第十二章 全等三角形
12.3.角平分线的性质（第二课时）
【教材分析】
教学目标 知识技能 掌握角平分线性质的逆定理，了解角平分线性质在生活、生产中的应用，并能利用这些方法解决简单的数学问题和实际问题．
过程方法 经历探究角平分线性质逆定理的过程，发展合情推理能力和演绎推理力．进一步发展推理证明意识和能力.
情感态度 结合实际，创造丰富的情境，提高学习兴趣，在活动中获得成功的体验，培养探索精神，树立学习的信心.
重点 角平分线性质和判定的应用．
难点 运用角平分线性质和判定证明及解决实际问题.
【教学流程】
环节 导 学 问 题 师 生 活 动 二次备课
情境引入 问题1：如图，某规划局要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建于何处？（请在图上标出它的位置，比例尺为1︰20000 师出示情境问题，学生思考，师板书课题.
自主探究合作交流自主探究合作交流 问题2：交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 你能给出证明吗？已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．求证：点P在∠MON的平分线上．证明：连结OP在Rt△PAO和Rt△PBO中，∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）∴∠1＝∠2∴OP平分∠MON即点P在∠MON的平分线上．角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．用符号语言表示为：∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴点Q在∠AOB的平分线上．问题三：例题 如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P． 求证：（1）点P到三边AB、BC、CA的距离相等； （2） P点在∠BAC的平分线上 证明：（1）过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、 F．∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．∴PD=PE．同理PE=PF．∴PD=PE=PF．即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．由（1）可知PD=PE．因为PD⊥AB，PE⊥BC，所以P点在∠BAC的平分线上 学生思考，并分析题设与结论，然后进行命题证明.小组交流，班内汇报，师生共同评价.考，并分析题设与结论，然后进行命题证明.小组交流，班内汇报，师生共同评价.学生回答，师强调.师生共同分析；找出解题思路学生独立完成证明过程学生先独立思考；教师点拨：点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．
尝试应用 1、判断，如图，若QM =QN，则OQ 平分∠AOB； ( ) 1题图 2题图判断，如图，若QM⊥OA 于M，QN⊥OB 于N，则OQ平分∠AOB . （ ） 3、如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC,垂足分别是E，F，BE=CF.求证：AD是△ABC的角平分线. 4、 如图，某规划局要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，并且离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建于何处？（请在图上标出它的位置，比例尺为1︰20000） 生自主探究，合作交流师生共同评价，纠错1、错2、错3、证明: ∵ DE⊥AB， DF⊥AC∴ ∠DEB＝∠DFC＝90° 在Rt△BDE和Rt△CDF中BD＝CD
BE＝CF
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF（HL） ∴ DE=DF又 ∵ DE⊥AB，DF⊥AC ∴ AD是△ABC的角平分线解：如图，作夹角的角
平分线OC截取OD=2.5cm ,
D即为所求。
成果展示 欣赏自我：本节课你学会了什么？完善自我：对本课的内容，你还有哪些疑惑？ 师引导学生归纳总结.梳理知识，并建立知识体系.
补偿提高 5、如图，△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE交于点P。求证：点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等 解：过点P作PF⊥AB、PG⊥BC、PH⊥AC∵ BP是△ABC的∠ABC的外角的平分线∴PF=PG又∵CP是△ABC的∠ACB的外角的平分线∴PG=PH∴PF=PG=PH∴点P到三边AB、BC、CA 所在直线的距离相等。
作业设计 必做题 P50 第1题、第2题选做题 P52 第6题 教师布置作业，提出要求学生独立完成，自我检查学习效果
）
PAGE(共17张PPT)
如图，某规划局要在S区建一个集贸市场，
使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建于何处？（请在图上标出它的位置，比例尺为1︰20000）
S
O
情境引入
猜想
我们知道角的平分线上的点到角的两边的距离相等，那么，到角两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？你能证明它吗？
已知：如图, 在∠AOB 中，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足，PD＝PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上.
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
命题证明
B
O
A
P
E
D
证明: 经过点P作射线OC
∵ PD⊥OA，PE⊥OB
∴ ∠PDO＝∠PEO＝90°
在Rt△PDO和Rt△PEO中
PO＝PO PD=PE ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）
∴ ∠ POD＝∠POE
∴点P在∠AOB的平分线上
C
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
（角平分线的判定）
得出定理
B
O
A
P
E
D
C
∵ PD⊥OA，PE⊥OB
PD=PE
∴点P在∠AOB的平分线上
OP平分∠AOB
PD⊥OA
PE⊥OB
PD=PE
OC平分∠AOB
PD=PE
PD⊥OA
PE⊥OB
B
O
A
P
E
D
C
性质
判定
∵BM是△ABC的角平分线，
点P在BM上，
∴ PD=PE.
同理，PE=PF.
∴ PD＝PE=PF.
即 点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，
如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P。求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
D
P
M
N
A
B
C
F
E
典型例题
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一 点到三边的距离相等.
点P在∠A的平分线上吗？
X
判断题：
1、如图，若QM =QN，则OQ 平分∠AOB； ( )
A
B
O
Q
M
N
A
B
O
M
N
Q
X
A
B
O
Q
M
N
2、如图，若QM⊥OA 于M，QN⊥OB 于N，则OQ平分∠AOB . ( )
3、如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC,垂足分别是E，F，BE=CF.
求证：AD是△ABC的角平分线.
∴AD是∠BAC的角平分线。
证明： ∵D是BC的中点
∴BD=CD
∵DE⊥AB， DF⊥AC
∴∠BED=∠CFD=90°
∵BE=CF，∠BED=∠CFD，BD=CD
∴Rt△BED≌Rt△CFD
∴DE=DF
4、 如图，某规划局要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，并且离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建于何处？（请在图上标出它的位置，比例尺为1︰20000）
D
C
S
解：如图，作夹角的角 平分线OC，
截取OD=2.5cm , D即为所求。
学以致用
O
5、如图，△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE交于点P。求证：点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等。
补偿提高
∴点P到三边AB、BC、CA
所在直线的距离相等。
F
G
H
解：过点P作PF⊥AB、PG⊥BC、PH⊥AC
∵ BP是△ABC的∠ABC的外角的平分线
∴PF=PG
又∵CP是△ABC的∠ACB的外角的平分线
∴PG=PH
∴PF=PG=PH
这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？
角的内部到角的两边距离相等的点在 角的平分线上。
1、角平分线的判定：
2、三角形角平分线的交点性质：
三角形的角平分线的交点到三边的距离相等.
数学是优美的自然科学的皇后 ，数学之美在于其形象、对称、和谐、简洁、严谨、逻辑、秩序---，热爱数学吧，你将拥抱美好，走进智慧------12.3.角平分线的性质（第二课时）
【当堂达标】
选择题：
1．如图，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D、C，AD与BC相交于点P，若PA=PB，则∠1与∠2的大小是（ ）
A． ∠1=∠2 B． ∠1＞∠2 C． ∠1＜∠2 D． 无法确定
2. 如图，在Rt△ABC的斜边BC上截取CD=CA，过点D作DE⊥BC，交AB于E，则下列结论一定正确的是（ ）
A． AE=BE B． DB=DE C． AE=BD D． ∠BCE=∠ACE
3. 如图，△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；
∠A=40°，则∠BOC=（ ）
A． 110° B． 120° C． 130° D． 140°
4．如图，,△ABC的两个外角平分线交于点P，则下列结论正确的是（ ）
①PA=PC ②BP平分∠ABC ③P到AB，BC的距离相等 ④BP平分∠APC．
A． ①② B． ①④ C． ②③ D． ③④
5．如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A、1处 B、2处 C、3处 D、4处
二、填空题：
6.如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，则∠AOQ= °．
7.如图，AB∥CD，点P到AB、BC、CD距离都相等，则∠P= °．
8.如图，已知PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，且PA=PB，∠MON=50°，
∠OPC=30°，则∠PCA= °．
解答题：
9、如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE=AF．
求证：（1）PE=PF；
（2）点P在∠BAC的角平分线上．
【拓展应用】
10.（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图所示）．设计了如下方案：
（Ⅰ）∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．
（Ⅱ）∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．
（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由；
（2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥OB．此方案是否可行？请说明理由．
自评 师评
【学习评价】
参考答案：
A 2.D 3.A 4.C 5.D 6. 35 7. 90 8. 55
9. 证明：（1）如图，连接AP并延长，
∵PE⊥AB，PF⊥AC
∴∠AEP=∠AFP=90°
又AE=AF，AP=AP，
∵在Rt△AFP和Rt△AEP中
∴Rt△AEP≌Rt△AFP（HL），
∴PE=PF．
（2）∵Rt△AEP≌Rt△AFP，
∴∠EAP=∠FAP，
∴AP是∠BAC的角平分线，
故点P在∠BAC的角平分线上．
10、解：（1）方案（Ⅰ）不可行．缺少证明三角形全等的条件，
∵只有OP=OP，PM=PN不能判断△OPM≌△OPN；
∴就不能判定OP就是∠AOB的平分线；
方案（Ⅱ）可行．
证明：在△OPM和△OPN中，
，
∴△OPM≌△OPN（SSS），
∴∠AOP=∠BOP（全等三角形对应角相等）；
∴OP就是∠AOB的平分线．
（2）当∠AOB是直角时，此方案可行；
∵四边形内角和为360°，∠OMP=∠ONP=90°，∠MPN=90°，
∴∠AOB=90°，
∵PM=PN，
∴OP为∠AOB的平分线．（到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上），
当∠AOB不为直角时，此方案不可行；
因为∠AOB必为90°，如果不是90°，则不能找到同时使PM⊥OA，PN⊥OB的点P的位置．
PAGE12.3角平分线的性质（第二课时）
【学习目标】
1．掌握角的平分线的性质的逆定理；提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力.
2．通过观察、猜想、论证等过程，得到结论：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
【重点难点】
重点：角的平分线的性质定理的逆定理证明.
难点：角的平分线的性质定理的逆定理应用.
【学习过程】
一、自主学习
【思考】如图1，要在S区建一个集贸市场，是他到公路，使它到公路、铁路的距离相等.离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1:20000）？
二、合作探究
【猜想与证明】如图2，在的内部有一点，,
猜想与有何关系？并证明你的猜想.
【发现】
通过以上的探究再观察图形，你有新的发现吗？能用自己的话说说你的发现吗？
.
请阅读课本P21中间部分的内容，你能用更科学、更准确的描述你的发现吗？
【归纳】 ．
【学法指导】定理的应用格式：
∵,
∴.
【应用】根据上述结论，你知道这个集贸市场应建在何处了吗？
例题探究：
如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．
求证：（1）点P到三边AB、BC、CA的距离相等．
(2)P点在∠BAC的平分线上
尝试应用
1、判断，如图，若QM =QN，则OQ 平分∠AOB； ( )
1题图 2题图
判断，如图，若QM⊥OA 于M，QN⊥OB 于N，则OQ平分∠AOB . （ ）
3、如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC,垂足分别是E，F，BE=CF.
求证：AD是△ABC的角平分线.
4、 如图，某规划局要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，并且离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建于何处？（请在图上标出它的位置，比例尺为1︰20000）
五、补偿提高
5、如图，△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE交于点P。求证：点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等
【学后反思】
参考答案：
例题探究：
证明：（1）过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，
垂足为D、E、 F．
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．
∴PD=PF．
同理PE=PF．
∴PD=PE=PF．
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．
由（1）可知PD=PE．
因为PD⊥AB，PE⊥BC，
所以P点在∠BAC的平分线上
尝试应用：
1、错
2、错
3、证明: ∵ DE⊥AB，
DF⊥AC
∴ ∠DEB＝∠DFC＝90°
在Rt△BDE和Rt△CDF中
BD＝CD
BE＝CF
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）
∴ DE=DF
又 ∵ DE⊥AB，DF⊥AC
∴ AD是△ABC的角平分线
解：如图，作夹角的角
平分线OC
截取OD=2.5cm ,
D即为所求。
5、解：过点P作PF⊥AB、PG⊥BC、PH⊥AC
∵ BP是△ABC的∠ABC的外角的平分线
∴PF=PG
又∵CP是△ABC的∠ACB的外角的平分线
∴PG=PH
∴PF=PG=PH
∴点P到三边AB、BC、CA
所在直线的距离相等。
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