．已知函数，．若对，，使得，则实数的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
10．定义，已知函数、的定义域都是R，则下列四个命题中为假命题的是（ ）
A．若、都是奇函数，则函数为奇函数
B．若、都是偶函数，则函数为偶函数
C．若、都是增函数，则函数为增函数
D．若、都是减函数，则函数为减函数
二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)
11．函数的值域是__________
12．若定义在上的函数满足：①对于任意的，都有；②为奇函数.则函数的一个解析式可以是___________.
13．若函数在上的值域为，则________，________．
14．已知函数在区间上的最小值小于，则实数的取值范围是______．
15．已知函数满足：对任意都有成立，那么实数的取值范围是_______________________．
三、解答题(共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)
16．已知函数．
（1）求函数的定义域；
（2）求的值；
（3）当时，求的值．
17．已知．
（1）用定义证明在区间上是增函数；
（2）求该函数在区间上的最大值与最小值以及取最值时的值．
18．已知函数
（1）画出函数的图象；
（2）求的值；
（3）当时，求x的取值范围.
19．已知函数是定义在上的增函数，对一切正数上都有成立，且.
（1）求和的值；
（2）若，求的取值范围.
20．已知函数是定义在上的奇函数，且．
（1）求实数，的值；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明；
（3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
21．已知函数，若存在非零常数k，对于任意实数x，都有成立，则称函数是“类函数”．
（1）若函数是“类函数”，求实数a、b的值；
（2）若函数是“类函数”，且当时，，求函数在时的最大值和最小值
（3）已知函数是“类函数”，是否存在一次函数（常数，），使得函数是周期函数，说明理由．
试卷第4页，共4页
第1页，共9页
参考答案
1．B
【分析】
函数表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系，根据定义进行判定即可．
【详解】
函数表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系．
选项B，对于的值，有两个输出值与之对应，故不是函数图象．
故选：B．
2．B
【分析】
考虑两者之间的推出关系后可得正确的选项.
【详解】
取，则，但，
所以函数不是奇函数；
故“”推不出“函数为奇函数”，
若函数为奇函数，则即，
故“函数为奇函数”能推出“”.
故选：B.
3．B
【分析】
分别判断和的定义域和对应法则是否一样，便可判断函数是否为相同函数.
【详解】
A：函数的定义域为，的定义域为，和的定义域不相同，所以不是同一函数.A错误；
B：函数的定义域为，的定义域为，和的定义域相同，且函数，对应关系相同，所以是同一函数.B正确；
C：函数的定义域为，的定义域为，和的定义域不相同，所以不是同一函数.C错误；
D：函数的定义域为，的定义域为，和的定义域不相同，所以不是同一函数.D错误；
故选：B
4．A
【分析】
由的单调性化简不等式，由此求得实数的取值范围.
【详解】
由于函数是在上的减函数，且，所以，解得，所以实数的取值范围是.
故选：A
5．B
【分析】
根据函数在上是单调函数，且，易知为定值，然后设，得到，由求解.
【详解】
因为函数在上是单调函数，且，
所以为定值，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
6．A
【分析】
根据偶函数定义结合在上单调递增，可判断在上单调递减，即可判断结果．
【详解】
是偶函数，且在上单调递增，
在上单调递减，．
故选：A
7．B
【分析】
对于①，举例判断，对于②，由增函数的定义判断即可，对于③，举例判断，对于④，利用配凑法求解即可
【详解】
对于①，当时，，而当时，，所以函数的单调递减区间不是，所以①错误，
对于②，由可得，所以与同号，所以函数在D上是增函数，所以②正确，
对于③，当和时，，所以不是R上的增函数，所以③错误，
对于④，因为，所以，所以④正确，
故选：B
8．A
【分析】
首先利用换元法求出的解析式，再利用二次函数的性质求最值即可求解.
【详解】
令，则，
所以，
所以，开口向下，对称轴为，
所以在上单调递增，
，，
所以在上的最大值与最小值之和为，
故选：A.
9．D
【分析】
先求出两函数在的值域，然后根据题意可得的值域是的值域的子集，从而可求出实数的取值范围
【详解】
因为的图像是开口向上的抛物线，且图像关于直线对称，
所以当时，，
所以的值域为，
因为在上单调递增，
所以的值域为，
因为对，，使得，
所以，解得，
所以实数的取值范围是，
故选：D
10．A
【分析】
由已知中：，结合具有奇偶性及单调性的图象特征，可得答案．
【详解】
解：，
若、都是奇函数，则函数，不一定是奇函数，
如与，可得，的图象不关于原点对称，故是假命题；
若、都是偶函数，可得它们的图象关于轴对称，
则函数，为偶函数，故是真命题；
若、都是增函数，可得图象均为上升，
则函数，为增函数，故是真命题；
若、都是减函数，可得它们的图象下降，
则函数，为减函数，故是真命题．
故选：．
11．
【分析】
由根式内部的代数式大于等于0求出函数的定义域,再由函数的单调性求得答案.
【详解】
由,得，
又在上的增函数,在上也是增函数,
在上是增函数,
则
函数的值域为
故答案为:
12．（答案不唯一）
【分析】
根据题意，找出熟知的奇函数，且看是否满足即可.
【详解】
解：如，等都是奇函数，
且满足函数方程.
故答案为：.（答案不唯一）
13．1
【分析】
根据函数解析式可判断在上单调递增，进而可得且，列方程组即可求得的值.
【详解】
因为函数在上单调递增，且值域为
所以且，
解得：，，
故答案为：；.
14．
【分析】
先求出一元二次函数图象的对称轴方程，再讨论与的关系进行求解.
【详解】
因为的图象开口方向向上，
且关于直线对称，
①当，即时，在上单调递增，
所以，即，
即，即.
②当，即时，在上单调递减，
所以，即，
即，即.
③当，即时，
所以，即，
即，即.
终上所述，.
故答案为：.
15．
【分析】
根据题意得到函数在上单调递增，然后根据分段函数单调性的判断方法求实数的取值范围即可.
【详解】
由函数单调性定义可得函数在上单调递增，
则根据分段函数单调性的判断方法，得，解得．
故答案为：.
16．（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）由题意可得，解不等式组可求出函数的定义域，
（2）由解析式直接代值求解即可，
（3）将代入函数解析式中求解即可
【详解】
（1）若使函数有意义，需，解得或且，
故函数的定义域为
（2）
（3）因为，所以有意义，
17．（1）证明见详解；（2），．
【分析】
（1）用单调性定义证明，任取，，且，然后证明；
（2）由（1）的单调性易得最值．
【详解】
（1）任取，，且，则.
∵，∴，，
∵，即，
故函数在区间上是增函数.
（2）由（1）知函数在区间上是增函数，
∴，．
18．（1）图象见解析过程；（2），；（3）.
【分析】
（1）根据二次函数、一次函数的图象性质进行画图即可；
（2）用代入法进行求解即可；
（3）分类讨论进行求解即可.
【详解】
（1）函数的图象如下图所示：
（2）
；
（3）当时，；
当时，，符合题意；
当时，，
综上所述：x的取值范围为：.
19．（1），；（2）.
【分析】
（1）利用及递推关系，可得、，即可求值；
（2）题设不等式可转化为，利用的定义域及单调性求解集即可.
【详解】
（1）由题意，，则，
.
（2）由，而，
∴，又在上为增函数，
∴，解得.
∴的取值范围.
20．（1），；（2）在上递增，证明见解析；（3）或．
【分析】
（1）利用奇函数的性质可求得,再由的值，可求得.（2）用定义法证明即可.（3）由题意可得，函数的值域为函数的值域的子集，并由集合的包含关系建立关于参数的不等式，从而得解.
【详解】
（1）依题意函数是定义在上的奇函数，所以，所以
，
所以，经检验，该函数为奇函数．
故，.
（2）在上递增，证明如下：任取，
其中，，所以，
故在上递增．
（3）由于对任意的，总存在，使得成立，
所以的值域为的值域的子集．
而由（2）知：，
当时，在上递增，，所以，即；
当时，在上递减，，所以，即．
综上所述，或．
故若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围为：或．
21．（1），；（2），；（3）存在符合题意.
【分析】
（1）由题得对于任意实数x都成立，解方程组即得解；
（2）求出，，，，即得解；
（3）求出，得到时，，即得解.
【详解】
（1）由题得对于任意实数x，都有
所以
所以.
（2）由题得，
因为，所以，设，所以，
所以，，
所以，，
同理，，
由题得，
所以，.
（3）由题得，
因为
所以,
所以，
所以，
所以，
令得，，
，
所以，所以是周期函数.
所以，所以.
所以存在使得函数是周期函数.
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