12.2全等三角形的判定（第四课时）学案
【学习目标】
1．会用定理“HL”证明两个直角三角形全等；能灵活运用全等三角形的证明方法解决线段或角相等的问题
2．会通过画、量、观察、比较和猜想等过程，探索、归纳、证明两个直角三角形全等的条件，并在具体应用中感悟.
【重点难点】
重点：掌握“HL”定理，并灵活应用.
难点：准确地应用“HL”定理判定两个三角形全等，正确的书写证明过程.
【学习过程】
自主学习：
1.我么们已经学习了4种判定两个三角形全等的方法，你能用这些方法解决下面的问题吗？如图1，具有下列条件的Rt△ABC≌Rt△C′（其中）是否全等，在（ ）里填写理由；如果不全等，在（ ）里打“×”：
Ａ．（ ）
Ｂ．，( )
Ｃ．( )
Ｄ．，( )
2.对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？
二、合作探究：
如果满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？如图2，在△ABC与△C′中，若，，，这时Rt△ABC与Rt△C′是否全等？
【方法一】：研究这个问题，我们可以先做一个实验.
实验：把Rt△ABC与Rt△C′拼合在一起(教师演示)如图3，因为，所以三点在一条直线上，因此，Rt△B′是一个等腰三角形，可以知道．根据公理可知Rt△ABC≌Rt△C′
【方法二】
（1）任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，再画Rt△A′B′C′，使∠C＇＝90°，BC＝B′C′AB＝A＇B＇.
(2)你能画出满足上述条件的Rt△C′吗？应该怎样画呢？（教材P14给出了画Rt△C′的方法.你是这样画的吗？）
(3)把Rt△C′剪下，放到Rt△ABC上，它们全等吗？
（4）上面的探究结果反映了什么规律？
【归纳】由以上探究可以得到判定两个直角三角形全等的方法:
简写成“ ”或“ ”.
三、例题探究：
例题：如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C、D，AC =BD．求证：BC =AD．
变式1：如图，AC⊥BC，BD⊥AD，要证△ABC≌△BAD，需要添加一个什么条件？请说明理由．
尝试应用
如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,那么两个直角三角形全等的依据是( )
A. AAS B.SAS C.HL D.SSS
2. 已知在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判定△ABC和△DEF全等的是( )
A.AB=DE,AC=DF B.AC=EF,BC=DF
C.AB=DE,BC=EF D.∠C=∠F,BC=EF
3. 如图,AB∥EF∥DC,∠ABC=90°,AB=DC,那么图中有全等三角形( )
A.5对;
B.4对;
C.3对;
D.2对
4.在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90 ,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.
(1)求证: Rt△ABE≌Rt△CBF;
(2)若∠CAE=30 ,求∠ACF度数.
补偿提高
5.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，两个滑梯 的倾斜角∠ABC 和∠DFE 的大小有什么关系？为什么？
【学后反思】
参考答案：
例题：
例题变式：
尝试应用：
B 2、B 3、C
解：（1）
∵∠ABC=90°,∴∠CBF=∠ABE=90°.
在Rt△ABE和Rt△CBF中,
∵AE=CF,AB=BC, ∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)
∵AB=BC, ∠ABC=90°,
∴ ∠CAB=∠ACB=45°.
∵∠BAE=∠CAB－∠CAE=45°－30°=15°.
由（1）知 Rt△ABE≌Rt△CBF， ∴∠BCF=∠BAE=15°,
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB
=45°+15°=60°.
补偿提高：
5.
∴ ∠ABC =∠DEF.
∵ ∠DEF +∠DFE =90°，
∴ ∠ABC +∠DFE =90°
PAGE12.2.全等三角形的判定（第四课时）
【当堂达标】
选择题：
1．在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，∠A=∠B′，AB=B′A，则下列结论中正确的是（ ）
A. AC=A′C′ B.BC=B′C′ C.AC=B′C′ D.∠A=∠A′
2．下列结论错误的是( )
A．全等三角形对应边上的高相等
B．全等三角形对应边上的中线相等
C．两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，则这两个三角形全等
D．两个直角三角形中，两个锐角相等，则这两个三角形全等
3．两个直角三角形全等的条件是（ ）
A.一锐角对应相等 B.两锐角对应相等
C.一条边对应相等 D.一条斜边和一直角边对应相等
4．如图，已知那么添加下列一个条件后，
仍无法判定的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图所示，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC交D点，E、F分别是DB、DC的中点，则图中全等三角形的对数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
6． 如图，DE⊥AB， DF⊥AC， AE＝AF，请找出一对全等的三角形： ．
7．如图，已知AC⊥BD，BC=CE，AC=DC.试分析∠B+∠D= .
8．如图，有一正方形窗架，盖房时为了稳定，在上面钉了两个等长的木条与 分别是的中点，可证得 ，理由是 ，于是是 的中点．
三、解答题
9．如图，已知分别是两个钝角和的高，如果，．
求证：．
【拓展应用】
10. 已知如图,AB=AC,∠BAC=90°,AE是过A点的一条直线,且B、C在DE的异侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E,求证:BD=DE+CE.
自评 师评
【学习评价】
参考答案：
1．C 2．D 3．D 4．C 5．D
6． 7．90° 8．，HL，
9．根据“”证，，再根据“”证，，，即．
10.证明：∵BD⊥AE于D,CE⊥AE于E
∴∠ADB=∠AEC=90°
∵∠BAC=90°
∴∠ABD+∠BAD=∠CAE+∠BAD
∴∠ABD=∠CAE
在△ABD和△CAE中
∴△ABD≌△CAE(AAS)
∴BD=AE,AD=CE
∵AE=AD+DE
∴BD=CE+DE
PAGE第十二章 全等三角形
12.2.全等三角形的判定（第四课时）
【教材分析】
教学目标 知识技能 熟练掌握“HL”判定的内容；会用“HL”证明两个直角三角形全等；能灵活运用全等三角形的证明方法解决线段或角相等的问题
过程方法 通过画、量、观察、比较和猜想等过程，探索、归纳、证明两个直角三角形全等的条件，并在具体应用中感悟.
情感态度 通过实践比较，在探索中体验发现数学规律的乐趣.
重点 掌握“HL”定理，并灵活应用.
难点 准确地应用“HL”定理判定两个三角形全等，正确的书写证明过程.
【教学流程】
环节 导 学 问 题 师 生 活 动 二次备课
情境引入 问题引入：问题1：如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．你能帮工作人员想个办法吗？（1）如果用直尺和量角器两种工具，你能解决这个问题吗？（2）如果只用直尺，你能解决这个问题吗？ 教师出示情境问题，学生思考回答，师引出课题
自主探究合作交流自主探究合作交流 探究归纳 “HL”判定方法 问题2：任意画一个Rt△ABC，使∠C =90°，再画一个Rt△A＇B＇C＇，使∠C＇=90°，B＇C＇=BC，A＇B＇=AB，然后把画好的Rt△A＇B＇C＇剪下来放到Rt△ABC上，你发现了什么？直角三角形全等判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.（简写为“斜边、直角边”或“HL”）几何语言：例题：如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C、D，AC =BD．求证：BC =AD． 变式1：如图，AC⊥BC，BD⊥AD，要证△ABC≌△BAD，需要添加一个什么条件？请说明理由． 在活动中让学生充分交流，画图过程要耐心、鼓励让学生有信心画出来，并大胆交流，用赞赏的语气与发言的学生交流. 师生共同概括直角三角形全等的判定定理，及符号表示方法.师出示例题，小组探究，全班交流，师点评总结并板书.小组交流，师参与其中，并适时引导.
尝试应用 如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,那么两个直角三角形全等的依据是( ) A. AAS B.SAS C.HL D.SSS 2. 已知在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判定△ABC和△DEF全等的是( )A.AB=DE,AC=DF B.AC=EF,BC=DF C.AB=DE,BC=EF D.∠C=∠F,BC=EF3. 如图,AB∥EF∥DC,∠ABC=90°,AB=DC,那么图中有全等三角形( ) A.5对; B.4对; C.3对; D.2对4.在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90 ,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.(1)求证: Rt△ABE≌Rt△CBF;(2)若∠CAE=30 ,求∠ACF度数. 教师出示问题，学生自主、合作、展示、师生共同评价、纠错B 2、B 3、C解：（1）∵∠ABC=90°,∴∠CBF=∠ABE=90°.在Rt△ABE和Rt△CBF中,∵AE=CF,AB=BC, ∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)∵AB=BC, ∠ABC=90°, ∴ ∠CAB=∠ACB=45°.∵∠BAE=∠CAB－∠CAE=45°－30°=15°.由（1）知 Rt△ABE≌Rt△CBF， ∴∠BCF=∠BAE=15°,∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°.
成果展示 本节课你有哪些收获？与你的同伴交流；你还有哪些疑惑？ 生总结、反思，师点拨、强调
补偿提高 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，两个滑梯 的倾斜角∠ABC 和∠DFE 的大小有什么关系？为什么？ 教师出示问题，学生自主、合作、展示、师生共同评价、纠错∴ ∠ABC =∠DEF.∵ ∠DEF +∠DFE =90°， ∴ ∠ABC +∠DFE =90°．
作业设计 课后作业: 课本P44页习题12.2第6、7、8题 教师布置作业，学生认定作业学生独立完成
PAGE(共17张PPT)
任意画出一个Rt△ABC,使得∠C=90°.再画一个
，使∠C′=90°， ， .
把画好的 剪下来，放到Rt△ABC上，
它们全等吗？
=AB
=BC
探索
B
A
C
1:画∠MC′N=90°;
C′
N
M
探索
B
A
C
C′
N
M
B′
1:画∠MC′N=90°;
2:在射线C′M上截取 ;
=BC
探索
B
A
C
3:以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′;
C′
N
M
B′
A′
1:画∠MC′N=90°;
2:在射线C′M上截取 ;
=BC
探索
B
A
C
C′
N
M
A′
B′
4:连结A′B′;
3:以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′;
1:画∠MC′N=90°;
即为所要画的三角形
2:在射线C′M上截取 ;
=BC
探索
B
A
C
B′
4:连结A′B′;
C′
N
M
A′
3:以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′;
1:画∠MC′N=90°;
即为所要画的三角形
2:在射线C′M上截取 ;
=BC
探索
B
A
C
斜边、直角边公理
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
简写成“斜边、直角边”
或“HL”
斜边、直角边公理 (HL)
A
B
C
A ′
B′
C ′
在Rt△ABC和Rt△ 中
∴Rt△ABC≌
AB=
BC=
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
小结
直角三角形全等的判定
一般三角形全等的判定
“SAS”
“ ASA ”
“ AAS ”
“ SSS ”
“ SAS ”
“ ASA ”
“ AAS ”
“ HL ”
“ SSS ”
尝试应用
1.如果两个直角三角形的两条直角边对应
相等,那么两个直角三角形全等的依据是( )
A.AAS B.SAS C.HL D.SSS
2、 已知在△ABC和△DEF,∠A=∠D=900
则下列条件中不能判定△ABC和△DEF全
的是( )
A.AB=DE,AC=DF B.AC=EF,BC=D
C.AB=DE,BC=EF D.∠C=∠F,BC
B
B
尝试应用
3. 如图,AB∥EF∥DC,∠ABC=90°,AB=DC,那么图中有全等三角形( )
A.5对;
B.4对;
C.3对;
D.2对
C
例1.如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD。
求证：BC=AD。
A
B
C
D
理解与应用
解题思路：要证明BC=AD，先证明两个直角三角形全等。
(最重要找准两个三角形)
议一议
如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？
∠ABC+∠DFE=90°.
联系实际 综合应用
解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,
BC=EF,
AC=DF .
∴ Rt△ABC ≌ Rt△DEF (HL).
∴∠ABC=∠DEF
(全等三角形对应角相等).
∵ ∠DEF+∠DFE=90°,
∴∠ABC+∠DFE=90°.
2、隐含条件的找法
1、直角三角形全等条件：
3、直角三角形全等条件的应用：
通过证明直角三角形全等，从而证明相关的边相等或角相等
公共边或部分共边
HL,
SSS，SAS，ASA，AAS
收获与感悟
数学是优美的自然科学的皇后 ，数学之美在于其形象、对称、和谐、简洁、严谨、逻辑、秩序---，热爱数学吧，你将拥抱美好，走进智慧------
