第十二章 全等三角形
12.2.全等三角形的判定（第二课时）
【教材分析】
教学目标 知识技能 掌握边角边公理的内容，能初步应用边角边公理判定两个三角形全等.
过程方法 在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念，形成几何直觉和识图能力，通过观察、猜想、验证、推理、交流等数学活动进一步发展演绎推理能力和发散思维能力．
情感态度 通过探究三角形全等的条件的活动，提高观察分析图形的能力及运算能力，养成乐于探索的良好品质.
重点 掌握“SAS”来判定三角形全等，进一步证明线段相等，角相等．
难点 正确地书写证明过程，恰当地选择判定定理．
【教学流程】
环节 导 学 问 题 师 生 活 动 二次备课
情境引入 复习:1．如何判定三角形全等？2．有没有其他判定全等的方法呢？ 师提问，学生回答后师板书课题.
自主探究合作交流自主探究合作交流 尺规作图，探究边角边的判定方法问题1：先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A＇=∠A，C′A′=CA（即两边和它们的夹角分别相等）．把画好的△A′B′C′剪下来，放到△ABC 上，它们全等吗？ 归纳概括“SAS”判定方法:两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS ”）．几何语言： 例题讲解，学会运用例：如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A 和B的点C，连接AC并延长至D，使CD =CA，连接BC 并延长至E，使CE =CB，连接ED，那么量出DE的长就是A，B的距离．为什么？探索“SSA”能否识别两三角形全等问题2：两边一角分别相等包括“两边夹角”和“两边及其中一边的对角”分别相等两种情况，前面已探索出“SAS”判定三角形全等的方法，那么由“SSA”的条件能判定两个三角形全等吗？ 操作：画△ABC 和△DEF，使∠B =∠E =30°， AB =DE=5 cm ，AC =DF =3 cm ．观察所得的两个三角形是否全等？解：两边和其中一边的对角这三个条件无法唯一确定三角形的形状，所以不能保证两个三角形全等．因此，△ABC 和△DEF 不一定全等． 师演示，学生操作、观察，得出实验结果，师指导归纳总结边角边公理.先引导学生分析题目，再出现过程，学生动手操作，并画图，小组合作探究并汇报研究结果.学生画图后回答问题.
尝试应用 1．下图中全等的三角形有（ ）图1 图2 图3 图4 A．图1和图2 B．图2和图3 C．图2和图4 D．图1和图32．已知：如图，OA＝OB，OC平分∠AOB，求证：△AOC≌△BOC.3．如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE两侧．AB∥ED，AB＝CE，BC＝ED.求证：△ABC≌△CED. 教师出示题目学生先自主探究合作交流学生展示师生评价，纠错1.D2.证明：∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC.在△AOC和△BOC中，∴△AOC≌△BOC(SAS)． 证明：∵AB∥ED，∴∠B＝∠E.在△ABC和△CED中，∴△ABC≌△CED(SAS)．
成果展示 课堂小结：谈谈你的收获和体会 学生回答，师归纳补充.形成知识体系
补偿提高 4．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，点F在DE的延长线上，且EF＝DE，求证：(1)BD＝FC；(2)AB∥CF. 教师出示题目学生先自主探究合作交流学生展示师生评价，纠错证明：(1)∵E是AC的中点，∴AE＝CE.在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE(SAS)．∴AD＝CF.∵D是AB的中点，∴AD＝BD.∴BD＝FC.由(1)知△ADE≌△CFE，∴∠A＝∠ECF.∴AB∥CF.
作业设计 课后作业: 教科书习题12.2第2、3、10题． 学生课后独立完成.
PAGE12.2.全等三角形的判定（第二课时）当堂达标题
【当堂达标】
选择题：
1. 能判定△ABC≌△A′B′C′的条件是（ ）
A．AB=A′B′，AC=A′C′，∠C=∠C′； B. AB=A′B′， ∠A=∠A′，BC=B′C′；
C. AC=A′C′， ∠A=∠A′，BC=B′C； D. AC=A′C′， ∠C=∠C′，BC=B′C；
2．如图，在和中，已知，，根据（SAS）判定 ，还需的条件是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ. Ｄ．以上三个均可以
3. 如图，AB=AC，AD=AE，欲证△ABD≌△ACE，可补充条件( )
A.∠1=∠2 B.∠B=∠C C.∠D=∠E D.∠BAE=∠CAD
4. 如图，AD=BC，要得到△ABD和△CDB全等，可以添加的条件是( )
A. AB∥CD B. AD∥BC C. ∠A=∠C D. ∠ABC=∠CDA
填空题：
5.如图，已知，，要使 ≌，可补充的条件是 （写出一个即可）．
6. 如图，若AO=DO，只需补充 就可以根据SAS判定△AOB≌△DOC.
7.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE= cm．
8. 已知：如图，DC=EA，EC=BA，DC⊥AC， BA⊥AC，垂足分别是C、A，则
BE与DE的位置关系是 .
三、解答题：
9． 已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，EA⊥AD，FD⊥AD，AE=DF，AB=DC．
求证：∠ACE=∠DBF．
10． 如图CE=CB，CD=CA，∠DCA=∠ECB，求证：DE=AB．
【拓展应用】
11.如图所示，A，F，C，D四点同在一直线上，AF＝CD，AB∥DE，且AB＝DE.求证：
(1)△ABC≌△DEF；
(2)∠CBF＝∠FEC.
自评 师评
【学习评价】
参考答案：
1.D 2.B 3.A 4.B
5. AE=AC（答案不唯一）；
6. BO=CO 7. 6 8. 垂直
9. 证明：∵AB=DC
∴AC=DB
∵EA⊥AD，FD⊥AD
∴∠A=∠D=90°
在△EAC与△FDB中
∴△EAC≌△FDB
∴∠ACE=∠DBF．
10. 证明：∵∠DCA=∠ECB，
∴∠DCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE，
∴∠DCE=∠ACB，
∵在△DCE和△ACB中
，
∴△DCE≌△ACB，
∴DE=AB．
11.证明：(1)∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D.
又∵AF＝CD，
∴AF＋FC＝CD＋FC
.∴AC＝DF.
∵AB＝DE，
∴△ABC≌△DEF(SAS)．
∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，∠ACB＝∠DFE.
∵FC＝CF，
∴△FBC≌△CEF(SAS)．
∴∠CBF＝∠FEC.
PAGE12.2全等三角形判定（第二课时） 学案
【学习目标】
掌握边角边公理的内容，能初步应用边角边公理判定两个三角形全等.
2.通过做一做，画一画等过程探究归纳两个三角形全等的条件SAS；在具体应用上，通过练习，感悟几何题的分析证明过程．
【重点难点】
重点：掌握“SAS”来判定三角形全等，进一步证明线段相等，角相等．
难点：正确地书写证明过程，恰当地选择判定定理．
【学习过程】
自主学习：
1.上节课我们学习了一种判定两个三角形全等的方法，你能说说吗？
2.上一节课，我们讨论了两边一角有哪两种情况呢？具备了这样的条件，是否也能判定两个三角形全等呢？
二、合作探究：
【活动一】 先任意画出一个△ABC，再画出一个△C′，使，，．（即使两边和他们的夹角对应相等）
（1）你能画出满足上述条件的△C′吗？应该怎样画呢？
（2）把画好的△C′剪下放到△ABC上，它们全等吗？
（3）上面的探究反映了什么规律？
【归纳】通过以上探究，我们得到判定两个三角全等的一个方法：
(可以简写成 或 ）.
【活动二】把一长一短的两根木条一端用螺钉铰合再一起点A，使长木条AB的另一端与射线BC的端点B重合.适当调整好长木条与射线BC所成的角，固定长木条，把短木条AC摆起来.如图2.
（1）△ABC与△ABD是否满足两边及其一边的对角相等？
（2）比较△ABC与△ABD是否全等？
（3）你能得到什么结论
【强调】必须是“两边夹角”，而不是“两边和其中一边的对角”.
三、例题探究：
例：如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A 和B的点C，连接AC并延长至D，使CD =CA，连接BC 并延长至E，使CE =CB，连接ED，那么量出DE的长就是A，B的距离．为什么？
四、尝试应用
1．下图中全等的三角形有（ ）
图1 图2 图3 图4
A．图1和图2 B．图2和图3
C．图2和图4 D．图1和图3
2．已知：如图，OA＝OB，OC平分∠AOB，求证：△AOC≌△BOC.
3．如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE两侧．AB∥ED，AB＝CE，BC＝ED.求证：△ABC≌△CED.
五、补偿提高
如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，点F在DE的延长线上，且EF＝DE，
求证：
(1)BD＝FC；
(2)AB∥CF.
【学后反思】
参考答案：
例题：
尝试应用：
1.D
2.证明：∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC.
在△AOC和△BOC中，
∴△AOC≌△BOC(SAS)．
证明：∵AB∥ED，
∴∠B＝∠E.
在△ABC和△CED中，
∴△ABC≌△CED(SAS)．
4.证明：(1)∵E是AC的中点，
∴AE＝CE.
在△ADE和△CFE中，
∴△ADE≌△CFE(SAS)．
∴AD＝CF.
∵D是AB的中点，
∴AD＝BD.
∴BD＝FC.
由(1)知△ADE≌△CFE，
∴∠A＝∠ECF.
∴AB∥CF.
PAGE(共19张PPT)
(2) 三条边
(1) 三个角
(3) 两边一角
(4) 两角一边
当两个三角形满足三个条件对应相等时，有四种情况:
SSS
不能!
继续探讨三角形全等的条件：
两边一角
思考：已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边
与这一个角的位置上有几种可能性呢？
A
B
C
A
B
C
图一
图二
在图一中， ∠A
是AB和AC的夹角，
符合图一的条件，它可称为“两边夹角”。
符合图二的条件， 通常
说成“两边和其中一边的对角”
问题1 先任意画出一个△ABC，再画一个
△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A＇=∠A，C′A′=
CA（即两边和它们的夹角分别相等）．把画好的
△A′B′C′剪下来，放到△ABC 上，它们全等吗？
A
B
C
探究1.探索边角边
A
B
C
A′
D
E
现象：两个三角形放在一起
能完全重合．
说明：这两个三角形全等．
画法：
（1） 画∠DA′E =∠A；
（2）在射线A′D上截取
A′B′=AB，在射线
A′E上截取A′C′=AC；
（3）连接B′C′．
B′
C′
探索边角边
三角形全等判定方法
用符号语言表达为：
在△ABC与△DEF中
AB=DE
∠B=∠E
BC=EF
∴△ABC≌△DEF（SAS）
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。简写成“边角边”或“SAS”
3㎝
5㎝
300
A
B
C
3㎝
5㎝
300
D
E
F
A
45°
探索边边角
B
B′
C
10cm
8cm
8cm
两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗
已知：AC=10cm,BC=8cm, ∠A=45 °.
△ABC的形状与大小是唯一确定的吗
10cm
A
B′
C
45°
8cm
探索边边角
B
A
8cm
45°
10cm
C
SSA不存在
显然： △ABC与△AB’C不全等
两边及一角对应相等的两个三角形全等吗？
①两边及夹角对应相等的两个三角形全等（SAS)；
②两边及其中一边的的对角对应相等的两个三角形不一定全等．
③ 现在你知道哪些三角形全等的判定方法？
SSS, SAS
课堂练习
下列图形中有没有全等三角形，并说明全等的理
由．
甲
8 cm
9 cm
丙
8 cm
9 cm
8 cm
9 cm
乙
30°
30°
30°
尝试应用
图甲与图丙全等，依据就是“SAS”，而图乙中
30°的角不是已知两边的夹角，所以不与另外两个三角
形全等．
甲
8 cm
9 cm
丙
8 cm
9 cm
8 cm
9 cm
乙
30°
30°
30°
例题探究
例2. 如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，
可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A 和B
的点C，连接AC并延长至D，使CD =CA，连接BC 并延
长至E，使CE =CB，连接ED，那么量出DE的长就是A，
B的距离．为什么？
A
B
C
D
E
1
2
例题讲解，学会运用
AC = DC（已知）
∠1 =∠2 （对顶角相等）
BC =EC（已知）
证明：在△ABC 和△DEC 中，
A
B
C
D
E
1
2
∴ △ABC ≌△DEC（SAS）．
∴ AB =DE
（全等三角形的对应边相等）．
已知：如图， AB=CB ，∠ ABD= ∠ CBD
△ ABD 和△ CBD 全等吗？
分析:
△ ABD ≌△ CBD
边:
角:
边:
AB=CB(已知)
∠ABD= ∠CBD(已知)
？
A
B
C
D
(SAS)
现在例1的已知条件不改变,而问题改变成:
问AD=CD，BD平分∠ADC吗？怎么证明
练习1.
3．如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE两侧．AB∥ED，AB＝CE，BC＝ED.求证：△ABC≌△CED.
练习2.
3.证明：∵AB∥ED，
∴∠B＝∠E.
在△ABC和△CED中，BC＝ED，(∠B＝∠E，)
∴△ABC≌△CED(SAS)．
4.如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，点F在DE的延长线上，且EF＝DE，
求证：
(1)BD＝FC；
(2)AB∥CF.
补偿提高
证明：(1)∵E是AC的中点，
∴AE＝CE.
在△ADE和△CFE中，
∴△ADE≌△CFE(SAS)．
∴AD＝CF.
∵D是AB的中点，
∴AD＝BD.
∴BD＝FC.
(2)由(1)知△ADE≌△CFE，
∴∠A＝∠ECF.
∴AB∥CF.
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