2021-2022学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册4.1指数与指数函数同步练习（Word含解析）

北京·高一·同步练习
指数与指数函数
一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)
1．值为（ ）
A． B． C． D．
2．下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．一种细胞在分裂时由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成八个……每天分裂一次．现在将一个该细胞放入一个容器中，发现经过10天就可充满整个容器，则当细胞分裂到充满容器一半时需要的天数是（ ）
A．5 B．9 C．6 D．8
4．下列函数中，既是奇函数，又在区间上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
5．若，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．如图是指数函数①，②，③，④的图像，则a，b，c，d与0和1的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，，则的单调性（ ）
A．若无关，与无关 B．与有关，与无关
C．若无关，与有关 D．若有关，与有关
9．已知函数为偶函数，且当时，，则当时，方程的根有（ ）个
A． B． C． D．
10．已知函数y＝f(x)与y＝F(x)的图象关于y轴对称，当函数y＝f(x)和y＝F(x)在区间[a，b]同时递增或同时递减时，把区间[a，b]叫作函数y＝f(x)的“不动区间”，若区间[1，2]为函数y＝|2x－t|的“不动区间”，则实数t的取值范围是（ ）
A．(0，2] B．
C． D．
二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)
11．函数的图像一定不经过第___________象限；若函数的图像不经过第一象限，则实数b的取值范围是___________．
12．函数的图像是由函数的图像沿轴向_______平移_______个单位，再沿轴向_______平移_______个单位得到的．
13．已知函数是减函数，则实数的取值范围是_________．
14．关于的方程有两个解，则的取值范围是_______.
15．已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围是______．
三、解答题(共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)
16．（1）计算；
（2）若，求x2+x2的值．
17．已知函数为奇函数.
（1）求实数的值，并判断在上的单调性（不必证明）；
（2）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.
18．已知定义在上的奇函数，当时，.
（1）当时，求函数的解析式；
（2）求函数的值域.
19．已知函数是定义在上的奇函数，且时，.
（1）求函数的解析式；
（2）若任意恒成立，求实数的取值范围.
20．定义在上的函数，如果满足:对任意存在常数都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.已知.
（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数﹐请说明理由﹔
（2）若函数在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围.
21．若两个函数和对任意都有，则称函数和在上是疏远的.
（1）已知命题“函数和在上是疏远的”，试判断该命题的真假.若该命题为真命题，请予以证明；若为假命题，请举反例；
（2）若函数和在上是疏远的，求实数的取值范围；
（3）已知常数，若函数与在上是疏远的，求实数的取值范围.
试卷第2页，共3页
试卷第9页，共9页
参考答案
1．B
【分析】
利用指数运算的性质化简求值即可.
【详解】
.
故选：B.
2．C
【分析】
取特例，A和B不成立；当时，D不成立；
【详解】
当时，A和B不成立；当时，D不成立；且，故C成立；
故选：C
3．B
【分析】
由分裂的定义可知，后一天的细胞数应为前一天的二倍，则可表示经过10天的细胞的数量，逆推可知，前一天时应为此时的一半，则可知需要9天即可充满容器一半.
【详解】
根据题意可得，经过10天细胞数量为，
细胞充满容器一半时，细胞数量为，
当细胞分裂到充满容器一半时需要的天数是9天，
故选：B.
4．D
【分析】
先确定奇偶性，排除两个选项，再根据单调性得出正确结论．
【详解】
函数的定义域是，函数不是奇函数，
中时，，函数不是奇函数．
时，，是奇函数，，，在上不是增函数，
，是奇函数，且是增函数，是减函数，因此是增函数，在上也是增函数，
故选：D．
5．B
【分析】
先化成底数相同的指数形式，再按照指数函数的性质求解.
【详解】
由得，，所以，解得，
故选：B
6．B
【分析】
根据指数函数的单调性分析得到，大于1，，大于0小于1，再通过取得到具体的大小关系．
【详解】
当底数大于1时指数函数是定义域内的增函数，
当底数大于0小于1时是定义域内的减函数，
由图可知，大于1，，大于0小于1．
又由图可知，即．，即．
，，，与1的大小关系是．
故选：．
7．A
【分析】
令，解不等式即可求得结果.
【详解】
的定义域为，，即，
，解得：，的定义域为.
故选：A.
8．A
【分析】
根据单调性的定义判断．
【详解】
解：设，，当时，
，，，，为增函数，
当时，同理得，为增函数，
故选：A
9．C
【分析】
转化为与的交点的个数，由于两个函数都为偶函数，只需研究，即得解
【详解】
由题意，当时，
方程的根的个数即为与的交点的个数
由于也为偶函数，故只需研究时，两个函数的交点个数即可
当时，，故是一个交点；
当时，，故是一个交点；
当时，，
故时，两个函数有一个交点，由于两个函数都单调递减，且在相交，故时，只有一个交点
当时，，
故时，两个函数有一个交点，由于两个函数都单调递减，且在相交，故时，只有一个交点
综上，两个函数在有4个交点，由函数的对称性有7个交点
故选：C
10．C
【分析】
根据函数的对称性可得F(x)＝|2－x－t|，从而可得函数f(x)＝|2x－t|和函数F(x)＝|2－x－t|在[1，2]上单调性相同，进而可得(2x－t)(2－x－t)≤0在[1，2]上恒成立，分离参数即可求解.
【详解】
因为函数y＝f(x)与y＝F(x)的图象关于y轴对称，
所以F(x)＝f(－x)＝|2－x－t|，
因为区间[1，2]为函数f(x)＝|2x－t|的“不动区间”，
所以函数f(x)＝|2x－t|和函数F(x)＝|2－x－t|在[1，2]上单调性相同，
因为y＝2x－t和函数y＝2－x－t的单调性相反，
所以(2x－t)(2－x－t)≤0在[1，2]上恒成立，
即1－t(2x＋2－x)＋t2≤0在[1，2]上恒成立，
即2－x≤t≤2x在[1，2]上恒成立，
即≤t≤2，
故选：C．
11．二、四
【分析】
分别就，和进行分类讨论，分析知其图像在第三象限和第一象限，以及原点，则可得结果；图像不过第一象限可转化为时，，结合指数函数的单调性解不等式即可.
【详解】
当，，，在第三象限，
当，，，在第一象限，
且时，，
故的图像一定不经过第二、四象限；
若函数的图像不经过第一象限，
当时，
又，且，
是的减函数，
解得.
故答案为：二、四；.
12．左 1 下 2
【分析】
利用函数图象变换规律即得.
【详解】
函数的图象由函数的图像沿轴向左平移1个单位得到函数的图象，再沿轴向下平移2个单位得到的.
故答案为：左；1；下；2.
13．
【分析】
根据减函数定义可直接构造方程组求得结果.
【详解】
是定义域上的减函数，，
即，解得：，实数的取值范围为.
故答案为：.
14．
【分析】
作出函数的图象，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】
设，当时，，则，
由题意可知，直线与函数的图象有两个交点，
作出函数与函数的图象如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
15．
【分析】
由题意可得函数在[2，＋∞）时的值域包含于函数在（ ∞，2）时的值域，利用基本不等式先求出函数在x∈[2，＋∞）时的值域，当x∈（ ∞，2）时，对a分情况讨论，分别利用函数的单调性求出值域，从而求出a的取值范围．
【详解】
解：设函数的值域为，函数的值域为，
因为对任意的，都存在唯一的，满足，
则，且中若有元素与中元素对应，则只有一个.
当时，，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，
当时，
①当时，，此时，
，解得，
②当时，，
此时在上是减函数，取值范围是，
在上是增函数，取值范围是，
，解得，
综合得.
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：本题即有恒成立问题，又有存在性问题，最后可转化为函数值域之间的包含关系问题，最终转化为最值问题，体现了转化与化归的思想.
16．（1）-5；（2）14.
【分析】
（1）由题意利用分数指数幂的运算法则，计算求得结果．
（2）由题意两次利用完全平方公式，计算求得结果．
【详解】
（1）0.3﹣1﹣36+33+136+27+15．
（2）若，∴x2＝6，x4，∴x2+x﹣2+2＝16，∴x2+x﹣2＝14．
17．（1），是上的增函数；（2）.
【分析】
（1）根据求出，再由奇函数的定义验证，根据指数函数的单调性即可求解.
（2）由（1）可得的解集非空，转化为在上有解，只需，解不等式即可求解.
【详解】
（1）因为定义在上的奇函数，可得，都有，
令，可得，解得，
所以，此时满足，
所以函数是奇函数，所以.是上的增函数.
（2）因为为奇函数，且的解集非空，
可得的解集非空，-
又因为在上单调递增，所以的解集非空，
即在上有解，
则满足，解得，
所以实数的取值范围.
18．（1）；（2）.
【分析】
（1）利用为奇函数，代入即得解；
（2）先求时函数值域，令，转化为二次函数在定区间的值域即可解，再借助奇函数，求在上的值域即可.
【详解】
（1）由于为奇函数，
当时，，
故.
（2）当时，，
令，得，对称轴为
故二次函数在单调递减，
当时，；当时，
故在的值域为，
由奇函数的性质得，函数的值域为.
19．（1）；（2）.
【分析】
（1）由奇函数的性质可得出，设，由奇函数的性质可得出可得出的表达式，综合可得出结果；
（2）分析可知函数为上的增函数，由原不等式变形可得出，利用参变量分离法结合二次函数的基本性质可求得实数的取值范围.
【详解】
（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，且.
设，则，所以，
所以；
（2）因为对任意恒成立，所以，
又是定义在上的奇函数，所以，
作出函数的图象如下图所示：
由图可知，在上单调递增，所以，即恒成立，
令，，，
则函数在上单调递增，所以，
所以，即实数的取值范围.
20．（1），不是，理由见解析；（2）.
【分析】
（1）用换元法，结合二次函数性质求得值域，可得结论；
（2）设，则可得，然后由二次函数性质求得函数的值域，再结合新定义可得参数范围．
【详解】
（1）当时，，
令由，
可得，
令，
有，
可得函数的值域为
故函数在上不是有界函数;
（2）由题意有，当时，
可化为
必有且，
令，由，可得，
由恒成立，可得，
令，
可知函数为减函数，有，
由恒成立，
可得
故若函数在上是以为上界的有界函数，
则实数的取值范围为.
21．（1）假命题，反例为当时，；（2）或；（3）.
【分析】
（1）由命题“函数和在上是疏远的”，则在上恒成立，令，判断是否符合题意即可得出结论；
（2）由（1）知，在上恒成立，即在上恒成立，根据一元二次不等式恒成立即可得解；
（3）根据题意在上恒成立，即，即，
令，判断函数在上的单调性，求得最小值，解不等式即可得解.
【详解】
解：（1）由题意可知，命题“函数和在上是疏远的”，则在上恒成立，
即证在上恒成立，
令，故，
又函数的对称轴为，故函数在上递增，
所以，即，并不 恒大于2，
故为假命题，反例为当时，；
（2）由（1）知，在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则，
所以或，
解得或；
（3）根据题意在上恒成立，
即，
又，所以，故，
令，
取，
则，
因为， ，则，，则，
所以，
所以函数在上递增，
故，解得或，
所以.
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